初中數學教學中培養學生思維嚴密性的探究

姜明

摘 要：思維嚴密性是數學思維活動的主要特點之一。在數學教學的各個環節中努力培養學生思維的嚴密性，是提高課堂教學效率的重要手段。本文以典型的案例，闡釋了在變式教學、計算教學、證明教學和數學試卷講評中培養思維嚴密性的具體的策略。

關鍵詞：思維 嚴密性；變式教學；試卷講評

一、在變式教學中培養思維嚴密性

變式教學是指應用變式題進行教學的一種教學方式。變式教學中，可以對原題的題設進行變式，可以對原題的結論進行變式.變式教學必須抓住問題的核心內容，適當進行變式，引導學生關注問題的不同方面，引導學生轉化觀察問題的不同角度，引導學生感受問題的不同深度，從而引導學生發現變化中不變的本質，適應數學問題的不斷變化，加深對數學問題的理解，提高思維的嚴密性。

案例1 如圖1，△ABC的角平分線BD和CD交于點D，試猜想和的關系，并說明理由.

為了進一步讓學生感受三角形角平分線的夾角與三角形內角的關系，可以對上述原題的題設進行變式，從而得到以下變試題：

變式1：如圖2，△ABC的外角平分線BD和CD交于點D，試猜想和的關系，并說明理由。

變式2：如圖3，已知△ABC，的內角平分線BD和的外角平分線CD交于點D，試猜想和的關系，并說明理由。

通過原題和兩個變式題的練習，讓學生分別感受由兩條內角平分線構成的鈍角與的關系，由兩條外角平分線構成的銳角與的關系，由一條內角平分線和一條外角平分線構成的銳角與的關系，從而使學生能活用三角形的內角和定理與三角形外角定理，加深對此類問題的理解，發現這些變式題之間的實質聯系，進而提高解決問題的能力，提高思維的嚴密性。

二、在計算教學中培養思維嚴密性

計算教學中，既要培養學生解題的基本技能，又要培養學生挖掘隱含條件的能力.所謂“隱含條件”，是相對“顯條件”而言的，是數學問題中已知條件（顯條件）沒有明確表明，且對解決問題至關重要的一些條件，如數學中的性質、公式、定理等.如果在解題中由于思維的不嚴密，忽視這些隱含條件，往往會造成解答的不完整.在教學中，要注意培養學生挖掘隱含條件的能力，讓學生做一個“有心人”，進而培養學生思維的嚴密性.

案例2 已知，是關于的方程的兩個實數根，且，當為何值時，有最小值？最小值是多少？

學生錯解：根據題意知，，

所以

當時，有最小值-2.

上述解答過程看似完美，但從結果看，的值不能為負數，因此解答有誤，錯解忽視了參數的取值范圍.根據方程有兩個實數根得到“≥0”這個隱含條件，知

≥0，進而解得≥-1，由上解知二次

函數圖像的對稱軸為，當≥-1時，

隨自變量的增大而增大，所以當時，有最小值，最小值為.

通過對錯解的分析，使學生發現了錯誤的原因，鍛煉了挖掘隱含條件的能力，提高了思維的嚴密性。

三、在證明教學中培養思維嚴密性

幾何證明教學中，要引導學生找到題目中題設與結論之間因果關系的關聯所在，對這種因果關系進行有條理、有層次、有系統、有步驟的說明.如果在某一步驟的說明上因為思維的不嚴密出現了脫節，就會使得推理論證的不嚴密.因此在幾何證明教學中要引導學生對題目進行正確、全面的分析，在書寫證明過程之前要弄清楚哪些需要證明，哪些不需要證明，哪些需要先證明，哪些需要后證明，這些都弄清楚之后再書寫證明過程，從而培養學生思維的嚴密性。

案例4 在△ABC中，，，邊AC的垂直平分線交BC于點D，交AC于點E，連接BE，求證：BE是△DEC外接圓的切線。

學生錯解：如圖，取CD的中點O，連接OE，∵OC=OE，∴，∴，∵DE為AC的垂直平分線，∴E為AC的中點，又∵，∴BE=CE，∴，∴，又∵OE為半徑，∴BE是△DEC外接圓的切線。

上述解法忽視了一個需要證明的條件：DC為△DEC外接圓的直徑，DC的中點是圓心.造成這種現象的原因在于學生對定理“90°的圓周角所對的弦是直徑”題設與結論的關系的理解上存在“想當然”.在學生心中，“有圓就有直徑”的觀念非常清晰，而且題目中有條件，所以CD是直徑就不用證明了.然而作為幾何證明題，要根據公理和定理進行嚴格的推理論證，即使是簡單的結論，也要進行推理證明。

四、在試卷講評中培養思維嚴密性

數學試卷講評課是學生在考試之后，教師對其講解、分析和評價的一種課型，可對學生已學的知識起矯正、鞏固、充實、完善和深化的重要作用.是知識的再整理、再綜合、再運用的過程，也是尋找學生失分的原因，尋找學生思維誤區的過程.在講評課上可以與學生對話，暴露學生解答失分題目時的思路，分析產生錯誤的原因，尋找思維不嚴密之處，并進行有針對性講評，從而培養學生思維的嚴密性，提高解題能力。

案例5 已知關于x的二次函數（），點和都在二次函數的圖像上，其中n為正整數，，請說明a必為奇數。

在課堂上我先讓學生1說了他的解答：

∵點和都在二次函數的圖像上，

∴，.∵，

∴，∴.

如果a不是奇數，則為奇數，n就不是整數，這與條件n為整數矛盾，∴a必為奇數。

很顯然學生1默認為a是整數.于是我問他：你是不是認為a如果不是奇數就是偶數？學生回答是的，我又問：可能是小數嗎？他恍然大悟，說老師我以為a是整數，而題目沒有告訴這個條件，所以錯了。

在講評課上，教師發現學生的錯誤，不要急于立刻指出來，通過與學生的對話并進行適當的引導，讓學生自己發現錯誤，自己發現思維的誤區，進而自己糾正錯誤，完善自己得思維，進而提高思維的嚴密性。