重復使用運載火箭精確回收滑模動態面控制

錢默抒，熊 克，王海洋

(1.南京航空航天大學機械結構力學及控制國家重點實驗室，南京 210016； 2.南京工業大學電氣工程與控制科學學院，南京 211816)

0 引 言

自人類開展航天活動以來，低成本、高可靠、高效率的航天發射系統一直是航天界追求的目標。可重復使用運載火箭完成預定發射任務后, 全部或部分返回并安全著陸, 經過檢修維護與燃料加注, 可再次執行發射任務, 通過多次使用分攤費用來降低運載火箭的生產與發射成本，因此各航天大國都將其作為未來發展重點[1-2].例如，當前最廉價的火箭“獵鷹9號”，它的造價約為5000萬美元，而使用的推進劑價格僅為20萬美元[3]。2016年4月8日, 獵鷹-9火箭一子級準確降落在面積僅為70 m×50 m的大西洋浮動回收平臺上，狀態如圖1所示, 整個降落過程非常完美，證明了垂直起降重復使用模式的可行性，試驗的成功點燃了學術界和工程界對火箭垂直回收問題的高度關注。然而SpaceX公司在此之前經歷了4次失敗的海上回收試驗,失敗的原因僅1次是因為機械故障，其余3次均是因為控制精度不夠造成[4]。因此垂直返回段的姿態控制是重復使用運載火箭的關鍵技術[5]，需要對運載火箭本體的特性、飛行環境與擾動進行精確數學描述, 合理設計姿態與控制算法，最終由多臺發動機推力矢量控制以及著陸緩沖機構等多種控制機構共同完成運載火箭精確軟著陸與回收。

目前重復使用運載火箭多采用兩級入軌部分重復使用的方式，即僅對火箭一子級進行回收使用。由于一級火箭返回飛行的空域跨度變化大、動壓變化劇烈、氣動參數偏差和干擾嚴重，各通道呈現嚴重的非線性耦合特性，這使得控制系統設計的難度較大，特別是當系統內部參數改變或發生嚴重外部擾動時，經典控制理論很難滿足現代運載火箭特殊機動下的高性能控制需求[6]。因此，必須采用非線性系統設計方法進行火箭控制系統設計。非線性PID控制為飛行控制系統設計提供了一種簡便、直觀的方法，但其控制器設計在一定程度上基于經驗和試湊[7]，盡管可保證系統在局部特征點附近具有很好的閉環控制性能，但并不一定滿足全局范圍內的穩定性、魯棒性和性能等指標要求。動態逆控制雖然能夠有效地對非線性對象進行線性化處理、實現通道間的解耦分析。但是，動態逆控制需要精確描述被控系統，所受的干擾也需精確建模，而這在運載火箭回收控制實際應用中十分困難[8]。以凸優化、聯立法和偽譜法等方法實現在線動態軌跡優化，只是保證高精度的入軌及制導，并不能確保運載火箭姿態控制的準確性[9-11]。文獻[1]給出了計算簡單、易于實現的姿態控制律方法，但是該方法基于線性模型設計完成，不適用于強耦合強非線性的運載火箭的姿態控制，并且沒有考慮不確定性和干擾的影響。

近年來，王子瑞等[12]用一種新型的動態積分滑模控制策略來處理運載火箭參數攝動和外部干擾情況下的姿態調節問題，效果良好，但由于垂直返回段不滿足其文中的假設條件，所以無法直接應用。文獻[13]對運載火箭助推器/一子級縱向通道的俯仰姿態控制進行了分析，并給出了詳細的仿真結果，但是沒有考慮不確定和干擾等對實際系統應用的影響。趙黨軍等[14]針對含有模型攝動及外部擾動的運載火箭姿態控制系統設計了一種基于微分代數方法的自抗擾控制方法，具有良好的自抗擾的性質和一定的容錯控制能力，但是該算法是將非線性系統簡化為線性模型后推導的。國外關于運載火箭的學術論文多是關于大推力入軌及在軌飛行階段的控制及軌跡優化問題，而垂直返回段精確回收控制方面基本沒有。如Lee等[15]提出采用結構奇異值結合動態逆的方法來設計運載火箭在高超聲速巡航階段的控制律以解決動力學參數不確定性的影響。該作者僅對在軌飛行階段的控制進行了研究，并不能直接適用于垂直回收階段的火箭特性。文獻[16]利用最優化原理設計兩級導引律，并且針對GPS丟失的情況設計了預測導引控制。但是沒有研究姿態和速度的控制調節問題。耿克達等[17]提出基于反饋線性化和反演控制技術，將變質心控制引入的各類偏差與干擾作為不確定性因素，考慮氣動參數的變化, 設計了再入飛行器過載和姿態角速度雙回路自適應滑模控制器，保證了閉環系統的穩定性和魯棒性，雖然作者研究對象不是運載火箭但其方法可以借鑒，同時本文還需解決反演控制算法中固有的“微分爆炸”問題。文獻[18]、[19]和[20]分別用動態面控制、自適應反演和變結構滑模等方法研究了運載火箭的姿態控制問題，并且仿真效果良好，但是研究的運載火箭也都是在其發射、大推力入軌及在軌飛行階段，沒有詳細分析垂直返回期間火箭一子級的氣動特性和控制要求。

本文對再入進入垂直返回段的運載火箭的姿態精確跟蹤控制問題進行研究。首先對進入垂直回收段的運載火箭進行動力學建模; 在此基礎上，將運載火箭燃料消耗和油箱晃動引起的轉動慣量變化帶來的攝動部分等作為不確定項，并考慮未知干擾的影響，得到系統的仿射模型；利用自適應滑模觀測器和動態面控制技術，設計了內外環自適應滑模動態面跟蹤控制策略，完成回收段火箭姿態角的非線性精確跟蹤控制，進而保證運載火箭精確垂直回收。

1 返回段動力學模型

運載火箭地面發射后，從調姿完成到火箭一子級垂直著陸于回收平臺的返回段，如何保證垂直著陸時的精確姿態控制是實現安全回收的關鍵，也是本文所研究的主要問題，圖2展示了運載火箭從發射到著陸全過程。運載火箭在垂直著陸前的最后調姿階段，其動力學模型為如下非線性形式[19]：

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

式中：V為飛行速度；α,β,μ分別為攻角、側滑角和傾斜角；L,Y,γ,g,m分別為氣動升力、側向力、航跡角、重力加速度和質量；Iij(i,j=x,y,z)為慣性力矩；d0=[d0x,d0y,d0z]T為外部干擾；三個方向控制力矩組成控制輸入u=[ux,uy,uz]T。

對于動力學模型(1)～(6)，若取狀態變量x1,x2，且x1=[α,β,μ]T,x2=[wx,wy,wz]T,則該模型可轉換為：

(7)

由于運載火箭一子級在整個回收飛行過程中隨著燃料消耗系統質心和轉動慣量將發生顯著變化，儲箱內燃料還可能出現大幅晃動而對系統運動產生顯著影響，但是在建模過程中并沒有包括這類變質量所引起的不確定，所以可知火箭一子級著陸段模型(7)并不能精確描述所有模型參數變化。在前面非線性動力學模型(7)基礎上還需考慮上述參數不確定性和干擾等影響，故實際系統模型為：

(8)

式中：Δf2和ΔB2為燃油消耗和油箱晃動導致質心和轉動慣量變化引起的攝動項。

為進行閉環跟蹤系統的研究，下面給出一些定義。

定義1. 對任意向量η∈Rn，有：

(9)

定義2.對任意向量ζ∈Rn，若ηi≤ζi,i=1,2,…,n，則簡記為η≤ζ，其中ζ=[ζ1,ζ2,ζ3]T為未知實數向量。

為簡化所研究的閉環跟蹤系統控制問題，還需要給出一些假設條件。

假設1[3]. 運載火箭一子級垂直返回著陸段，這個過程中火箭可看作一個軸對稱的剛體。

假設3[21]. Δf2(x2)+ΔB2u=Θυ，其中Θ是已知結構矩陣，υ為一未知列向量。

注1. 垂直起降重復使用運載火箭的回收子級分離后依次經歷：慣性沖高段(在此過程中使用冷氣RCS系統進行大幅度調姿，調頭180°)、第一次動力減速段(火箭發動機點火)、高空無動力再入段、第二次動力減速段、低空無動力再入段(使用柵格舵進行姿態控制并減速)和著陸段等六個階段。本文討論火箭一子級回收過程垂直著陸前最后的調姿階段。

下面給出本文的主要結論。

2 自適應滑模觀測器設計

本文將針對垂直返回動力學模型的未知時變參數進行觀測器設計。假設運載火箭一子級在回收段姿態角小范圍變化，且非線性函數f2(x2)滿足參數為τ1局部Lipschitz條件，即

(10)

針對含有不確定的動力學方程(10)設計一個自適應滑模觀測器：

(11)

式中:Σ是一個事先確定的對角矩陣。

(12)

(13)

式中:Γ(0)>0。

(14)

基于所設計的自適應滑模觀測器(11)，可得本文主要結論如下所述。

定理1. 對于含有變質量等不確定性的運載火箭一子級系統(8)，假定假設1～3都成立，所設計滑模觀測器(11)和自適應估計律(13)，如果存在一個合適的正定矩陣Σ和正實數μ，使得下述不等式成立：

(15)

(16)

則可以保證動態誤差系統(14)是漸近穩定的。

證.首先給定如下李雅普諾夫函數：

(17)

通過參考文獻[17], 時變增益K(t)定義如下：

(18)

(19)

(20)

由式(13)可知,

(21)

(22)

(23)

注2. 與文獻[6]提出的觀測器設計方法相比較，前者需要不確定和干擾上界已知，而定理1中設計的自適應參數觀測器不需要這個已知條件，因此非線性觀測器(11)和自適應估計律(13)在實際應用中更具有優勢。

注3. 需要指出的是在自適應觀測器(11)中出現的輔助變量Γ有兩個作用：1)幫助改善自適應參數的收斂速度；2)可以消除模型(8)中可能出現的高相對階問題。

3 滑模動態面跟蹤控制器設計

與傳統的運載火箭相比，運載火箭一子級返回飛行的空域跨度變化大、動壓變化劇烈和干擾嚴重，使得可回收火箭呈現出很強的非線性動態特性。所以傳統的控制方法已經不適用于一子級的精確回收控制，必須要設計高性能魯棒控制器。

本文基于反饋線性化原理和標準反演控制思想，分別設計了其姿態角和角速率雙回路控制器。同時，為了更好地克服系統不確定性和干擾，在不確定性上界未知的情況下，采用改進的自適應動態面控制，并通過滑模方法對控制參數進行更新，保證閉環系統快速精確的姿態角跟蹤控制，最終實現一種內外環滑模動態面控制系統設計方案。圖3為控制系統結構框圖。

根據運載火箭一子級精確回收要求，箭體需嚴格保持跟蹤設定的回收姿態角，所以首先對內環角速率設計自適應滑模跟蹤控制器。取x2d=[wxd,wyd,wzd]T為虛擬控制量。

定義姿態指令跟蹤誤差如下：

e1=x1d-x1

(24)

式中：x1d是理想姿態指令。

對姿態誤差進行求導得：

選取如下虛擬控制律：

(25)

將虛擬控制量經過一個低通濾波器獲得濾波器的輸出量，然后對這個新得到的變量求導來代替直接對虛擬變量x2d求導，這種方法也稱為動態面控制[22]。引入一個新的狀態變量δ，且讓x2d通過時間常數為τ2的一階濾波器獲得新的變量δ，它們的關系如下：

(26)

定義跟蹤誤差向量

e2=x2-δ

(27)

這也稱之為第二誤差面，對e2求導得

由上式可得實際控制律為

(28)

(29)

由于引入實際閉環系統的狀態量δ與外環虛擬控制量x2d存在誤差，所以需要對此誤差進行分析，不妨將其設為φ，則有φ=δ-x2d。經過變換，

可得

(30)

(31)

式中：

(32)

(33)

下面給出本文的第二個主要結論并進行閉環系統的穩定性分析。

定理2. 假定火箭一子級系統滿足假設1～3情況下， 采用滑模參數估計律(13)和自適應動態面控制律(28)，則可保證火箭一子級閉環控制系統(8)對垂直回收姿態指令的跟蹤誤差是最終一致有界的。

證.首先選取一個李雅普諾夫函數

V=V2+V3

(34)

將式(29)和式(31)分別代入式(34)可得

(35)

易知不等式(36)成立:

同理不等式(37)成立

(37)

其中,不等式(36)、(37)包含的Ξ1, Ξ2均為正常數，所以式(35)可簡化為

(38)

其中Π=Λ+Ξ1+Ξ2。

當k1,k2和τ2取值滿足下列不等式條件時

(39)

重復使用運載火箭一子級閉環跟蹤控制系統(8)對垂直回收精確姿態控制指令x1d的跟蹤誤差最終一致有界，且可收斂于任意小的一個區域內，定理2證畢。

由此可知，重復使用運載火箭垂直回收姿態調整階段，可以利用定理2提出的控制律實現精確垂直著陸回收的控制目標。

4 仿真分析

本節以文獻[19]中重復使用運載器為例，校驗所提滑模動態面控制方案的有效性。運載器轉動慣量J0=[554486 0 -23002; 0 1136949 0;-230020 1376852](kg·m2)。為校驗所設計控制方法魯棒性能，假定外部干擾向量為d0=1000[sin(0.2t) sin(0.1t) cos(0.1t)]T。這里假定仿真時間為再入返回后的調姿垂直著陸階段，從姿態調整開始到姿態調整完畢進入垂直著陸階段的60 s[30]。將回收姿態指令設為x1d=[0,0,0]T(°)，初始姿態x1(0)=[1.5,0.5,-1]T(°)，取τ1=1,τ2=0.4,γ1=2,k1=0.7,k2=1.3,μ=3，矩陣Σ=diag(2,2,3)。

為驗證所提出方法的優越性，這里以燃料消耗影響引起轉動慣量不確定項變化范圍在±6%J0內為例,采用反演控制方法[3]和本文的考慮了變質量引起的不確定性因素的滑模動態面控制(SMDSC)方法相對比，將兩種情況下的跟蹤控制仿真結果進行比較(見圖4～11)，研究在重復使用運載火箭垂直著陸階段哪種方法更適合姿態跟蹤控制要求，圖7～11中小圖中的虛線表示姿態指令。由圖4～6可知，標準反演控制下的姿態角與指令之間存在偏差，如傾斜角μ和攻角α明顯偏離μd和αd，而由圖7～9可知，滑模動態面跟蹤控制方法誤差在6 s之內收斂到零的小鄰域內，能快速準確穩定跟蹤控制指令。所提方法和標準反演控制方法的控制輸入仿真曲線結果見圖10～11。因此，所提滑模動態面控制策略更適用于運載火箭一子級垂直回收階段的控制，同時該方法可以保證達到精確垂直回收的姿態控制要求[4]。

5 結束語

本文研究了可重復使用運載火箭再入后一子級的精確控制回收問題。分別采用自適應滑模觀測器處理不確定性和干擾，在此基礎上設計動態面垂直回收控制律，最后實現了精確姿態跟蹤控制的目標，數值仿真結果進一步校驗了所提結論。