一種新型陀螺的力矩器非圓性誤差補償方法

陳國越， 王華， 任元， 辛朝軍

(航天工程大學 宇航科學與技術系， 北京 101416)

磁懸浮控制力矩陀螺作為一種常見的航天器姿態控制機構，其懸浮特性不僅使其壽命增長，而且使得轉子振動大幅降低，大大提高了航天器姿態控制的精度和穩定度[1-4]。同時，磁懸浮敏感陀螺(Magnetically Suspended Sensitive Gyroscope，MSSG)也是一類重要的慣性敏感器[5-6]，其利用陀螺效應的定軸性與進動性，敏感載體相對于慣性空間的角速度(角位置)。如果把磁懸浮控制力矩陀螺與磁懸浮敏感陀螺的功能合二為一，將顯著降低姿態控制系統的體積、重量和成本等。2012年，Zhang[7]提出了采用力矩陀螺敏感航天器姿態角速度的思想，利用框架力矩與陀螺輸入角速度的線性關系，由力矩陀螺的框架作為陀螺儀的力矩器來敏感輸入角速度。但其機械軸承支撐的框架結構導致敏感精度較差，難以實現其在航天工程中的應用。20世紀末至21世紀初，加拿大Bristol宇航有限公司研制出一種撓性陀螺飛輪產品，該裝置不但具備三軸動量的控制能力，而且可同時敏感航天器二軸角速度，起到姿態敏感器的作用[8-9]。2008年，日本的Maruyama 等[10]提出了一種以主動磁懸浮軸承 (Active Magnetic Bearings, AMBs)作為敏感裝置的磁懸浮敏感陀螺傳感器概念，并進行了姿態敏感分析和實驗，實驗結果表明，該陀螺敏感誤差達到10%。其誤差來源包括機械加工精度誤差、陀螺磁場分布誤差、轉子旋轉變形和環境溫度等，由于該實驗并沒有進行誤差補償，導致實驗中姿態角速度敏感誤差較高。2011年，北京航空航天大學的劉彬等[11]提出了一種新型磁懸浮陀螺飛輪，實現了三自由度控制力矩輸出和二自由度姿態角速度敏感。但其角速度敏感受轉子轉動與平動耦合影響較為嚴重，敏感精度不高。

為解決轉子轉動與平動耦合，實現同時具備控制與敏感功能的陀螺儀，筆者課題組[12]設計研發了一種磁懸浮控制敏感陀螺(Magnetically Suspended Control Sensitive Gyroscope，MSCSG)，這是一種新型陀螺，不僅繼承了磁懸浮陀螺無接觸、無摩擦、壽命長的優點，而且還通過雙球形包絡面轉子結構的設計，從結構上消除了轉子偏轉與平動的耦合[13-14]，為高精度二自由度姿態角速度敏感提供了結構基礎。

然而，MSCSG的姿態角速度敏感依然存在著較多的誤差源，轉子磁極包絡面非球形誤差、轉子質量不平衡、轉子的偏中位移、定子磁極的加工裝配誤差都會引起陀螺定轉子磁極間的變化，影響電磁合力產生的合力矩，進而產生漂移角速度誤差[15]。通過對MSCSG機械結構與姿態角速度敏感原理的深入了解，發現除了文獻[15]中提到的誤差源外，力矩器非圓性同樣會引起陀螺定轉子磁極間的變化，造成干擾力矩，對姿態角速度敏感產生影響。本文力矩器即MSCSG中的洛倫茲力磁軸承(Lorentz Force Magnetic Bearing，LFMB)[16]，為轉子提供徑向偏轉力矩，可實現轉子徑向二自由度偏轉。

為解決力矩器非圓性會造成姿態角速度敏感誤差這一問題，進一步提高航天器姿態角速度敏感與控制精度，更好地完成各項航天任務，本文采用一種基于勒讓德多項式級數的非圓性誤差補償方法，對力矩器非圓性誤差進行補償，進而補償了MSCSG對陀螺載體姿態角速度的敏感誤差。

1 磁懸浮控制敏感陀螺結構

圖1為MSCSG結構示意圖，主要結構包括陀螺轉子、轉子內置磁極、轉子軸向磁軸承、徑向磁軸承、力矩器、高速電機和陀螺房。陀螺轉子徑向與軸向表面均設計成球形包絡面，且兩包絡面球心重合，使作用于其表面的力均指向轉子包絡面球心，避免了磁干擾力矩的產生。徑向磁軸承為純電磁結構，由4對磁極組成，每2對控制一條徑向通道，徑向x通道與y通道用隔磁環隔開，避免兩通道磁路耦合。軸向磁軸承由一對磁極構成，通過改變線圈電流控制轉子受磁力的大小，實現z方向平動。LFMB由4個線圈固定于定子骨架上，成對串聯使用，形成由2對磁極構成的力矩器。當對稱的洛倫茲線圈中通入方向相反的激勵電流時，便會產生方向相反大小相等的力作用于轉子兩側，控制轉子徑向偏轉。以上設計實現了徑向x方向平動與y方向平動、x方向偏轉與y方向偏轉的解耦。高速電機用以實現轉子繞自轉軸高速旋轉的功能，保證陀螺具有足夠大的角動量。陀螺房為以上主要部件及其他部件提供支撐，并具有安全防護和密封等功能。

為便于分析，定義如下坐標系：

r：轉子坐標系Or-XrYrZr，與轉子固連，但不與轉子沿軸向高速旋轉，原點Or為轉子幾何中心，Zr軸為轉子自轉軸。

b：定子坐標系Ob-XbYbZb，與陀螺房固連，原點Ob為軸向、徑向磁軸承定子包絡面幾何中心，Zb軸為徑向磁軸承中軸線，當轉子位于平衡位置時，Ob-XbYbZb與Or-XrYrZr重合。

s：偏轉軸承坐標系Os-XsYsZs，與LFMB定子固連，在初始零位置時，Os-XsYsZs與Ob-XbYbZb重合。

2 姿態角速度敏感原理

2.1 基本原理

根據歐拉動力學原理，陀螺載體姿態角速度矢量敏感方程可表示為

(1)

根據定點轉動的歐拉動力學方程，磁懸浮轉子動力學方程可表示為

(2)

式中：Me為轉子所受合外力矩；Hr為轉子系下轉子的角動量，可以表示為

(3)

(4)

(5)

(6)

代入式(5)可得

(7)

根據式(4)可得

(8)

將式(8)代入式(3)可得

(9)

(10)

根據式(5)、式(9)可得式(11)，進而將式(10)、式(11)代入式(2)可得式(12)：

(11)

(12)

由式(12)可見，轉子所受的合外力矩中，既包含了由于陀螺載體轉動所產生的陀螺耦合力矩，也包含了由于轉子相對于定子坐標系偏轉產生的陀螺耦合力矩，以及轉子轉動慣量不完全對稱產生的陀螺耦合力矩，此外，合力矩中還包含了載體轉動、轉子偏轉產生的慣性耦合力矩。

根據式(12)，可得陀螺載體靜止且轉子轉速恒定時磁懸浮轉子所受合外力矩為

(13)

從式(12)中減去Me(0)，并假定陀螺載體沿z方向無轉動，即可得載體轉動時等效加在陀螺轉子x、y方向上的力矩為

(14)

當陀螺載體的姿態角加速度很小時，由于JzΩ′?Jr，式(14)可進一步退化為陀螺效應進動方程，陀螺載體在y、x方向上的姿態角速度可以表示為

(15)

由上述分析可知，通過對Me和Me(0)的測量，即可得到陀螺載體轉動時等效加載于陀螺轉子上的力矩Md，進而可以根據式(15)間接得到陀螺載體在非轉子軸向的姿態角速度。

由式(13)可知，Me(0)的值可以通過檢測轉子角位移獲得，即

(16)

式中：dx+、dx-分別為x軸方向正、負位置處位移傳感器測得的轉子在z方向的線性位移；dy+、dy-分別為y軸方向正、負位置處位移傳感器測量值；ls為位移傳感器安裝位置至轉子中心線距離。

理想情況下，MSCSG的結構決定了磁懸浮轉子所受外力矩只可能來自力矩器，因此，Me即力矩器產生的偏轉控制力矩。

2.2 姿態角速度模型

當位于磁場內長度為L的導線中通入與磁場方向垂直的電流i時，線圈將會受到洛倫茲力的作用，其方向由左手定則確定。洛倫茲力f可以表示為

f=BiL

(17)

式中：B為導線所處磁場磁感應強度大小。

基于上述原理的MSCSG力矩器結構原理如圖2所示。力矩器的轉子部分由周向永磁體組成，安裝于陀螺轉子邊緣槽內隨并隨陀螺轉子高速轉動，LFMB定子與陀螺房固連。洛倫茲線圈安裝于LFMB定子支撐盤上，來自控制系統的激勵電流通過導電滑環進入洛倫茲線圈，4個線圈在定子坐標系中的圓周角分別表示為

(18)

式中：φ0為單個洛倫茲線圈所對應的半張角。

忽略轉子的微小角位移，在洛倫茲線圈坐標系中，洛倫茲線圈微元Lrdφ產生的力矩微元可表示為

(19)

式中：r為洛侖茲力矩的力臂;Lr為力矩器半徑;φ為洛倫茲線圈所對應的圓周角;n為洛倫茲線圈匝數;i(t)為洛倫茲線圈中實時測量的激勵電流。按式(18)的圓周角范圍對洛倫茲線圈上下兩部分產生的力矩進行積分，可得懸浮轉子在控制電流i=[ix+(t)iy+(t)ix-(t)iy-(t)]作用下所受的偏轉控制力矩大小為

(20)

式中：ix+(t)和ix-(t)分別為x軸方向正負位置處洛倫茲線圈中的激勵電流；iy+(t)和iy-(t)分別為y軸方向正負位置處洛倫茲線圈中的激勵電流。如果相同方向上正負位置處洛倫茲線圈中通入的激勵電流大小相等、方向相反，即ix+(t)=-ix-(t)，iy+(t)=-iy-(t),則式(20)可轉化為

(21)

將式(15)、式(16)、式(21)代入式(1)可得

(22)

由式(22)可知，通過測量洛倫茲線圈中的激勵電流和轉子在z方向的線性位移，即可得到陀螺載體的姿態角速度，實現單個MSCSG對二自由度姿態角速度的敏感。

3 敏感誤差模型

3.1 力矩器非圓性描述

在理想情況下，力矩器為理想圓柱環體，圓心到力矩器外表面半徑恒定，LFMB安裝支架的線圈匝數為常值，轉子上線圈兩側永磁體產生的磁場強度分布均勻，單個洛倫茲線圈所對應的半張角不變，陀螺轉子所受偏轉力矩只與線圈激勵電流有關。然而實際上，LFMB安裝支架的機械加工精度、線圈纏繞方式以及陀螺房內溫度變化都會影響力矩器的圓度，使得力矩器外半徑隨圓周角的不同發生不規則變化，這就帶來了新的力矩器干擾力矩。由式(15)可知，力矩器干擾力矩將帶來姿態角速度敏感誤差。

如圖3所示，力矩器半徑Lr由勒讓德多項式級數描述如下：

(23)

式中：Lr0為理想圓柱外表面半徑；an為描述包絡面形狀的諧波系數；Pn(cosφ)為勒讓德多項式級數，可表示為

(24)

力矩器的圓度參數可以用力矩器半徑Lr的諧波系數an來表示，由式(23)，利用MATLAB仿真得到由力矩器半徑表示的力矩器外圓圓周表示如圖4所示，實線為理想圓形，虛線為受諧波影響的變形圓形。由圖4可知，一次諧波表示外圓徑向平移變形；二次諧波表示外圓類橢圓變形；三次諧波表示類粽形變形；四次諧波表示類紡錘變形。力矩器半徑Lr隨圓周角變化，使力矩器對陀螺轉子作用力產生干擾，形成方向、大小不一的干擾力矩，從而引起陀螺對陀螺載體姿態角敏感的漂移誤差。

3.2 姿態角速度敏感誤差模型

陀螺力矩器半徑誤差模型為

ΔLr=Lr-Lr0

(25)

由于力矩器半徑Lr隨圓周角φ變化，可看作關于φ的函數，如式(23)所示。將式(23)代入式(19)可得非圓干擾力矩微元為

(26)

式中：

(27)

對式(26)按式(18)的圓周角范圍對洛倫茲線圈上下兩部分產生的力矩進行積分，可得偏轉控制力矩誤差模型為

(28)

由式(15)、式(26)可得，陀螺載體姿態角速度敏感誤差模型為

(29)

4 力矩器非圓性誤差補償與仿真校驗

4.1 實驗測量與誤差補償

三坐標測量機由主體平臺系統、測頭、數據處理軟件系統等組成，能夠在6自由度空間范圍內表現出被測物體的幾何形狀，是測量力矩器非圓性的理想儀器。

測量過程如下：首先，將力矩器固定于測量平臺，在力矩器外圓圓周上任選3個點，通過測頭測得3點坐標，進而確定力矩器外圓圓心坐標，重復以上操作，求取平均值得到較為精確的圓心坐標。在該圓心坐標基礎上，測量力矩器外圓360°每一度的坐標，用以表示力矩器非圓性。實物測量實物圖如圖5所示，通過三坐標測量機對力矩器實物進行圓度測量，并根據測量所得數據用MATLAB繪圖如圖6所示。

由圖6可以看出，力矩器外圓半徑隨圓周角不規則變化，說明力矩器外圓并非理想圓，由姿態角速度敏感原理可知，不規則變化的力矩器外圓半徑將產生偏轉控制干擾力矩，從而影響姿態角速度敏感精度，干擾力矩如圖7所示。因此，為實現高精度的姿態控制，滿足相關航天航空任務需求，有效補償這類誤差，本文提出了采用勒讓德多項式級數方法描述力矩器非圓特性，從而得到更加符合敏感實際的姿態角速度。半徑誤差測量值由實驗測量得到的半徑與三坐標測量機確定的力矩器外圓半徑之差表示。根據式(23)、式(25)可得半徑誤差擬合值可以表示為

(30)

對比實驗測量真值，進行力矩器非圓性誤差擬合的情況如圖8所示。本次擬合采用6次諧波，從圖8可以看出，6次諧波可以較好擬合出力矩器半徑隨圓周角度的變化趨勢，且避免了復雜的擬合運算。

4.2 仿真校驗

MSCSG載體姿態角速度敏感系統結構如圖9所示，ωi為載體姿態角速度給定值，ωo為載體姿態角速度系統敏感值，Δω為載體姿態角速度敏感誤差。回路中，位移傳感器檢測到轉子偏轉信息與給定姿態角速度共同作為輸入信號，通過抗混疊濾波器進行降噪處理，控制器根據偏轉信號確定控制指令，經功率放大器轉化為控制電流作用于LFMB,產生偏轉控制力矩，實現轉子的偏轉控制。

位移傳感器檢測到轉子在z方向的線性位移信號α,β與電流傳感器檢測到的LFMB的繞組線圈電流，經過功率放大器2可得敏感姿態角速度ωo。

干擾力矩為力矩器非圓性造成的偏轉控制力矩，經補償器作用于轉子,仿真系統參數如表1所示。

表1 仿真系統參數

仿真系統中，x通道與y通道在結構上是對稱解耦的，其仿真結果一致，因此只給出x通道仿真結果。陀螺載體姿態角變化作為系統輸入，當其按照正弦規律在x軸上沿z軸規律運動時，系統輸出的補償前與補償后的誤差如圖10所示。

由仿真結果可知:

補償前，陀螺載體姿態角速度誤差峰值為2.668×10-5rad/s，隨著時間的增長，陀螺載體姿態角角度趨于線性增長。當時間累積到一定程度時，姿態角角度誤差就會超出控制電流的控制范圍，為解決這一問題，不得不定期對陀螺載體姿態角角度進行復位控制，且復位頻率必須足夠高，以確保陀螺載體姿態角控制的精度，這就大大增加了陀螺的控制功耗。

補償后，陀螺載體姿態角速度誤差峰值為4.403×10-6rad/s，較原來降低83.5%。且隨時間的增長，陀螺載體姿態角角度誤差一直穩定在0附近。避免了高頻率施加偏轉控制電流的弊端，減少了功耗。

5 結 論

1) 通過利用三坐標測量機較為精確的測量了力矩器的圓周半徑，測量精度達到10-6m。為實現力矩器非圓性誤差補償，提高陀螺載體姿態角速度敏感精度提供了有效的數據支撐。

2) 利用勒讓德多項式級數很好地描述力矩器的非圓特性，對實際測量半徑誤差曲線進行了擬合，為提高陀螺載體姿態角速度敏感精度提供了有效的補償手段。

3) 提出了陀螺載體姿態角速度敏感誤差模型，通過勒讓德多項式級數擬合補償了陀螺載體姿態角速度的敏感誤差，使該誤差降低了83.5%，提高飛行器姿態控制精度。

4) 通過MATLAB進行了陀螺載體姿態敏感系統的仿真校驗，證實勒讓德多項式級數擬合補償方法能夠有效補償非圓性誤差，且有效消除了陀螺載體姿態角速度累積誤差，大大減少了陀螺載體姿態控制功耗。