例談構(gòu)造法證明不等式

蔡維琛

（福建省泉州市晉江市毓英中學(xué)，福建晉江 362200）

引 言

構(gòu)造法是一種靈活的思維方法，沒有固定的思維模式，應(yīng)用構(gòu)造法的關(guān)鍵是聯(lián)想與轉(zhuǎn)化。構(gòu)造法屬于非常規(guī)思維，用構(gòu)造法解題常使數(shù)學(xué)解題變得更加簡單明了，起到意想不到的效果。不等式的證明問題是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個難點，本文著重從函數(shù)、方程、數(shù)列、向量、復(fù)數(shù)、恒等式、新變量等方面，對構(gòu)造法在證明不等式中的應(yīng)用進(jìn)行介紹。

一、構(gòu)造函數(shù)證明不等式

應(yīng)用函數(shù)的思想和函數(shù)的性質(zhì)解決不等式問題是一種很重要的解題方法，函數(shù)問題與不等式問題兩者經(jīng)常可以互相轉(zhuǎn)化。

例1：若2x+5y≤ 2-y+5-x，證明x+y≤0 。

略證：把不等式變形為2x-5-y≤2y-5y，構(gòu)造函數(shù)f(x)=2x-5x，f(x) 為R上的增函數(shù)，因為f(x) ≤f(-y) ，所以有x≤-y，即x+y≤0。

例2 ：已知a,b∈R，并且e＜a＜b，其中e是自然對數(shù)的底，證明ab＜ba。

略證：當(dāng)e＜a＜b時，要證ab＜ba，即證blna＞alnb，只需證，構(gòu)造函數(shù)，其中x＞e，利用導(dǎo)數(shù)來判斷的單調(diào)性，從而證，從而ab＜ba得證。

此類題似乎與函數(shù)毫不相干，但觀察到題目條件或結(jié)論有一定的對稱性，直接證明比較困難，巧妙地構(gòu)造一個函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)使該命題得到了簡潔的證明。

二、構(gòu)造方程證明不等式

方程就是從數(shù)學(xué)問題中提煉出的變量間的相等關(guān)系。方程思想是研究運動中的等量關(guān)系，構(gòu)造方程，通過解方程或運用方程的性質(zhì)去轉(zhuǎn)化問題，使問題得到解決。在解題中，許多問題初看無從下手，這時可根據(jù)其數(shù)量關(guān)系在已知量和所求量之間搭上橋梁，構(gòu)造出方程，使解答簡潔合理[1]。

例3：已知證明b2≥4ac。

簡析：本題已知條件十分簡單，一個方程中含有三個未知數(shù)，要證明一個與這三個未知數(shù)相關(guān)的不等式，一時會沒有思路。但從b2≥4ac這個結(jié)論出發(fā)，聯(lián)想到一元二次方程根的判別式，因此可以想到構(gòu)造一個二元一次方程來幫助解題。

∴△＝b2-4ac≥0。

三、構(gòu)造數(shù)列證明不等式

對于與自然數(shù)有關(guān)的不等式證明，觀察不等式中式子的結(jié)構(gòu)，對比等差等比數(shù)列的公式，有時可以通過構(gòu)造特殊的數(shù)列來證明。

例4：設(shè)任意實數(shù)a、b均滿足│a│＜1, │b│＜1，求證

簡析與證明：不等式中各式子的結(jié)構(gòu)特點與已知條件會讓人聯(lián)想到無窮等比數(shù)列，各項和公式，│q│＜1,

四、構(gòu)造向量證明不等式

如果認(rèn)真分析不等式的結(jié)構(gòu)特征，類比向量的相關(guān)知識，可以構(gòu)造向量，用向量的方法來證明不等式。

例5：求證(1-y)2+(x+y-3)2+(2x+y-6)2≥。

簡析與證明：不等式左邊式子的特點，會讓我們聯(lián)想到向量模的坐標(biāo)表示，設(shè)=(1?y,x+??y?3 ? , 2x+y?6) ，將原不等式左邊看成模的平方，又為使為常數(shù)，又可構(gòu)造?=(1 ,2 1 ,,?1)，于是

所以，(1-y)2+(x+y-3)2+(2x+y-6)2，所以原不等式得證。

五、構(gòu)造復(fù)數(shù)證明不等式

由于復(fù)數(shù)有代數(shù)、幾何、三角函數(shù)等多種表示形式及性質(zhì)與運算法則，故一些難以解決的實數(shù)問題可通過構(gòu)造轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)問題。雖然復(fù)數(shù)的結(jié)構(gòu)會使式子似乎變得更加復(fù)雜，但卻使問題由抽象變得具體，一目了然。

例6：已知a,b,c∈R，

∴原不等式得證。

六、構(gòu)造恒等式證明不等式

代數(shù)式的恒等變形相對沒有固定模式，根據(jù)具體問題，采用不同的變形技巧，會使證明過程簡潔方便。

例7：已知n＞ 1且1且n∈N，

七、構(gòu)造新變量證明不等式

通過恰當(dāng)構(gòu)造新的變量，可將某類數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為另一類問題得以解決。

略證：構(gòu)造新變量a

故原不等式得證。

結(jié) 語

上述例子說明了構(gòu)造法在證明不等式中有著廣泛的應(yīng)用，構(gòu)造得當(dāng)時問題便很快可以得到解決。構(gòu)造法解題重在“構(gòu)造”，它的運用需要熟悉幾何、函數(shù)、數(shù)列、向量等基本知識，并設(shè)法加以綜合利用，這對學(xué)生的綜合能力要求比較高。如果教師能在課堂上多展示構(gòu)造法的應(yīng)用，這對學(xué)生多元思維的培養(yǎng)、學(xué)習(xí)興趣和綜合能力的提高會有很大的幫助。