基于MINITAB的飛機輔助動力裝置的壽命分析

陳振中 賈宇航 李海峰 張弛 王航超

摘要：飛機輔助動力裝置（APU）是現代客機上的一種小型渦輪軸發動機。本文對大量采集到的APU使用壽命數據進行分析，通過建立相應的可靠性壽命模型，利用MINITAB軟件對APU的壽命及可靠性進行研究。

關鍵詞：APU;壽命; MINITAB; 可靠性

0引言

APU是飛機上獨立于航空發動機的動力裝置，主要作用是為飛機提供電力、壓縮空氣并且保障飛機在地面時的正常工作^[1]。飛行安全是航空企業首要任務，在此基礎上，確定科學合理的維修周期、減少航材庫存、提高經濟效益是航空公司探討的一個問題。MINTAB軟件是現代質量管理統計領域的廣泛應用的軟件之一，是六西格瑪管理中必需的統計分析軟件^[3]。本文使用MrNTAB軟件中的可靠性性存模塊對某型客機APU的實際使用壽命數據進行分析，在滿足顯著性水平的條件下選擇最優的壽命分布模型，并在此基礎上分析了APU的可靠性。研究結果可以對APU的壽命預測以及檢測周期的確定提供有益的參考。

1利用MINTAB對數據進行擬合

1.1最小二乘法

常用的數據擬合方法主要有最小二乘法和極大似然估計法，本文采用最小二乘法對APU壽命數據進行擬合。最小二乘法的基本原理是將回歸線擬合到數據集中的點來計算，而這些點的值與實際觀測值之間的偏差平方最小。最小二乘法提供了一種對分布參數高效且無偏的估計法。此方法常用于一元線性、多元線性和非線性回歸^[4]。

如果數據分布是非線性的，就需要將分布函數進行二次取對數，然后進行變量替換，使參數線性化，從而運用最小二乘法估計參數^[5-6]。以威布爾分布為例：對等式兩邊取兩次對數可得到

Inln[1-F（x）]=βlnη-βlnx （2）

則令：

X=In x

（4）

A= -βlnη

（5）

B=β

（6）

那么式（2）可以以線性方程給出，即

Y=A+BX

（7）

此時采用最小二乘法對該線性方程的未知參數進行求解，則有：

1.2數據擬合

本文采用南航沈陽維修基地2016年APU維修數據共100組。表1為2016年南航維修基地APU維修數據。A、B兩組數據是隨機抽取的2016年各50組APU的使用時間。從中隨機選取A組50組數據對APU壽命數據利用最小二乘法進行擬合。

在MINITAB中輸入APU壽命數據，并利用最小二乘法對APU壽命數據進行擬合，并得到威布爾分布、正態分布、指數分布、對數正態分布四種分布的分布概率圖以及對應的相關系數。四種分布模型的擬合優度統計如表2所示。

Anderson-Darling統計量（即A-D值）是Anderson和Darling對K-S擬合優度檢驗的一種修正。A-D檢驗較K-S檢驗加重對尾部數據的考量^[7]。A-D值越小，表明分布模型與數據擬合度越高。

通過觀察四種分布的相關系數，威布爾分布的相關系數為0.996最接近1，并且從表1可知威布爾分布的相關系數值最大。因此我們選擇威布爾分布模型作為描述APU壽命可靠性的數學模型。

通過MINTAB軟件的計算擬合的到APU壽命威布爾分布模型的各項參數：β=3.62005，η=6868.87。

2擬合優度檢驗

分布的檢驗是通過實驗或者生產過程中產生統計數據，利用檢驗計算方法推斷產品的壽命是否服從初步分析所選定的分布模型，判斷的依據就是擬合優度檢驗^[7]。

2.1皮爾遜卡方檢驗

在可靠性數據分析中常用的擬合優度檢驗方法主要有兩種，一種是K-S檢驗，另一種是皮爾遜卡方擬合優度檢驗。本文采用卡方擬合優度檢驗對已經建立的威布爾模型進行擬合優度檢驗。卡方檢驗的基本思想是比較樣本某一區間的實際頻數與理論頻數。

假設現有數據服從某一分布，那么得到理論上的總體分布函數，然后將總體數據取值范圍分為若干區間，根據分布函數即可求得落在某一區間內的理論概率P_i。假設樣本量為n。那么理論上落入該區間的頻數為np_i。而從實際得到的樣本中可得知落入這一區間的實際樣本數量為n_i。如果該樣本服從這一分布，那么（ n_i-np_i）²應為極小值。皮爾遜證明^[8]了在H₀成立時，當n→∞統計量的極限分布是自由度為k-1的χ²分布。而在大部分實際情況中，要檢驗的母體分布F₀（x;θ）中θ=（θ₁，θ₂，L，θ_m）的是m維未知參數，即p_i是參數θ的函數。因此在這種情況下，為計算統計量χ²中的P_i，用θ的極大似然估計代替θ。

這時的檢驗統計量為

當n→∞時，Fisher^[9]提出在計算過程中每估計一個參數則統計量就丟失一自由度的原則，證明該統計量的極限分布是自由度為k-m-1的χ²分布。

因此，在給定顯著性水平α時，可由χ²分布分位點求出臨界值c=χ²_1-α（k-m-1）。當χ²的觀測值大于臨界值c=χ²_1-α（k-m-1）時，拒絕原假設。

卡方檢驗適用范圍較廣，母體可以是離散型隨機變量也可以是連續型隨機變量，母體參數可以已知也可以未知，可適用于完全樣本也可適用于截尾樣本和分組數據^[10]。

2.2利用B組數據對威布爾分布模型進行卡方擬合優度檢驗

通過利用MINITAB軟件中的參數分布分析，按之前得到的形狀參數和尺寸設置威布爾分布的參數，并將B組50組數據導入MINITAB中，對得到的威布爾分布模型進行卡方擬合優度及檢驗。設置其顯著性水平為95%。

計算結果見表3。

通過查詢卡方臨界值分布表，在自由度為2、顯著性水平為95%的情況下，臨界卡方值為：

χ²_0.05（2）= 5.99147> 0.145820=χ²

并且P=0.930> 0.05

因此，經由卡方擬合優度及檢驗后發現沒有足夠的理由否定原假設，即APU壽命分布服從威布爾分布W（3.62005，6868.87）。

經過卡方擬合優度檢驗后，發現APU壽命服從參數為β=3.6205、η=6868.87的威布爾分布，由此得到APU壽命分布的累積失效分布函數：

同時，可利用MINITAB軟件得到置信度為95%的APU壽命的威布爾分布概率圖，如圖1所示。圖1中，橫軸為APU壽命，縱軸為失效百分比，經過縱軸任意一點做水平線得到與曲線的兩個交點即為置信度為95%時該失效率的置信上下限。

通過MINITAB中的“可靠性/生存”選項得到該威布爾模型的概率密度函數圖、生存函數圖、故障函數圖和威布爾分布特征參數。

當要求APU可靠度為R=0.95，根據式（9）可以求得可靠度為0.95時的壽命，即

計算可得，在可靠度為R= 0.95時，APU壽命為3023.8h。這意味著APU工作時間在3023.8小時內，可靠性是比較高的，只需要維護人員進行簡單的檢查。利用MINITAB軟件還可以求得該威布爾分布的各項分布特征，如均值、標準差、中位數等等一系列參數。

3結論

本文使用MINITAB軟件對實際的APU使用壽命數據進行分析，確定相關系數最大的威布爾分布作為壽命分析模型，并利用卡方擬合優度進行檢驗。研究結果可以對APU的壽命預測以及檢測周期的確定提供有益的參考，同時對APU的維修以及相關航材儲備提供參考，提升航空維修的效率并降低維修成本。

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