偏微分方程數值解法對比研究

高莉

【摘 要】構建數學模型的主要方法一般以偏微分方程為主，以便于解決科學工作中的各類問題。一般情況下，在構建好模型的基礎上都需要借助一定的方法得出所需要的結果。這些數值方法主要包括有限差分法、有限元方法、有限體積法、修正方程分析、辛積分格式等。其中，應用最為廣泛的有3種方法，分別是有限差分法、有限元方法、有限體積法。文章從應用范圍、基本思路和解題步驟等方面對比這3種數值解法的異同。

【關鍵詞】有限差分法；有限元方法；有限體積法

【中圖分類號】O175 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674-0688（2018）02-0195-02

隨著社會進步和科技發展，越來越多復雜的計算問題有待人類解決。在計算機沒有發明出來前，為了使得一些比較復雜的計算問題得到解決，許多科學家竭盡一生的精力進行研究思考，傾注了大量的心血。因此，數值方法便以解決復雜問題為目的應運而生，而其中至關重要的一部分便是偏微分方程的數值解。例如，人們想要得到精準的數據來預測天氣變化情況，就需要人工計算，但是需要求解成千上萬的偏微分方程組。工作量之大，耗時之長，需要消耗大量的人力腦力[1]。所以，這樣的方法很不現實。此時，偏微分方程的數值解就顯得非常重要了。而偏微分方程數值解中最重要的方法便是以下3種：有限差分法、有限元方法、有限體積法。對于任何一種數學問題的研究，我們在掌握它各種解決思路的同時，應該更好地分辨每種解決方法之間細微的差別，以便對癥下藥，為今后可能遇到的數學問題尋找最佳的解決方法。

1 應用范圍和基本思路不同

一個問題多種解決方法的本質區別在于求解思想的差別，由于每種解決方法的求解思想不同，一些方法的基本思路由于更利于大眾接受而被廣泛利用，當然不能排除一些因素，例如解決方法的適用范圍。另外，解題人的偏愛和解題方法操作的難易程度也會對偏微分方程數值解法的選擇產生影響。

1.1 有限差分法基本思路

應用于計算機數值模擬最早的，可以說是有限差分法。一直到今天，該方法仍然被廣泛運用。同其他方法相比，有限差分方法無疑是最年長、應用范圍最廣，也是最有閱歷的。這種方法首先將需要求解的領域進行分割，劃分為不同的網格。利用有限的網格節點來代替需要持續計算求解的領域。通過開展不同的方法，將網格節點上的不同數值間的差商來替代方程中的數值，進行縮小，達到需求數值組建代數方程組的目的，并運用包含可以計數的差分方程中的未知量，逐步接近并且漸漸產生可以代替的數值的微分方程和定解條件。同時，我們在差分方程求得的結果，可以作為所需求的近似解。接著，把以前方程中出現的微分和在邊界條件中出現的微分，使用差分來尋求近似。近似值也可以運用到機械求積公式中，進一步使其逐步運用不同的條件轉化成為差分方程組。在有限差分法中，最簡便的方法就是把微分問題變成代數問題，進一步求得近似值。可以說，有限差分法是一種發展較早同時比較成熟的數值方法。

1.2 有限元方法基本思路

有限元方法的基本理論主要是變分原理和加權余量法。它主要是將所需計算的領域通過劃分，變成可以計數的并不重復的單元。在不同的單元內，需求適合的節點作為插值點，最終得到一系列插值函數組成的線性表達方式。以主要理論為基礎，將微分方程分散求解，在選取了不同的數值以后，會形成不同的有限元方法。通過利用得到的線性組合不斷接近方程的精確值，所有計算域內的解就能夠看成是由所有單元上的近似解組成的[2]。使用有限元法解題過程中，可以把求解域人為地分成許多有限元的小的、相互接近的子域組成。接著，假設一個比較簡單的近似值，針對所劃分的所有小單元，逐步地演算出這個領域需要的條件，進而得到我們需要的答案。但是，求得的結果并不是精確值，而是近似的。總的來說，有限元法在計算精度上算是很高的，并且可以應對各種不同復雜的形狀，是使用最多也是最有效的方法。這種方法最早應用于結構力學領域，隨著計算機技術的持續發展，逐漸可以應用于流體力學領域。相信隨著科技的不斷發展，將衍生出更多、更便捷的方法來進行計算，解決科學及工程中的問題。

1.3 有限體積法基本思路

有限體積法的另外一個名字是控制體積法。它主要是將所需要計算的區域分割成為一系列不重疊的可控制的體積。同時，不同網格點的四周都得到一個控制體積，接著運用一定的方法將需要解決的方程進行計算，得到一組離散方程。假如需要求出控制體積的積分，則設定假設值，并將其插入網格點間的分布剖面上。因此，可以得到有限體積法的基本方法就是子區域法。這種方法非常利于理解和認識，同時可以直接應用于實際。它最大的優點就是可以達到令人滿足的守恒，就像是守恒原理。通過對有限差分法與離散方法進行比較，可以看出有限體積法即使在粗網格的狀況下，依然能夠展示出精確的積分守恒，而有限差分法只能在網格特別細密時，離散方程才有條件符合積分守恒[3]。在實際生活中，不同的工程由于具體情況不同會產生各種復雜的狀況或者難于解決的問題。而使用有限體積法，面對許多復雜的問題，都能夠得到更好的解決方式，同時也可以更好地適應網格。在進行不同的分析時，可以與其他方法完美融合，比如有限元法。

2 解題步驟方面的不同

同樣的問題會產生不同的解決方法，在具體的解決過程中會產生不同的解題思路。由于每種解決方法的求解步驟不同，因此所利用的原理亦不同，產生的優缺點也各不相同，進而適用的范圍也不同。以下從不同解法出發，進行詳細的闡釋，讓大家對偏微分方程數值解的不同方法有更為清晰、明確的認識。

2.1 有限差分法解題步驟

在數學模型形成一定的系統之后，主要就是運用此種方法求解。主要步驟可具體分為以下幾步：第一，區域離散。將在偏微分方程中得到的區域，通過方法分成含有可以計數的格點網格，即網格的節點。第二，近似代替。運用所學的有限差分公式成為導數，能夠代替其中任何一個格點。第三，逼近求解。換句話說，即在求解的過程都可以認為是使用一個插值多項式及其微分來代替其求解的過程。在一定意義上，以上方法可以在一定程度上達到使人滿意的計算精度。在不斷的求解過程中，方程中的數值解將不斷減小變量間格，或是求得近似的數值，使用離散點上的函數值。按照一定的理論，要想求得更加精確的數值，那么網格步長就要逐漸接近零。但是，人為或者機器計算是存在偏差的，所以說沒有必要一定取得特別小。此時，它的收斂性顯得尤為重要。例如，在二階偏微分方程中，都可以進行相似的使用。在二階偏微分方程的一般形式中，包括某種特征的物理量也就是常說的連續函數。在A、B、C為具體數值時，會出現3個方程形式。分別是橢圓形方程、拋物型方程及雙曲型方程。不同的方程形式會解決不同的問題，同時還需要給出定界的3個不同條件。

2.2 有限元法解題步驟

偏微分方程中的有限元法在求解過程中，可以比較隨意的配置離散點，選取合適的數值和單元剖分密度，從而達到要求中的計算精確程度。具體運用步驟如下：第一，剖分。首先把需要的區域進行分裂，分割成為可以計數的要素集合。每一個小的單元，原則上形狀是可以隨意的。這樣可以使得計算更加簡便，結果更加準確。一般情況下，二維問題通常使用的形狀為三角形或者是矩形；三維空間使用的則是多面體等。第二，單元分析。在分割的不同區域中，插入我們研究所得的數值，也就是說把任意單元中的任意點進行展開計算，從而建立一個線性的插值函數。第三，求解近似變分方程。在可以計數的單元將連續體的數值進行相應縮小，提高計算的時空效率，同時分區域插值解決各種需要解決的問題。桿系結構的形狀是一個桿件，而連續體的形狀可以是三角形、四邊形或者是六面體等[4]。不同的單元中，包含著一些可以計數的簡單函數。這些簡單函數集合是整個連續體函數的元素集合。接著，通過精確的計算，可以得到所需求的數值。現在，有限元法已經應用于各種大型或是專用程序。隨著時間的推移，有限元法也不斷衍生出更多解法，以便于解決更多問題。

2.3 有限體積法解題步驟

有限體積法易于人們理解和使用，并且可以得到合理的解釋。它的最大意義在于，使用有限體積法得到的離散方程，完美地體現了守恒性，就同在微分方程中因為不斷變化的量而產生不斷變小的體積的原理守恒是同樣的道理。同時，假設可以更具靈活性，解決了泰勒由于離散產生的一些缺點。其具體步驟如下：第一，在計算過程當中，將需要計算的區域分割成為一連串的具有不重復的控制體積，使各個得以控制的體積都有一個作為代表的節點，把需要求出的方程在隨意的控制體積內或是具體的時間間隔內作積分。第二，提出不同的假設。面對需要求解的函數或導數，通過對它們的時間或空間的變化線做出可能的需要假設，進一步提高計算的精準度，達到所需要的數值，使得工程能夠得到更好的解決。第三，整理。對以上步驟中出現的一系列線型進行類別劃分，作出不同的整理。總結出節點上不可知量的離散方程的形式。這樣得到的數值，最大限度滿足了守恒，數值更加精確，整個計算推導過程更加清晰。

參 考 文 獻

[1]龐娜.橢圓型偏微分方程反問題的數值解法[J].科技風，2017（7）.

[2]王海林，徐珊，宋論兵，等.偏微分方程數值解法的研究[J].赤峰學院學報（自然科學版），2012（18）.

[3]劉鳳楠.若干四階非線性偏微分方程的數值解法[D].長春：吉林大學，2017.

[4]王剛.一類非線性偏微分方程的數值解法[J].河南城建學院學報，2013（1）.