基于貝葉斯BP神經網絡的區間需水預測方法

郭強 李文竹 劉心

摘要：結合校園歷史用水數據，采用貝葉斯BP神經網絡區間預測方法，對校園用水量進行預測。首先運用貝葉斯準則對BP神經網絡進行優化，之后對區間預測進行仿真并和傳統的BP神經網絡預測法進行比較，結果顯示預測準確率為%.7%，多數預測值和實際用水量吻合，相對誤差絕對值平均為1.6%，最大預測誤差為4.2%，表明該方法不僅可以解決傳統BP神經網絡易陷入局部極小化和收斂速度慢的問題，而且能夠有效預測出校園日用水量的波動范圍，驗證了預測方法的有效性和精確性。

關鍵詞：需水量預測;區間預測;貝葉斯準則;BP神經網絡

中圖分類號：TV214.9 文獻標志碼：A

水是人類生產、生活不可或缺的重要資源。隨著全球氣候變化和經濟社會的發展，水資源短缺現象越來越嚴重，水資源供需矛盾加劇。需水量預測是供水、用水和節水規劃的重要基礎[1]，進行合理有效的需水量預測是各個國家和地區水資源規劃的主要任務[2]。

目前國內外所采用的需水量預測方法有很多種，比較常見的有：①基于恩格爾系數的需水預測方法[3]，該方法把恩格爾定律運用到城市生活用水量預測上面，能較好地反映生活用水量的變化，但是個別年份的相對誤差較大，對非線性數據預測不準確;②基于灰色預測模型的需水量預測方法[4]，通過分析歷史用水數據，建立需水預測模型，能預測長期和短期的用水量，該方法無需太多歷史用水數據，在數據極其匱乏的情況下很適用，但其對歷史用水數據具有很強的依賴性，而且沒有考慮各個影響因素之間的聯系;③BP神經網絡需水預測方法[5-7]，具有非線性映射能力，能預測非線性數據，自學習和自適應能力強，能夠自動提取數據和輸出數據，容錯能力強，在局部或部分數據受到干擾后不會影響最后的預測結果，但是容易陷人局部極小化，收斂速度比較慢，數據在傳遞過程中存在不確定性。上述需水預測方法得到的預測結果均是確定性的，屬于點預測，不足之處在于不能準確預測用水量在未來時段的波動范圍，在實際供用水過程中會出現影響預測的各種不確定因素，而區間預測[8]能夠反映水資源需求的不確定性。

筆者提出一種基于貝葉斯準則[9]的BP神經網絡區間需水預測模型，能描述未來預測結果的波動范圍。該模型首先利用貝葉斯準則求取預測值的均值與方差，進而確定BP神經網絡最優權值和閾值，避免BP神經網絡陷于局部極小化;然后，通過構造目標函數對局部權值和閾值進行調整，解決BP神經網絡算法收斂速度慢的問題;最后，將每一步迭代過程中的BP神經網絡輸入量作為隨機變量，充分考慮BP神經網絡數據在傳遞過程中的不確定性。

1 需水量區間預測方法

先通過聚類算法[10]對不同的用水樣本數據進行歸類，得到多個不同的相似狀態數據，然后輸入到基于貝葉斯準則的BP神經網絡區間預測模型中，輸出得到多個預測值，再根據用水歷史數據預測誤差概率分布范圍，最后形成需水量概率性區間預測結果。

1.1 用水樣本數據的聚類分析

選取歷史用水量樣本數據進行分析。首先采用聚類算法進行合理化分類，設定s為給定的用水數據之間的一個分類距離閾值，對日用水量的任意兩個數據X（t）、X（t），如果滿足下列公式，則稱X（t）和X（t）為一類，即屬于相似狀態：式中：D（t，t）為兩個數據之間的距離。

為了提高預測精度，對同一類的兩個數據Xa和Xi進行關聯度計算，公式為式中：r_i為數據X₀和X_i的關聯度，關聯度越高表示數據越接近，預測精度越高;d為數據總量;k為數據中的某個值，取1到24;ξ_i（k）為數據X₀和X_i在k點的關聯系數;X₀（k），X_i（k）分別為數據X₀和X_i在k點的取值;p為關聯度的比例系數。

1.2 需水預測區間選取

區間預測是由點預測組合而成的，設輸入的用水數據為X（t_i）（i=1，2，…，k），根據點預測方法，計算區間最小值min和最大值max，[min，max]即需水預測區間。公式為

min=min X（t_i+η）（1

max=max X（t_i+η）（1

1.3 相似狀態選取

為了量化預測值的可變性，引入方差公式，用來表示離X（t）最近的k個臨近點的狀態：式中：σ_t²為預測的方差值，用水量數據從1輸入到k;X（t_i）為輸入的第i個用水量數據;μ為用水量平均值。

把輸入的數據進行相似狀態劃分，得出不同類別的輸出值。輸出值計算公式為

Y_i=Y（X，δ）+ε_i（7）式中：Y_i為同一類別的輸出值;Y（X，δ）為輸入的不同數據;ε_i為誤差調節值，服從正態分布ε_i～N（0，σ²），用來調節誤差。

把經過聚類的區間樣本數據輸入到貝葉斯BP神經網絡預測模型中，輸出的需水量預測結果會形成一個區間，再根據用水數據歷史預測誤差產生的概率分布范圍，形成需水量概率性區間預測結果。

2 貝葉斯優化BP神經網絡權值閾值

實現區間預測的關鍵在于對用水數據進行準確分析，并利用BP神經網絡進行有效訓練及仿真。貝葉斯BP神經網絡區間預測的步驟：①將篩選后的若干個用水樣本數據的相似狀態進行歸一化處理，初始化BP神經網絡的結構和參數;②BP神經網絡初始化權值閾值，選擇和函數與核參數，構造似然函數，利用貝葉斯準則求得權值的高斯分布，采用反復迭代的極大似然估計方法找到最佳超參數，確定最優權值閾值;③對最優權值閾值進行訓練、仿真，對仿真輸出的數據進行仿真精度和預測精度驗證，輸出滿足條件的預測值;④對輸出的用水預測數據進行誤差校正，轉化數據，輸出用水數據的預測結果。

2.1 神經網絡權值概率分布

對于歸類輸出后的訓練樣本（X_i，Y_i）（i=1，2，…，n），應用貝葉斯法則，可以得到神經網絡權值的后驗概率分布[11]，表達式為式中：α和σ²為最佳超參數，決定權值ω的先驗分布;Y為輸出的用水量預測值;式中的分母為歸一化因子，表示權值的先驗分布。

神經網絡權值的后驗概率分布同時服從多變量高斯分布[12]：

P（ω|Y，α，σ²）=N（μ，Σ）（9）式中：Σ為用水量數據的協方差。

通過均值和協方差來確定最佳超參數，從而確定最優權值。

2.2 權值最優解

根據用水數據的均值和協方差，采用極大似然估計方法可得出最佳超參數α和σ²的最優解：式中：Φ迭代參數。

反復計算上式直到滿足收斂條件，可以得到更新后的最佳超參數，然后代入式（8）中，從而可以求出權值的最優解。

2.3 閾值最優解

將得到的權值最優解代入下列公式，就可以求出BP神經網絡的閾值最優解：式中：Y^*為輸出的最優預測值;w^*為最優權值。

2.4 權值和閾值的調整

BP神經網絡結構分為輸入層、隱含層和輸出層[13]3層，每一層都包含有神經元。本研究把溫度、濕度、降水量作為輸入神經元，把日用水量作為輸出神經元，然后進行預測。

提供訓練樣本，輸入向量X'=（X₁'，X₂'，…，X_n'），期望輸出向量Y'=（Y₁'，Y₂'，…，Y_n'），對輸入的用水樣本數據進行迭代，得到神經網絡的實際輸出值：式中;a_kj為第k個樣本在第j層的輸出;f_j為修正系數;w_ji為第j層和第i層的連接權值;a_ki為第k個樣本在第i層的輸出;b_j為第j層的閾值。

在訓練結束后，調整權值和閾值，對應的輸出結果若不滿足精度要求，則繼續調整直至符合要求，其算法公式為式中：a為權系數調整常數;δ_j為各層的反傳誤差。

調整主要是對上一層的權值和閾值進行誤差改進，為了加快收斂速度，一般要考慮上一層的權系數。

2.5 學習速率調整

標準BP神經網絡算法收斂速度緩慢的一個重要原因是學習速率選擇不當[14]，學習速率若選得太小，則收斂太慢;若選得太大，則有可能導致振蕩甚至發散。本文對于BP神經網絡學習速率的調整方法是：在收斂的情況下，增大η，以縮短學習時間;當η偏大致使不能收斂時，及時減小η，直到收斂為止。

3 仿真結果

3.1 需水區間預測結果

使用MATLAB軟件[15-16]進行需水預測仿真，以河北工程大學校園用水量為研究對象，采用2017年6月30日以前的日用水量樣本數據對6月30日的逐時用水量進行預測，并與實際值進行比較。首先根據聚類算法，將用水樣本數據相近的點進行歸類篩選，找到不同相似狀態的用水預測值，然后將這些預測值輸入到貝葉斯BP神經網絡模型中，輸出得到需水區間預測曲線（見圖1）。由圖1可以看出，6月30日24個實際值均落在預測值區間內，說明本文的預測方法是準確有效的。

3.2 需水預測區間置信水平

置信水平[17]是指總體參數值落在樣本統計值某一區間的概率，置信水平越高，說明所選取的區間范圍可靠程度越高，需水預測的結果也就越準確。本文以區間覆蓋率X_CP（實際測量值落在預測區間內的概率）來衡量區間的置信水平，圖1所有的實際值都位于預測區間內，即區間覆蓋率達到了100%，表明本文的需水預測區間是有效的。

3.3 需水預測區間上限與下限曲線

取圖1預測結果曲線族的包絡曲線，得到預測區間上限與下限曲線（見圖2），日用水量逐時實際值全部落在預測區間內。由預測區間上限和下限曲線可以更加直觀地看出實際用水量的波動范圍，雖然用水數據存在一定的局限性，但是本文的預測區間上下限波動范圍為50～350m³，實際值均落在區間之內，進而說明預測的有效性和精確度。

3.4 需水預測區間中值曲線

根據圖2預測區間上限和下限曲線得到區間中值曲線（見圖3），把區間中值作為需水量確定性預測結果，再結合貝葉斯準則算出置信水平。由圖3可以看出，預測區間中值曲線和實際值曲線較為接近，但是局部仍存在一定的誤差，需要通過誤差校正的方法對中值曲線進行合理優化，以提高預測精度。

3.5 預測區間中值誤差校正

在一定置信水平下，區間預測結果在某些點處的區間長度略顯過大，因此局部預測結果精度不高。為使需水量預測更加準確，應采取誤差校正的方法來改善輸出值，具體步驟如下。

（1）把區間預測輸出值中的最優值u^*輸入到數據訓練庫中。

（2）求u^*與BP神經網絡的輸出均值u之差：

（3）對神經網絡的輸出值ui進行誤差校正：式中：u_i'為誤差校正之后的值;h_i為反饋校正系數。

最后將校正過的結果輸出即可，校正后的區間中值曲線見圖4。

從圖4可以看出，經過誤差校正之后的區間中值曲線和實際值曲線更為接近，逐時用水量經過調整后更加趨近實際用水量，相對誤差絕對值平均為1.6%，誤差大于3%的點有3個，最大誤差為4.2%，預測準確率為96.7%，說明本方法預測精度很高。

4 貝葉斯BP神經網絡預測法與傳統BP

神經網絡預測法的比較

傳統BP神經網絡預測方法收斂速度較慢，本文根據貝葉斯法則構造目標函數，對神經網絡傳遞過程中的局部權值進行了調整，收斂速度大大加快。兩種預測方法的對比見圖5?？梢钥闯觯瑐鹘yBP神經網絡預測方法容易陷入局部極小化，而貝葉斯BP神經網絡預測方法改善了局部極小化的問題，需水預測結果更加準確，精度更高。

5 結語

本文利用校園歷史用水數據，采用貝葉斯準則對BP神經網絡進行合理優化，解決了傳統BP神經網絡容易陷人局部極小化和收斂速度慢的問題，從仿真結果印證了區間預測方法的準確度更高、預測效果更好，從而為需水預測提供了有效方法。

在建立需水預測模型的過程中，影響用水量的因素還有很多，對于輸入因子的選擇今后還需要進一步研究。另外，可以嘗試將其他效果較為理想的需水預測方法和BP神經網絡預測方法結合起來形成組合預測模型進行研究。

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