微小衛星臨近操作僅測距初始相對定軌解析方法

施俊杰，龔柏春，李 爽，白艷萍，李 欣

(1. 南京航空航天大學，南京210016；2. 中科院微小衛星創新研究院，上海201203； 3. 中國人民解放軍92728部隊，上海 200436)

0 引 言

隨著近年來微小衛星技術的蓬勃發展，基于微小衛星平臺的空間在軌服務趨勢已經出現[1]，例如已經進行過在軌試驗的美國XSS-11系統。而微小衛星因為其平臺的特殊性，在能源、載荷等多方面都受到限制。例如，微小衛星難以支撐體積大、功耗高、系統復雜的微波雷達等常用的交會對接傳感器。而常用的光學交會相機也會受到復雜空間環境的種種限制，特別是太陽光照對相機的影響非常大，存在使用窗口問題。因此，光學交會相機的使用窗口限制了微小衛星面向在軌服務交會對接的時間自由度，從而需要有基于其他傳感器的定軌方式作為有效補充，也就引出本文研究的僅測距定軌問題。

僅測距定軌，即在僅有相對距離測量信息的情況下實現軌道確定[2]。通過無線電通訊測距，不需要增加其他載荷、對空間環境不敏感，不增加能源消耗，僅測距定軌的方式具有其獨特的優勢。與研究較多的光學相機僅測角定軌一樣，僅測距定軌屬于測量信息不完備情況下的導航問題。僅測距定軌的概念和應用最早出現于二十世紀六十年代，工程師們采用單個地面測控站測量與衛星的距離，以多組測量實現衛星的定軌[3]。之后，僅測距定軌也被應用在天基衛星對同步軌道衛星的監測定軌任務之中[4]。近年來，隨著航天器在軌服務和編隊飛行概念的發展，部分學者已經開始著眼于航天器相對運動研究僅測距定軌問題[5]。由于僅測距定軌缺乏視線角信息，使得在相對運動軌道動力學環境下利用距離信息進行定軌時存在軌道模糊性的鏡像解問題，即同一組距離信息不能唯一確定真實的相對軌道。Chavez、Doolittle、Lovell和Rundberg等人從相對軌道要素驗證了僅測距定軌的模糊性問題[6-8]。Maessen和Gill基于相對軌道要素討論了雙星編隊僅測距相對導航的狀態可觀測性問題，給出了先驗信息較差時系統也不能輸出正確相對軌道的結論[9]。Wang和Butcher在Tschauner-Hempel動力學下研究了橢圓目標軌道的僅測距相對導航問題，得出了目標軌道的非零偏心率可以排除“退化”的鏡像軌道，但保形鏡像軌道依然存在的結論[10]。Christian在Clohessy-Wiltshire(C-W)動力學下研究了僅測距初始定軌與實時導航問題，提出了采用軌道機動去模糊從而實現僅測距導航的方法[11]。然而，在未知相對軌道的情況下進行軌道機動給交會對接帶來了潛在碰撞風險以及額外的燃料消耗。

現有的僅測距方法研究中，都是在假定測距傳感器在航天器質心安裝的基礎上進行推導的。然而，在實際工程中很難將測距傳感器在航天器質心安裝，進而質心安裝的假定具有一定的局限性，即只能在遠距離交會時近似成立，在近距離交會時這種假定會帶來定軌不確定性，即出現桿臂效應問題。而本文正是利用桿臂效應解決僅測距相對定軌的模糊性問題，實現將帶來不確定性的因素轉化為確定狀態的充分條件。文章首先給出采用的坐標系定義和相對運動動力學模型，對僅測距相對定軌解的模糊性問題進行分析；然后詳細推導基于傳感器偏置桿臂效應的僅測距相對定軌算法；最后通過數值仿真驗證所提算法的有效性，并分析定軌性能。

1 相對運動動力學模型

首先以右手準則建立第二軌道坐標系LVLH。航天器A的質心為原點，定義地心指向航天器A質心的方向為x軸，軌道面內垂直于x軸指向A的速度方向為y軸，z軸滿足右手定則。

在近地近圓軌道、兩航天器之間的距離遠小于軌道半徑且不考慮相關攝動的的假設前提下，航天器A與B之間的軌道相對運動可以由Clohessy-Wiltshire方程進行建模[12-13]，其狀態轉移模型如下[14]

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

式中，ω是航天器A的軌道角速率，不失一般性情況下假設近圓軌道的ω為定值。

2 僅測距定軌的模糊性分析

在航天器相對運動應用中，相對距離信息的測量可以通過激光測距儀、無線電通信TOA等方式完成。假設測距傳感器(激光或無線電接收端)在LVLH坐標系下的位置為ra=[xa,ya,za]T，并且該傳感器與航天器A相固聯。該傳感器可以測得任意時刻與航天器B的相對距離ρ(t)，如圖1所示。

根據三角幾何關系可以得到

(6)

由式(2)～(5)，可知軌道面內的相對運動與軌道面外的相對運動之間獨立。所以令

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

于是式(6)可以改寫為

(12)

其中

(13)

(14)

定義矩陣Mxy為4×4矩陣

(15)

定義矩陣Nz為2×2矩陣

(16)

于是式(14)改寫為

(17)

當za=0，有

(18)

根據式(16)與(18)可得：矩陣Nz是一個對稱的半正定矩陣，并且矩陣的秩為2。所以，如果γ0是定軌的一個解，那么(-γ0)必定也是定軌的一個解，并且這兩個解在任意時刻均會產生相同的測距結果，即

(19)

因此，若za=0，那么定軌的解，即航天器B的初始狀態必然呈現多解。同樣地，由式(13)可以得到：若xa=0且ya=0，那么定軌必然也會呈現模糊性。文獻[11]當中所論證的多解情況，是xa、ya、za全部為零的特殊情況，即收發信號的傳感器位于航天器A的質心。

此外，當測距傳感器在LVLH系中的方位時刻指向航天器B，則有

ra=kx

(20)

(21)

此時根據文獻[11]，可知該情況仍存在模糊性問題。然而在實際飛行過程中，測距傳感器很難一直精確指向目標航天器的質心，所以本文后續的討論中將假設這種情況不存在。

因此，僅測距的初始相對定軌解不存在模糊性的必要條件是“za≠0且xa與ya不全為零”。

3 基于桿臂效應的僅測距解析定軌算法

將式(1)代入式(6)中，得到

Esinωt+Fcosωt+Gsin2ωt+Hcos2ωt+I

(22)

其中，系數A～I分別為

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

由于等式(22)右側，9個關于時間t的基函數線性無關，故系數A～I為定值。式(23)～(26)可改寫為

(32)

(33)

(34)

(35)

由式(32)可得

(36)

將式(36)代入式(35)，可以得到

(37)

將式(36)代入式(34)，可以得到

(38)

由(36)與(38)式，可以得到

(39)

(40)

再由(33)可得

(41)

將式(37)～(41)分別代入至式(27)和式(28)中，有

(42)

(43)

至此得到了航天器B的初始狀態x(0)

(44)

由式(44)可知，初始軌道狀態x(0)存在兩組解。下面通過式(28)～(31)排除其中的鏡像解，由此避免解的模糊性。

分別將式(44)當中的兩組解代入式(29)當中，如果其中一組解滿足該式，而另一組解不滿足，就可以排除多解，得到初始狀態的真實解的情況。假設式(44)當中的真實解為1x(0)，另一組解(多解)為2x(0)，那么當

(45)

時就能排除多解。將式(44)代入式(45)得

(46)

再將式(23)～(31)代入式(46)得

(47)

還可以依據其他系數來排除多解。由式(28)、(30)與(31)得

2(x0xa+y0ya+z0za)]

(48)

綜合上述分析方法，可以得出以下結論：當航天器B相對于航天器A的軌道為非周期軌道時，如果收發信號的傳感器在LVLH系當中的位置滿足以下條件：

①xa≠0且za≠0；

②xa與za不是以下方程組的解；

時，就可以根據式(28)～(31)排除式(44)當中的一組解，進而得到航天器B相對于A的初始狀態。

再根據式(1)即可利用C-W方程得到任意時刻航天器B相對于航天器A的位置，實現相對定軌。

4 數值實例

為了驗證所提算法的有效性，并分析安裝和測距等不確定性帶來的定軌誤差，本文進行了兩組仿真：1.無誤差條件下仿真有效性驗證；2. 不確定條件下仿真定軌誤差分析。

4.1 無誤差仿真

4.1.1參數設置

4.1.2仿真結果與分析

首先需要在不同的時刻對航天器B到傳感器的相對距離進行9次測量，根據式(22)求解出9個系數A～I；此后利用式(44)求解出兩組不同的初始狀態；最后通過式(28)～(31)排除多解，得到航天器B的初始狀態。

為了避免求解系數A～I時出現奇異，測距的時間間隔不能為(T/4)及其整數倍，同時測距時間間隔也不能過短。

相對軌道為跳躍軌道和共橢圓軌道的仿真結果見表2所示。

對比仿真結果與初始位置的真值可以發現，對于跳躍軌道與共橢圓軌道這兩種非周期軌道，該算法的結果與理論值符合較好。

表1 仿真參數設置Table 1 Simulation parameters setting

表2 無誤差仿真結果Table 2 Simulation results for error-free cases

4.2 不確定條件下的定軌仿真

4.2.1參數設置

采用與4.1.1節中相同的初始軌道等參數。此外，假設在組裝航天器A時，傳感器的位置存在1%的常值安裝誤差，即Δra=(0.003,0.006,0.006)T；假設傳感器測距時，存在測距常值偏差Δρ和服從正態分布的測距隨機偏差ΔρN。它們滿足

Δρ=0.01, ΔρN～N(0,0.012)

其中，速度單位均為m/s，長度單位均為m。

4.2.2仿真結果與分析

為了使相對定軌結果更加準確，假定在每一次定軌過程中均測量100次相對距離的值，其中相鄰兩次測量的時間間隔為100秒。利用這100次測距結果，通過最小二乘的方法，得到系數A～I較為精確的值。進行2000次Monte Carlo打靶仿真，圖2和圖3分別表示了相對軌道為跳躍軌道時，航天器B的6個初始軌道參數的帶誤差仿真計算值與理論

參考值的分布關系。圖4和圖5展示了共橢圓軌道時的仿真結果。對仿真結果進行統計分析，得到了如表3與表4所示的定軌誤差均值以及誤差方差。

從表3和表4可知，不確定條件下x方向與y方向的定軌精度較高，而z方向定軌不確定性較大，這是因為定軌解中只有z方向的分母中包含偏置量za，za的誤差經過倒數后會放大定軌誤差，za越小其誤差放大效果越突出。同時，對比跳躍軌道與共橢圓軌道的仿真結果可知，對前者的定軌精度要遠高于后者，主要因為共橢圓軌道時兩航天器間的相對距離先減小后增大，有限的傳感器偏置能夠提供的可觀測度隨著相對距離的增大而快速下降。

E(δx0)/mE(δy0)/mE(δz0)/mE(x0)/(m·s-1)E(y0)/(m·s-1)E(z0)/(m·s-1)跳躍軌道-8.815886×10-46.189603×10-3-7.00129510-17.731142×10-72.001996×10-66.511063×10-4共橢圓軌道9.043480×10-41.652821×10-3-3.954493×10-2-1.413811×10-7-1.714118×10-64.942361×10-4

表4 初始定軌三軸誤差方差Table 4 Three axes initial orbit determination error deviation

5 結 論

本文首先在C-W相對運動動力學模型的基礎上，分析了僅測距相對定軌當中存在的模糊性問題。然后基于測距傳感器偏離航天器質心安裝的桿臂效應，提出一種解析的僅測距初始相對定軌算法，并給出了測距傳感器的安裝準則。最后對所提算法進行了無誤差條件下與不確定條件下的仿真驗證，并分析了安裝和測距等不確定性帶來的定軌誤差。仿真結果表明，該算法具有較高的精度與可靠性。