高考數學壓軸題求解范圍問題常用方法之討論法

張秋平

求范圍問題是高考常考的熱門題型之一，常用的方法有分離法，圖像法，解不等式法，討論法，其中討論法難掌握，什么時候用，怎么用，一直困擾著老師和學生，本文就近年高考數學中出現的范圍問題怎么用進行一些探討。

一、由極值的正、負，零及范圍討論

1.【2017課標1，理21】已知函數f（x）=ae2x+ （a-2）ex-x

（1）討論f（x）的單調性；

（2）若f（x）有兩個零點，求a的取值范圍.

【解析】：（1）的定義域為，，

（ⅰ）若則，則，所以在單調遞減.

（ⅱ）若a>0，則由得.

當時，；當時，，所以在單調遞減，在單調遞增.

（2）（ⅰ）若，由（1）知，至多有一個零點.

（ⅱ）若a>0，由（1）知，當時，取得最小值，最小值為.

①當時，由于，故只有一個零點；

②當時，由于，即，故沒有零點；

③當時，，即.

又，故在有一個零點.

設正整數滿足，則.

由于，因此在有一個零點.

綜上，的取值范圍為.

此方法是直接對含參函數進行研究，研究其單調性、最值，對最值的范圍進行研究。

2.【2015高考新課標課標2，理21】設函數 f（x）=emx+x2-mx。

（I）證明： f（x）在（-∞，0）單調遞減，在（0，+∞）單調遞增；

（II）若對于任意x1，x2∈[-11]，都有|f（x1）- f（x2）|≤e-1，

求m的取值范圍。

解析：（I）f '（x）=m（emx-1）+2x，

若m≥0，則當x∈（-∞，0），emx-1≤0，f '（x）<0

當x∈（0，+∞），emx-1≥0，f '（x）>0

若m<0，則當x∈（-∞，0）emx-1>0，f '（x）<0

當x∈（0，+∞），emx-1<0（x）>0

所以，f（x）在（-∞，0）單調遞減，在（0，+∞）單調遞增。

（II）由（I）知，對任意的f（x）在[-1，0]單調遞減，在 [0， 1]單調遞增，故f（x）在x=0處取得最小值，所以對于任意x1，x2∈[-1，1]，

|f（x1）- f（x2）|≤e-1的充要條件是

設函數，則g‘（t）=et-1。當t<0時，g‘（t）>0。；當t>0時，g‘（t）>0。故在g（t）在（-∞，0）單調遞減，在（0，+∞）單調遞增。又g（1）=0，g（-1）=e-1+2-e<0故當t∈[-1，1]時，g（t）≤0.當m∈ [-1，1]時，g（m）≤0，g（-m）≤0即①式成立。當m>1時，由，g（t）的單調性，g（m）>0即em-m>e-1當m<-1時，g（-m）>0，即em+m>e-1。綜上，m的取值范圍是[-1，1]。

二、由單調性分類

3.【2006全國，理21】已知函數。

（I）a>0設，討論y=f（x）的單調性；

（II）若對任意x∈（0，，1），恒有f（x）>1，求a的取值范圍。

解析：（I）f（x）解略的定義域為（-∞，1）∪（1，+∞），對求導數得f（x）在（-∞，），（，1），（1，+∞）為增函數，f（x）在（-，）為減函數。

（II）（i）當0f（0）=1。

（ii）a>2當時，取，則由（I）知f（x0）>f（0）=1。

（iii）

綜上，當且僅當a∈（-∞，2]時，對任意x∈（0，1），恒有f（x）>1。

4.【2011新課標，理21】已知函數，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為x+2y-3=0.

（1）求a，b的值

（2）如果當x>0，且時x≠1，，求k的取值范圍。

【解析】：（1）解略 a=1

b=1。

（2）（理）由（1）知，

考慮函數，

（i）設.由

知，當x≠1時，h（x）<0而h（1）=0，故當x∈（0，1）時，h（x）>0

可得，從而當x>0.，且x≠1時

（ii）設00，而h（1）=0，故當，可得，與題設矛盾。

（iii）當k≥1時，h（x）>0而h（1）=0，故當x∈（1，+∞）時，h（x）>0，與題設矛盾。綜合得，k的取值范圍為（-∞，0]。

三、由必要性分類

5.【2012全國，理20】設函數

（1）討論f（x）的單調性；

（2）設f（x）≤1+sinx，求a的取值范圍。

【解析】（1）解略。

（2）由f（x）≤1+sinx得，f（π）≤1，aπ-1≤1

所以.

令

當

。

又，即，當時，有

①當

②當

綜上，a的取值范圍是].

通過取特殊值得出所求范圍，證明此范圍是所求范圍，其他范圍不滿足條件。

四、由極值點落不落在定義域分類

6.【2012天津，理20】已知函數f（x）=x-ln（x+a）的最小值為0，其中a>0。

（1）求a的值；

（2）若對任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx2成立，求實數k的最小值；

【解析】：（1）解略

（2）當k≤0，取x=1，有f（1）=1-ln2>0，故k≥0不合題意。

當k>0時，令g（x）=f（x）-kx2，即g（x）=x-ln.（x+1） -kx2

⑴

因此g（x）.在（0，+∞）上單調遞減。從而對于任意的x∈（0，+∞），總有g（x）≤g（0）=0，即f（x）≤kx2在【0，+∞）上恒成立，故符合題意。

②當，