圓柱齒輪減速器的優化設計

鄭航

摘 要：機械傳動系統中的重要零件就是齒輪減速器，它在各類機械設備上具有極為廣泛的應用。不斷地試湊、校核是傳統減速器的設計方法，即使設計方案達到了預期效果，但是通常其效果并不能達到最優。通過選取設計變量，確定目標函數及約束條件，圓柱齒輪減速器的優化設計的數學模型才方可建立。

關鍵詞：優化設計；圓柱齒輪；減速器

1減速器優化設計方案

優化設計通常分為三大類：結構外觀上避免體積過大，使用方面追求減速器承載能力達到最大，經濟方面在設計減速器時花費更少的資金。要達到第三類目標的要求，會有很多因素參雜其中，除了合理地設計出減速器的設計方案，單位的勞動能力、管理能力、設備結構和材料價格等因素都會被涉及。最終，第一類或第二類優化類型，即追求小體積成為了設計人員所采納的優化方案。其中，在追求小體積和追求最大承載能力方面也起到了沖突。如果減速器的大小一定，那么受到限制的就是減速器的承載力；如果所受到的承載力是一定的，那么受到限制的就是減速器的大小。因此，兩種類型的實質是一樣的。優化減速器時，體積則是由中心距離體現出來的。所以，優化減速器大體可以分為兩種類型，第一類優化：根據給出的承載范圍，中心距離作為減速器的優化重點；第二類優化：根據減速器的中心距離，減速器的承載范圍作為優化重點。

2傳動比的分配

1）每級傳動比應在推薦值范圍內，且各級傳動比應使傳動裝置尺寸協調、結構勻稱、不發生干涉現象，使減速器獲得盡量小的外形尺寸和重量；2）使各級傳動的承載能力（一般指齒面接觸強度）接近相等；3）使各級傳動的大齒輪浸入油中的深度大致相等，以避免低速級大齒輪浸油過深而增加攪油損失。在設計展開式雙級圓柱齒輪減速器時，考慮到各級齒輪傳動的潤滑合理性，應使兩大齒輪直徑相近，推薦值取i1=（1.3～1.4）i2或i1= ，其中：i1、i2分別為高速級和低速級齒輪的傳動比，i為減速器的總傳動比。對于同軸式雙級圓柱齒輪減速器，一般取i1=i2= 。對于多級減速傳動，可按照“前小后大”（即由高速級向低速級逐漸增大）的原則分配傳動比，且相鄰兩級差值不要過大。這種分配方法可使各級中間軸獲得較高轉速和較小的轉矩，從而減少了軸及軸上零件的尺寸和重量，使得結構較為緊湊；而且可減小因制造精度等而引起的傳動鏈誤差和中間傳動件誤差對末端原件的影響。

3圓柱齒輪減速器的優化設計

3.1建立目標函數，確定設計變量

對于齒輪減速器，在齒輪和軸的結構尺寸確定之后，箱體的尺寸隨之確定，當材料不變時，質量和體積正相關，故可按減速器中齒輪和軸的體積之和的表達式建立目標函數。為便于與箱體零件連接，設主動軸伸出箱外28mm，從動軸伸出箱外32mm。大齒輪結構采用輻板式，輻板上有四個均布孔。于是齒輪與軸的體積之和為： （1）

式中：d1=mz1，dg=1.6d1'，d2=imz1，d0=0.25（imz1-10m-1.6d2'），D2'=imz1-10m，C=0.2B，δ=5m

從式（1）可知，當傳動比i給定時，減速器的尺寸決定于齒寬B、小齒輪齒數z1、模數m、箱體寬度l、小齒輪軸直徑d1'和大齒輪軸直徑d2'，因此得出設計變量，將設計變量代入體積公式，得目標函數：f（X）=0.785398（4.75x1x2x32+85x1x2x32-85x1x32+0.92x1x62-x1x52+0.8x1x2x3x6-1.6x1x3x6+x4x52+x4x62+28x52+32x62）

3.2約束條件

直齒圓錐齒輪傳動比i1≤4，直齒圓柱齒輪傳動比i1≤6，根據傳動比前小后大的分配原則，即i1

由i=i1·i2，所以得到約束條件：

經上述分析可知，二級圓柱齒輪減速器優化設計工作主要是對傳動比進行最優分配，而該問題則屬于一維約束條件的非線性規劃問題。

3.3計算優化結果

罰因子遞減系數C=0.5，采用Powell法對新目標函數進行無約束優化，其中一維優化選用二次插值法，收斂精度取ε=10-7。Powell法的收斂精度取δ=10-3。優化結果如表1所示。

表1優化結果參數表

雖然X2對應的目標函數值較小，但其設計點與多個約束邊界的距離較近，綜合考慮下，選擇最優解為X3。對上述優化結果，根據幾何參數的標準化，要進行圓整，得：

X*=[12230.723.510.213]

f（X*）=33741cm3

對比優化設計前，減速器體積下降比率為：

3.4簡介MATLAB在二級圓柱減速器齒輪優化設計中的作用

初始種群。求解前，在解的備選空間中選擇若干個體組成初始種群，采用隨機方法產生初始種群。計算適應度。適應度值是MATLAB在群體計算過程中的重要信息，適應度對字符串如何進行復制作出了詳細的描述。適應度函數主要是通過計算個體適應度數值來比較各個適應度的好壞，好的適應度值會在下一次計算過程中繼續被放大，而壞的適應度值則不會進入下一計算階段，進而被淘汰。由此，好的適應度值越來越多，最終的計算結果也會趨于良好。終止準則。終止準則主要指在何種條件下認為找到了最優解，之后便可終止計算，得到最優的計算結果。利用MATLAB軟件進行齒輪優化設計時，設計人員可編制多種遺傳操作算子，之后編制齒輪結構的MATLAB程序，最后對齒輪進行優化設計。

4計算中難點分析

4.1齒輪計算

第一步要通過選擇齒輪材料及熱處理方式來確定許用應力。若傳遞功率大且要求尺寸緊湊，應采用硬齒面組合，選用合金鋼或合金鑄鋼，并采用表面淬火、滲碳或滲氮淬火等熱處理方式，熱處理后硬度可達56～62HRC。第二步考慮硬齒面齒輪失效主要形式是齒根發生彎曲疲勞折斷，按輪齒的彎曲強度進行設計，先計算模數，再校核齒面接觸強度看是否滿足要求。若齒輪工作條件等為一般要求，則第一步可選用碳鋼、鑄鋼或鑄鐵，采用正火或調質等熱處理方式，熱處理后硬度可達250HBS左右，采用軟齒面齒輪的組合；再考慮軟齒面齒輪失效主要形式是點蝕，按輪齒的接觸強度進行設計，先計算中心距，選擇齒數，從而確定齒輪的基本尺寸，再校核齒根彎曲疲勞強度看是否滿足要求。

4.2軸計算

1）第一種方法：先計算危險截面直徑再計算各軸段的直徑，這樣保證危險截面能滿足設計要求，即其當量應力σe值小于等于許用彎曲應力[σ-1b]。如果是高速輸入軸且其與電動機軸相連，需考慮電動機軸的直徑；如果是低速軸且其與聯軸器相連，應選擇合適的聯軸器型號。2）第二種方法：先計算軸最細段直徑再驗算危險截面直徑。這種方法如果危險截面直徑不能滿足要求，則需要重新計算最細段軸的直徑。第一步：先要初算軸徑。第二步：校核危險截面的直徑。

結語

在強度要求滿足條件的前提下，采用設計優化方案，會極大地減小減速器的尺寸，不僅僅提高了減速器的運行效率，而且還減少了材料及財力，優化設計法和傳統設計法之間有著非常密切的關系。雖然優化設計法具有彌補傳統設計法不足的效果，但是優化設計法在一定領域上仍然具有局限性。我們可以把可靠性技術、模糊技術引用到優化設計上，從而形成了可靠性及模糊可靠性優化設計法，在工程設計技術方面有了質的飛躍。

參考文獻

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[3]胡治民，謝志勇.圓柱齒輪減速器的優化設計[J].機電工程技術，2004（7）.

（作者單位：鄭州飛機裝備有限責任公司）