農業保險大災閾值點及風險分層測算

楊汭華，孫 婧

（中國農業大學 經濟管理學院，北京 100083）

0 引言

關于農業大災風險的認定有多種觀點。已有研究更多地強調大災發生低概率、高損失的后果，如由于某個極端災害事件（發生頻率低、強度高的自然災害）導致農業生產遭受巨大損失的可能程度，這種做法具有經驗性。國際通行標準是把一次損失額大于當期國內生產總值（GDP）的0.01%的災害界定為農業巨災。2007年世界銀行建議，可依據農業自然災害風險發生的經驗概率將風險劃分四個管理層次：1～7年發生一次、7～15年發生一次、15～25年發生一次以及25年以上發生一次，各層次適宜的風險分散機制依次為風險自留、農業保險、再保險（以及大災保險基金等）和政府統籌，也就是說，保險公司可將15年以上才發生一次的風險作為大災分出風險。再保險理論也提供了多種供保險人決策最優保險自留風險的準則，如期望-方差法、最大收益法、方差最小法、VaR準則和CTE準則、最小破產概率法或最大效用法等。

近年來，極值統計技術（Extreme Value Theory,EVT）在氣象、水文、地震等領域得到了廣泛應用，并逐步運用于金融、保險等領域的研究，在評估極端事件分布、處理背離分布均值的統計數據方面顯示了明顯的優勢。相關研究為極值統計運用于農業大災風險分層提供了理論、方法和經驗[1-6]。本文在此基礎上，利用極值技術的分析優勢，尋求大災閾值并結合大災發生的經驗重現期和成數優化分保，對現行政策性農業保險的賠付風險進行分層實證。

1 模型和方法

極值統計有兩類模型方法：一類是區組極大值法（block maximum model，BMM），這種技術方法對組內最大值的分布直接建模，缺點是浪費數據。另一類是超越閾值數據法（Peak over Threshold，POT），這種方法以點過程方法為基礎，選擇超越某一安全閾值（threshold）的數據建模，滿足擬合廣義帕累托分布（General Pareto Distribution，GPD），數據要求少，可利用有限的損失數據研究極端損失的漸近行為，實踐性較強。為了克服損失數據稀缺的約束，本文擬采用POT技術和模型方法。

1.1 大災閾值點的確定

本文首先利用災情數據獲得農作物損失分布模型，再以Monte-Caro方法模擬擴大損失數據樣本空間，由此進行POT分析。假設損失數據序列{xt} 的分布函數為 F（x），將損失數據按大小排序：x（1）＞ x（2）＞…＞ x（n），定義 Fu（y）為隨機變量X超過u（閾值）的超額損失分布函數，表示為：

將式（1）與GPD模型相聯系[7]，即：

函數 Gξ，σ（y）為廣義帕累托分布（GPD），其中 ξ為形狀參數，σ為尺度參數。ξ的不同取值決定了尾部的厚度，ξ越大尾部越厚，越小尾部越薄。當ξ＞0時，分布函數 Gξ，β（x）是Pareto分布，ξ=0時為Exponential分布，ξ ＜0時為Beta分布。在POT分析中，可靠地確定u是ξ、σ估計的前提。u選取過高，會導致超額損失數據量太少，估計出來的參數方差變大；u選取過低，不能保證超額損失分布的收斂性，也會產生較大的偏差。Danielsson（1997）[8]和Dupuis（1998）[9]給出了確定 u 的兩種方法：Hill圖和樣本平均超額損失函數（Mean Excessive Function，MEF）圖，其中MEF函數定義為：

MEF圖為點 （u，e（u））構成的曲線，若曲線呈向上變化趨勢，表示X為一厚尾分布；若曲線呈向下變化趨勢，X為一短尾分布。根據曲線選取恰當u值的依據是，當X≥u時，e（u）呈現為近似線性函數，這個判斷方法是根據ξ小于1時，e（u）表現為線性函數得到的：

閾值u確定之后，將損失數據序列{xt}中大于u的數據個數記為Nu，取出{xt}中大于u的樣本數據xi，由xiu=yi得超額損失樣本{yt}，據式（2），利用極大似然法估計GPD模型。

1.2 VaR準則下的經驗風險分層

由GPD模型，估算百分位（α）的VaR估計量：

將大災閾值與最優分保目標相結合可以提高分層結果的應用價值。這里討論成本最小的成數分保比例的確定。設X是原保險公司面臨的農作物賠付風險（非負的隨機變量）。在成數再保險下，β為原保險公司的自留比例，XL是原保險公司的自留風險，XL=βX；XR是原保險公司的分出風險，即再保險公司的損失變量，XR=（1-β）X；X的累積分布函數為 FX（x）=Pr{ X ≤x} ；生存函數為 Sx（x）=Pr{ X ＞x}。若原保險公司投保再保險的總成本費用為T，總成本費用由自留風險 XL與再保險保費δ（XR）組成，設定政府給予農業再保險保費的補貼比例為θ，則原保險公司面臨的實際總成本費用為：

參考我國對大災周期的慣常考慮和世界銀行（2007年）的建議，本文采用10年、25年和50年大災重現期的經驗概率，即α=10%、4%和2%，依式（6）測算VaRα進行風險分層。

1.3 最優再保險分出點的確定

采納方差原理測算再保險保費：

其中P為保費，E（x）為損失期望值，Var（X）為風險損失的方差；ρ為保費附加因子，取值在0～1之間，ρ越大，保險分出的成本越高。

原保險公司需要權衡自留風險 XL與再保險保費（1-θ）δ（XR）的最優關系，以實現總成本費用T的最小化。在成數再保險中，最優的VaR定義為：

將VaRT（β，α）求 β 導并令取0，推得：

β*即為VaR準則下再保險分出成本最小的自留比例。

2 實例測算

2.1 小麥保險賠付率測算

采用1978—2014年《河南省統計年鑒》的農作物成災面積、農作物播種面積、小麥播種面積等統計指標和2012年河南省農業保險工作方案中的小麥保險參數（保險金額為311元/畝，保險費率為6%,保費為18元/畝）作為小麥保險賠付率測算的基礎數據。同時，出于考察多個可能保險方案賠付狀況的需要，結合河南省農業保險實際進展，做出以下研究假設。

假設1：小麥種植風險在空間上是均勻分布的，各地區的損失同比例。即假定所承保的小麥保險風險優質，滿足獨立同分布的統計特征；

假設2：設定三個承保率：50%、70%和80%。近年來河南省小麥的承保率最高接近50%,參考各地政策性農業保險的實踐進程，將承保率為80%作為高限。

假設3：設定兩個畝產量保障水平：50%和70%。按照“物化成本”保障的原則，河南省小麥保險目前的保障水平由相當于畝產量的不足50%在逐步提高，趨向于高限70%。

假設4：設定兩個單產可能損失程度：60%和80%。參考歷史上河南小麥的極端損失程度，在此以單產損失60%作為大災損失的低限，以單產損失80%作為特大災的考察值。

根據以上基本假設，將“承保率—保障水平—損失程度”組合得到12種可能的保險情景，分別測算小麥保險賠付率：

（1）小麥受災面積=小麥播種面積×農作物受災率（=農作物受災面積/農作物播種面積）

（2）小麥保險賠付額=（1）×承保率×畝產量保障水平×小麥單產損失程度×小麥畝保險金額。其中，小麥承保率=小麥承保面積/小麥播種面積，小麥單產損失率=（小麥常年平均畝產量-小麥當年畝產量）/小麥常年平均畝產量（河南省常年小麥平均約為400kg/畝）。

（3）小麥保險保費收入=小麥播種面積×承保率×小麥畝保費。

（4）小麥保險賠付率= （2）/（3）=農作物受災率×畝產量保障水平×小麥單產損失程度×小麥畝保險金額/小麥畝保費。可以看出，在保險政策條款不變時，小麥保險賠付率取決于農作物受災率、設定的畝保障水平和小麥大災損失程度。以“畝產量保障水平為50%、成災作物損失程度為60%”的情形為例，小麥保險賠付率=（農作物受災率×50%×60%×311）/18。

2.2 大災賠付率閾值的確定

以上測算所得小麥保險賠付率序列的基本統計量表現為：平均值210.48，最大值 461.15，最小值 31.42，偏度0.5359，峰度1.98。JB檢驗表明在10%的顯著性水平上不能接受數據服從正態分布。繪制Q-Q分位數圖（見圖1）。

圖1小麥賠付率的Q-Q圖

由圖1可知，小麥損失數據分布明顯不同于正態分布，具有尖峰厚尾的特征，顯著有別于正態分布。選取農作物災損最常見的五種分布模型（Exponential、Gamma、Lognormal、Weibull和Pareto）作為候選模型，分別擬合各設定情形的小麥保險賠付率分布，結果表明，Gamma分布的經驗分布與理論分布的擬合偏差（difference）最小，比較表1中三種檢驗統計量的排序，也以Gamma分布的表現最為穩健選取為最適合的賠付率分布模型。Gamma分布的密度函數為：

式（12）中α為形狀參數，β為尺度參數。估計不同情景下的Gamma分布參數，表示為Г（α，β），如對于情景“50%-50%-60%”，經估計，α=3.7436，β=17.684，表示為Г（3.7436，17.684）。（免于贅冗，未列出全部情景的估計結果）。

表1 “50%-50%-60%”情景下賠付率分布的統計檢驗

鑒于1978—2014年小麥保險賠付率數據僅為37個，為彌補大災數據的不足，以Gamma分布作為隨機抽樣發生器，采用Matlab 2014a進行1000次蒙特卡洛隨機模擬，見圖2，據此繪制不同情景的MEF函數圖，見圖3（限于篇幅，僅以情景“50%-50%-60%”列示）。

圖2 1000次蒙特卡羅模擬產生的損失率（%）數據散點圖

圖3情景“50%-50%-60%”的MEF函數圖

通過觀察各情景中MEF曲線斜率有明顯變化區域的數據，將各數據作為準閾值，對超過準閾值的數據擬合GPD模型，觀察Anderson-Darling檢驗統計量的表現以確定最優閾值。由表2，情景1的Anderson-Darling統計量最小為0.2865，最優閾值為117.2698；情景2的Anderson-Darling統計量最小為0.2561，最優閾值為140.4418；情景3的Anderson-Darling統計量最小為0.3687，最優閾值為144.1897；情景4的Anderson-Darling統計量最小為0.2649，最優閾值為191.7559，顯然，如果提高保障水平和損失程度，最優閾值點也在爬高。相應地，ξ值逐漸減小（分別為0.1566、0.0805、0.0664和-0.0104），σ值逐漸增大（分別為24.203、28.5019、31.8541和51.1643），ξ、σ的變化揭示出GPD分布的尾部隨賠付風險的提高而變薄，大災發生的小概率高賠付特征更為突出。

表2 部分設定情景下的GPD檢驗值表

2.3 風險分層結果及意義

2.3.1 風險分層結果

以生存函數曲線來表現風險分層結果。生存函數（S（z）與累積分布函數（F（z）的關系是 S（z）=P（Z＞z）=1-F（z），前者能夠更直觀地反映賠付率分布的“小損失-大概率”和“大損失-小概率”特征，由既定損失率水平，可確定應賠付概率，便于風險評估和決策。仍以情景“50%-50%-60%”為例，以橫軸表示賠付率、縱軸表示賠付發生概率繪制生存函數圖，確定損失率10%為免賠水平，大災閾值（u）作為超額賠付起賠點，以25年及50年大災風險經驗重現期，可將小麥保險賠付風險層劃分為四層（見圖4）：

第一層：10%～117.27%，即將損失率高于10%至大災閾值的區間作為保險公司的直保區間。對于超越閾值的損失風險，進一步劃分為三個超額賠付層。

第二層：117.27%～134.65%，即以大災閾值為起賠點，與25年大災重現期對應的VaRα=4%構成損失風險的再保險區間。

第三層：134.65%～154.36%，為25年大災重現期的VaRα=4%至50年大災重現期的VaRα=2%構成的損失風險區間，由省級或中央大災風險準備金承擔。

第四層：154.36%以上，為50年以上大災重現期的損失風險，由政府兜底或其他融資方式如政府借款、發行巨災債券等方式解決。

圖4“50%-50%-60%”情景下的生存函數賠付風險分層圖

各情景的分層結果見表3，從中得出三點：其一，保障水平和損失率不變時，如果滿足小麥承保風險的勻質性，則分層結果不受承保率變化的影響；其二，保障水平和損失率較低時，以閾值作為分保點，保險公司自留賠付的壓力不大；其三，保障水平、損失率之一提高或兩者同時提高時，GPD的尺度參數σ值不斷增大，各層風險區間不斷擴大，保險公司自留風險的壓力增大，自留風險進一步分出的必要性也加大。

表3 各種設定情景方案下的賠付率分擔層次劃分

2.3.2 大災閾值的警示性

大災閾值u確定了農作物保險賠付風險分布由常態風險到大災風險的“拐點”，在風險分擔安排中具有積極的警示作用。以u為“警戒點”，比較承保率50%時的四種情景下“10年大災重現期”和“最優分保”第一層的分保結果，見表4。

表4 三種劃分依據下“第一層次”的分保點和區間比較

在“10年大災重現期”的經驗情形下，情景1中VaRα=10%與u相近，其他情景中VaRα=10%所確定的分保點＞u，即“第一層”區間中混合了常規風險和大災風險。混合風險保險定價的難度較大，且保障水平和損失程度越高，超越u的幅度越大，故“第一層”自留風險的管控須更為謹慎。

將閾值與“最優分保”結合進行風險分層考慮則更具風險管理的穩健性。在“最優分保”的情形下（設定α=10%，將VaRα與“10年重現期”的分保點比較），由式（11），最優分保比例取決于保險人的風險容忍度（α）、再保險保費附加因子（ρ）和再保險保費補貼（θ）。α、θ一定時，若ρ越小，自留比例越低。若ρ越大，自留比例越高；ρ、θ一定時，α越小，自留比例越低。α越大，自留比例越高；其他因素一定時，θ越小，自留比例越高。θ越大，保險人越傾向于分出更多的風險責任，體現了再保險政策的激勵性。當α、ρ、θ一定時，分保結果則取決于承保率、保障水平和受災程度。在其他因素相同時，承保率越高，自留比例越高；在其他因素相同時，保障水平越高，自留比例越高；在其他條件相同時，作物成災損失程度越高，自留比例越高。反之皆越小。表4中列出了基于閾值的最優分保風險區間。

2.3.3 風險分層在保險實務中的建設性意義

2012年河南省農業保險工作方案規定，對單個保險品種賠付率300%以內的損失進行封頂賠付，僅劃分了兩個風險層：將賠付率＜200%作為直接保險，200%～300%的損失部分由再保險解決（再保險解決不了的部分由財政部門和承保機構按照1:0.5:0.5的比例分攤）。這種設計與小麥保險保障水平為70%、損失率為80%的各設定情景下的風險層次劃分結果基本一致，即第一層為10%～191.76%，第二、三、四層合并形成的區間為191.76%～297.32%，判斷河南省小麥保險風險控制設計已達50年大災重現的高防范水平，但第二層規定由再保險承擔、進行封頂賠付并缺乏強制性分擔安排。河南省農業保險的實際發展狀況是，2012年小麥畝產的實際保障水平僅為34.78%，2013年為37.3%，2014年為40.5%。到2014年，小麥、玉米和水稻三大作物的承保率才達到27.8%，即農作物賠付風險尚處于情景1的狀態，農業保險的未來發展不僅有賴于政策扶持的推動，還要加快再保險、大災風險準備金等多層次意義上的風險分散機制的建設。

3 結論

（1）與常規建模比較，極值統計建模拋棄了較小和中部的賠付信息，利用閾值確定了農作物保險賠付風險分布由常規風險到大災風險的“拐點”，更好地刻畫了大災風險分布的厚尾和長尾特征。

（2）大災閾值點的位置受多因素影響，須在保險實務中不斷修正和完善。第一，風險數據。目前，國際上采用產量波動和災害損失兩類數據描述農作物損失風險，分別確定的大災閾值點是有差異的。第二，風險模型。實踐中，特定作物的保險賠付服從于哪種參數分布缺乏定論，只是依據統計檢驗準則篩選理想的分布函數，這種選擇結果可能因時因地有所不同，導致有差異的極值模型和大災閾值。第三，保障水平。對于大宗農作物，近年來各地基于“物化成本”保險的保障水平逐步提高，引致GPD模型的形狀參數也不斷增大，閾值點相應從高。其四，承保面。隨著農作物承保規模的不斷增大，保險聚集風險和分散風險的作用進一步增強，賠付率則會逐漸變小，引致GPD模型的形狀參數也不斷減小，閾值點相應從低。

（3）大災閥值精算對保險人確定再保險分保點具有警示作用。本文認為，實踐中可以閾值作為再保險分保點來劃分第一層自留風險，同時對超越閾值的大額賠付討論破產概率及再保險問題。如果結合風險分擔者的風險承受能力（或容忍度）來考慮自留風險的問題，則應該將閾值作為風險分層決策的重要警示點，采用有效的風險控制措施使保險經營得以平穩運行。

（4）基于精算意義上的風險分層有益于支持建立穩健有效的風險分散機制。本文以河南省小麥保險為例所作的賠付風險分層研究，不僅是一種方法論上的探索，還可以進一步用于精算各層次的保險價格，建立政策性農業保險賠付風險分層可操作的量化框架。