大跨度斜拉橋拉索參數振動分析

李郁林，黃 林，邵國攀，李 琦

(西南交通大學土木工程學院橋梁系，四川成都 610000)

斜拉索是斜拉橋等大跨度結構中重要的受力構件，它承擔了結構的絕大部分荷載。隨著斜拉橋跨度的增大，較長的斜拉索在受到風雨激勵以及塔或橋面的振動時更容易發生較大的振幅，同時可能呈現出強烈的非線性行為：跳躍、極限環、分叉以及混沌[1-2]。外部激勵作為參數出現在振動系統中，并且隨著時間的變化，在這種激勵作用下的振動稱為參數振動[3-4]。Simpson[5]、Irvine[6]等人運用線性振動理論針對于弦的短索發生微幅振動進行了分析。之后P.Hagedorn[7]等眾多學者建立了考慮大幅振動時索的非線性振動方程，但方程過于復雜[8-11]。Tagata研究了拉索的一階參數振動，不計垂度影響，把拉索視為無重量的弦[12]，導出了無量綱的Mathieu方程。Lilien[13]利用Tagata的方法導出標準弦方程，采用諧波平衡法研究穩態振動時索的振動幅值、瞬態(達到穩態之前)振動時索張拉力的表達方程。 楊詠漪[14]認為隨著斜拉索傾角的變小，垂度效應對索自振頻率的影響越大，因此在進行拉索參數振動分析時一定要考慮斜拉索自重所產生的垂度效應影響; 當拉索頻率和全橋頻率成一定比率時，極易發生大幅度參數振動，對橋梁的使用和安全有不利影響。

目前對于拉索振動的數值分析大部分未考慮塔柱和拉索的協同作用，忽略了索、塔、梁共同振動并非是簡單的參數振動。

基于以上認識，本文通過考慮索、塔、梁協同作用下的參數振動，以某三跨斜拉橋(跨徑布置為108 m+340 m+108 m)為例通過全橋動力特性特征的計算對參數振動的振動機理、線性內部共振進行分析，并提出相應的抑振措施。

1 拉索參數振動機理分析

索、塔、梁共同振動并非是簡單的參數振動，圖1(a)表示實際索與梁共同振動的情況，將質量M的運動分解為垂直于索軸線及沿軸向的兩種運動，分別見圖1(b)和圖1(c)，沿拉索橫向的激勵所引起的振動是強迫振動，沿拉索軸向的激勵所引起的振動是參數振動。

圖1 承受支撐端激勵的水平拉索

拉索的非線性參數振動發生的條件是：外來激勵的頻率是索的自振頻率的2倍。非線性參數振動一般為低階(一階)時最明顯。圖2所示，張緊的無重量拉索(忽略其微小的垂度)可以用來說明非線性參數振動的機理。

圖2 承受支撐端激勵的水平拉索

索的橫向振動可以表示為：

(1)

每一時刻，索的任何微元的慣性力和恢復力都應該保持平衡，由此出現縱向力的波動，這種波動會周期性的干擾恢復力。當縱向激勵的頻率fb是橫向自振頻率fc的2倍時，索端以2fc頻率縱向運動，索力也以頻率2fc發生周期性的變化，索力的增量為：

ΔS(t)=ΔSmaxsin(4πfct)

(2)

這一變化將在拉索中引起二階的、隨時間變化的橫向荷載增量：

△q(t)=-△S(t)y′

(3)

將式(1)和式(2)代入式(3)可得式(4)：

(4)

括號內的第二項只是一個修正項，可略去不計。

△q是一個負阻尼力，若寫成△q=ωy，則阻尼系數：

(5)

(6)

當fb=2fc，發生非線性參數共振時的解將取決于拉索本身的初始阻尼能否消耗橋面支撐點所輸入的負阻尼能量，若忽略拉索自身的結構阻尼，則：

(7)

按照強迫振動原理，可解得共振最大振幅為：

(8)

(9)

然而，在實際斜拉橋中的拉索并不象上面所分析的受到一個周期變化的索力ΔSt的作用，而是作為一種支承激勵。拉索的振動和作為支撐點的橋面、橋塔的振動是相互牽制的。如果結構的振動不發散，拉索的橫向振動也不可能出現一般非線性參數振動所具有的發散現象，而是一種有限振幅的參數共振。

拉索的橫向振幅和其支撐點的縱向振幅之間存在以下關系：

(10)

式中Ac為拉索的橫向振幅；Ab拉索兩支撐點的相對縱向振幅。于是可以得到：

(11)

2 參數振動與線性內部共振分析

全橋拉索布置如圖3所示，各拉索長度如圖4所示，對實際斜拉空間結構，建立精確的斜拉索端部受激振動模型較為困難。一般，可首先對斜拉空間結構用有限元方法進行動力特性分析，得出全橋的各階固有頻率，然后經與每根拉索的各階固有振動頻率比較，選出若干可能產生大幅振動的拉索進行分析。

圖3 全橋拉索布置

圖4 拉索長度

假設拉索兩端支點固定，對全橋動力特性特征進行分析，應用有限元法求出塔柱和空間結構沿拉索軸向的剛度，根據頻率匹配關系求出模型中塔柱和空間結構的關聯質量。最后，利用本模型計算拉索受兩個端部軸向激勵作用的時程響應，得出線性內部共振所需要的條件。

圖5所示為全橋前30階自振頻率，全橋自振頻率隨著振動階數的增加而增加。根據第1節參數振動機理的分析，計算邊跨和中跨拉索各階振型頻率如圖6～圖9所示如圖6～圖9所示，在大橋的西側與東側，拉索的振動頻率均隨著振動階數的上升而上升，且越靠近拉索所連接的橋塔，拉索振動頻率越高，拉索的的振動頻率隨著與所連接橋塔距離的增大而減小。已知各拉索的振動頻率，由此可分析誘發參數振動需滿足的頻率條件和拉索變動軸力幅值條件。

圖5 全橋前30階振動頻率

圖6 拉索振動頻率(西側邊跨)

圖7 拉索振動頻率(東側邊跨)

圖8 拉索振動頻率(西側中跨)

圖9 拉索振動頻率(東側中跨)

圖10的縱軸為橋的整體振動頻率fb和2倍拉索一階自振頻率2fc之比，橫軸為拉索變動軸力幅值ΔSmax和初始軸力S0之比。在fb/2fc=1附近可能發生參數振動，針對拉索阻尼δ，當主梁或塔引起的拉索軸力變化大于某一臨界值時，參數共振才可能發生。通過動力計算可以得到拉索的軸力變動幅值與拉索端部軸向變位幅值之間的關系。對于由頻率條件判斷出可能發生參數振動的拉索，在給定拉索阻尼的前提下，可以確定出引起參數振動的拉索軸力變化的臨界值，進而得出相對應的拉索端部軸向位移變動幅值的臨界值。

圖10 參數振動發生的條件

假定可能發生參數振動的拉索為自振頻率分布在全橋自振頻率的1/2的±5 %范圍內的拉索，主橋考慮前30階振型。可能引起參數振動的橋梁振型和可能發生參數振動的拉索見表1。由表1可知可能發生參數振動的拉索主要集中在150 m以上的中長索和超過200 m以上的長索，拉索基頻集中在0.655 9～0.828 5 Hz范圍。

表1 誘發參數振動的振型及發生參數振動的拉索

可能發生線性內部共振的拉索假定為自振頻率分布在橋梁自振頻率±5 %范圍內的拉索。可能引起線性內部共振的橋梁振型和可能發生線性內部共振的拉索見表2，由表2可知可能發生線性內部共振的拉索型號型號共64種，含蓋短索、中索、長索，拉索基頻分布在0.372 1～1.438 1 Hz。

由以上分析可知，部分索有可能發生參數振動，下面對可能發生參數振動的索進行了基于響應的參數共振可能性分析。首先，將主橋前30階模態納入考慮，拉索基頻處于主橋自振頻率一半的±95 %范圍內的斜拉索將可能發生參數共振。根據確定的拉索基頻和全橋基頻，按參數共振的判別條件推導處索力的最大增量；其次計算拉索伸長量，即斜拉索兩支撐點的相對縱向振幅，再按斜拉索與橋面豎向夾角的關系，反推出主梁或橋塔振動的幅值。當主梁或橋塔振幅超過臨界參數共振允許的主梁或橋塔振幅，則斜拉索將發生參數共振；反之，斜拉索將不會發生參數共振。整個計算中斜拉索阻尼比按最不利的情況取0.1 %，則拉索的衰減系數為0.006 28。

表2 誘發線性內部共振的振型及發生線性內部共振的拉索

從表3可知。在推算出的發生參數共振的最不利情況下，主梁或橋塔振幅均在2.333 m以上，也就是說斜拉索要發生參數共振，則主梁或橋塔的振幅至少要達到2.333 m。無論是節段模型還全橋氣彈模型風洞試驗研究的結果表明，主梁最大渦振的振幅均很小，遠遠小于上述值。因此該大橋發生斜拉索參數共振的阻尼條件不滿足，該橋斜拉索發生參數共振的可能性很小。

表3 誘發參數振動的振型及發生參數振動的拉索條件

由以上分析可得參數共振機制主要受系統非線性關系而非阻尼的影響，故調整局部結構間的頻率關系比增加阻尼對于抑制斜拉索參數共振往往更為有效、合理。

3 斜拉索的抑振措施

通過以上分析，針對振動拉索的參數振動與線性內部共振，提出三類拉索振動的控制措施：空氣動力學措施、結構措施和機械阻尼措施。

(1)空氣動力學措施。對于斜拉索風雨振動，由于拉索振動與水線的形成有密切關系，通過改變拉索表面形狀以阻止水線的形成，可將PE護套外表面附加縱向肋條、纏繞螺旋線或在斜拉索表面壓制凹坑。

(2)結構措施。對于參數共振或渦激振動，目前證明有效的結構措施主要是輔助索方法。可將各拉索之間用一根或多根輔助索連接起來，形成一個索網。輔助索方法減少了拉索的自由長度，提高了整個索面的剛度，從而對于抑制參數振動十分有效。

(3)機械減振措施。拉索易于振動的主要原因是拉索具有非常低的結構阻尼，因此增加拉索阻尼是控制拉索振動最直接、有效的方法。因此在拉索和橋面之間安裝阻尼器成為必然選擇。在索錨處(即在梁體拉索鋼套管內)加設高阻尼橡膠阻尼器(HDR)是國內外廣泛應用方法之一。另一類增加拉索阻尼的有效方法是在拉索和橋面之間安裝油阻尼器。