導數在解題中的應用研究

陳曉穎

[摘 要]導數是研究函數及其性質的重要工具.導數可以解決函數中的最值問題、恒成立問題、不等式問題.研究導數在解題中的應用具有現實意義.

[關鍵詞]導數；高考；解題；策略

[中圖分類號] G633.6 [文獻標識碼] A [文章編號] 1674-6058（2018）14-0004-02

近年有的省高考題中出現將導數和不等式、函數的單調性等有機設計的綜合題.本人結合平時教學實踐，就導數在解題中的應用作個淺析.

一、求函數的切線

【例1】 （1）曲線[y=x3-x+3]在點[（1，3）]處的切線方程為 .

分析：此題主要考查導數在某點處的切線方程及導數的幾何意義.

解：[y′|x=1=3×12-1=2]，[∴]切線方程為[y-3=2（x-1）]，即[2x-y+1=0].

（2）若曲線[y=ax2-lnx]在點[（1，a）]處的切線平行于[x]軸，則[a=] .

分析：此題主要考查由切線方程求參.

解： [y′=2ax-1x，y′|x=1=2a-1=0，∴a=12] .

<攻略一>函數[y=f（x）]在點[x0]處的導數的幾何意義就是[y=][f（x）]在點[P（x0，f（x0））]處的切線的斜率，即[k切線=f′（x0）].此類考題主要是利用導數的幾何意義解決.

二、求函數的單調性、極值和最值

【例2】 設函數[f（x）=x3-kx2+x] [k∈R].

（1） 當[k=1]時，求函數[f（x）]的單調區間；

（2） 當[k<0]時，求函數[f（x）]在[k，-k]上的最小值[m]和最大值[M].

分析：此題考查函數的單調性、極值以及最值.第（1）問利用導函數的正負求函數的單調區；第（2）問函數表達式、定義域中含有參數k，故需要分類討論，分類標準為考慮區間[k，-k]與對稱軸[x=k3] 的關系.

解：（1）當[k=1]時，[f ′x=3x2-2x+1，Δ=4-12=-8<0]， [∴f ′x>0]，[fx]在[R]上單調遞增.

（2）當[k<0]時，[f ′x=3x2-2kx+1]，其開口向上，對稱軸[x=k3] ，且過[0，1] ，如圖所示.

（i）當[Δ=4k2-12=4k+3k-3≤0]，即[-3≤k<0]時，[f ′x≥0]，[fx]在[k，-k]上單調遞增.[∴fxmin=][m=fk=k]，[fxmax=][M=f-k=-k3-k3-k=-2k3-k].

（ii）當[Δ=4k2-12=4k+3k-3>0]，即[k<-3]時，令[f ′x=3x2-2kx+1=0 ，]解得 [x1=k+k2-33，x2=k-k2-33]，

由[k

[∵fx1-fk=x31-kx21+x1-k]

[=x1-k·x21+1>0 ]，

[∴fxmin]=[m=fk=k]，

[∵fx2-f-k=x32-kx22+x2--k3-k?k2-k=x2+k[x2-k2+k2+1]<0，]

[∴fxmax]=[M=f-k=-2k3-k.]

綜上所述，當[k<0]時，[fxmax]= [m=fk=k]，[fxmax=][M=f-k=-2k3-k].

<攻略二>首先求出函數的定義域.利用導數求出單調區間進而求極值及最值.此題是求動區間上的最值問題，含有字母參數的應重點分析參數的取值范圍對結論的影響.本題第二問關鍵在求最大值，需要因式分解，才能找到極值點的位置，進而求最值.

三、解決零點存在的問題

【例3】 已知函數[f（x）=ex-ax2-bx-1]，其中[a，b∈R]，[e=2.71828…]為自然對數的底數.

若[f（1）=0]，函數[f（x）]在區間[（0，1）]內有零點，求[a]的取值范圍.

分析：此題主要考查函數取最值的條件及函數的零點求參，屬于綜合問題由零點求[a]的取值范圍.轉化為函數的最值問題，利用導數求最值.

解：由[f（1）=0][?][e-a-b-1=0][?][b=e-a-1]，又[f（0）=0].

若函數[f（x）]在區間[（0，1）]內有零點，則函數[f（x）]在區間[（0，1）]內至少有三個單調區間.

當[a≤12]或[a≥e2]時，函數[g（x）]即[f ′（x）]在區間[[0，1]]上單調，不滿足“函數[f（x）]在區間[（0，1）]內至少有三個單調區間”.

若[12

令[h（x）=32x-xlnx-e-1]（[10?x

所以[h（x）]在區間[（1，e）]上單調遞增，在區間[（e，e）]上單調遞減.

[h（x）max=h（e）=32e-elne-e-1=e-e-1<0]，即[g（x）min<0]恒成立.

于是，函數[f（x）]在區間[（0，1）]內至少有三個單調區間[?][g（0）=2-e+a>0g（1）=-a+1>0][?a>e-2a<1].

又[12

<攻略三>函數零點或方程的實數根與函數的單調性關系是解決此類問題的關鍵.處理零點問題的基本方法是轉化為函數的單調性及極值、最值來處理函數的圖像與x軸交點問題.

四、解決恒成立問題

【例4】 已知函數[f（x）=ex-ax]，其中[a]>0，[x∈R，f（x）≥1]恒成立，求[a]的取值集合.

分析：利用導函數法求出[f（x）min=f（lna）=a-alna.]對一切[x∈R， f（x）≥1]恒成立，轉化為[f（x）min≥1]，從而得出求[a]的取值集合.

解： [f ′（x）=ex-a，]令[f ′（x）=0得x=lna].當[xlna]時，[f ′（x）>0， f（x）]單調遞增.故當[x=lna]時，[f（x）]取最小值[f（lna）=a-alna.]

于是對一切[x∈R，f（x）≥1]恒成立，當且僅當[a-alna≥1].①

令[g（t）=t-tlnt，]則[g′（t）=-lnt.]當[00，g（t）]單調遞增；當[t>1]時，[g′（t）<0，g（t）]單調遞減 . [∴]當[t=1]時，[g（t）]取最大值[g（1）=1].因此，當[a=1]時，①式成立.綜上，[a]的取值集合為[1].

<攻略四>解決恒成立問題通常轉化為構造函數求最值，即f （x） [≥]m恒成立可轉化為f（x）min [≥]m，從而得出m的取值范圍.

總之，通過對近幾年高考試題的分析，發現導數在解決數學函數問題時使用非常方便，尤其利用導數來解決函數的單調性、最值、不等式恒成立、零點問題.

（責任編輯 黃桂堅）