失諧葉盤系統避共振可靠度評估方法

李 鑫，白廣忱，王鷂瑋

（北京航空航天大學能源與動力工程學院，北京100191）

0 引言

葉盤系統的振動特性對航空發動機整體結構的可靠度有很大影響。實際葉盤系統由于加工、磨損等因素，各扇區之間存在微小差別，稱為失諧。失諧會導致系統出現模態局部化和共振區間拓寬等問題，對發動機運行安全造成嚴重影響。國內外學者對失諧葉盤的振動特性進行了大量研究，取得了很多成果[1-3]。白斌等[4]詳細闡述了失諧葉盤結構分析模型、響應局部化、失諧識別與預測等方面的研究現狀，并對未來研究方向進行了說明；王建軍等[5-7]建立了失諧葉盤系統的集中參數模型，提出3種模態振型局部化的定量描述方法，并對模態局部化現象進行了試驗驗證；Petrov等[8-9]從優化的角度提出1種判斷失諧葉盤系統振動最大響應狀態的方法；姚建堯等[10]給出葉盤結構節徑譜的數學定義，解釋了其物理意義，并利用節徑譜的概念對失諧葉盤結構的動態特性進行分析和評價；Ayers等[11]研究了失諧葉盤結構的瞬態強迫響應特性，計算了在加速、減速和通過共振區時的最大應力。以上研究基于確定性分析，對共振狀態下失諧造成的模態局部化問題進行了詳細說明，但并沒有對失諧葉盤系統進行避共振可靠度分析。

在機械結構避共振可靠度分析方面有很多研究成果。王延榮等[12]建立頻率干涉模型，并用數值方法就具體問題進行求解；張萌等[13]采用梯型和平頂正態型隸屬函數對模態頻率的模糊性進行描述，建立避共振模糊可靠度模型；翟紅波等[14]基于七點計算法和矩估計法，給出了兩端簡支輸流管道避共振可靠度的計算方法；歐陽德等[15]基于葉片共振轉速圖，引入概率故障樹 PFTA（Probability Fault Tree Analysis）的概念，給出評估葉片避共振可靠度的方法；王鷂瑋等[16]建立葉盤結構的有限元模型，得到不同工況下葉盤結構模態頻率的概率分布特性和避共振可靠度變化規律。這些研究中提出的避共振可靠度理論對葉盤系統的避共振分析具有重要意義，但并沒有根據實際工況，考慮失諧葉盤系統激振頻率和模態頻率的相關性。

本文考慮失諧葉盤系統激振頻率和模態頻率的相關性，建立失諧葉盤系統避共振可靠度分析方法，通過對比驗證了其準確性，為失諧葉盤系統的避共振設計和研究提供了理論支持。

1 基本理論

1.1 失諧葉盤系統分析方法

忽略阻尼影響的情況下，諧調葉盤結構的運動方程為

式中：M為結構質量矩陣；K為結構剛度矩陣；F為外部激振力向量；x為結構振動的位移向量；x¨為結構振動的加速度。

對葉盤結構中的質量矩陣M和剛度矩陣K進行隨機失諧處理[17]，分析失諧情況下葉盤系統的振動特性，失諧后的質量矩陣Mλ和剛度矩陣Kλ為

式中：λ1和λ2為表示葉盤結構質量和剛度失諧程度的向量。

由于葉盤結構的模態特性不會受到外部激振力的影響，所以在對失諧葉盤結構進行模態分析時忽略外部激振力的影響，即F=0。則式（1）簡化為

本文采用有限元方法對式（3）進行數值求解，得到失諧葉盤結構的各階模態頻率w和對應的模態位移D，對失諧葉盤結構的模態特性進行分析。

1.2 響應面方法

計算結構可靠度的主要模擬統計方法有蒙特卡洛方法、響應面法以及二者結合的混合模擬方法等。雖然蒙特卡洛方法在計算結構可靠度的過程中具有直觀、簡單的特點，但是對于單次分析需要較長時間的復雜問題，蒙特卡洛方法通常耗時較長，效率極低。響應面法則通過合理的試驗設計選取樣本點，利用選取的樣本點和由樣本點計算得到的響應擬合1個響應面來替代未知的真實狀態曲面，用得到的響應面進行分析，從而大大提高了計算效率。很多學者針對如何利用響應面法進行可靠性分析做了大量工作[18-21]。

本文采用有限元軟件對失諧葉盤系統進行概率分析，計算得到失諧葉盤系統模態頻率對隨機變量的響應面。采用中心復合設計選取樣本點，用不含交叉項的二次響應面對結果進行擬合。不含交叉項的二次響應面為

式中：X=（x1,x2,…,xn），為隨機變量。

得到失諧葉盤系統模態頻率對隨機變量的響應面后，利用考慮激振頻率和模態頻率相關性的失諧葉盤系統避共振可靠度計算方法進行分析，計算得到避共振可靠度的響應面模型。

1.3 避共振分析理論

1.3.1 激振頻率

在避共振分析中，常取葉盤系統的激振力頻率f1為發動機工作轉速w的整數倍，即

式中：B為結構諧波系數，是1個與葉片所在級的前后級葉片數、級前噴嘴數等因素有關的正整數。合理選取B值也是葉盤避共振的重要措施。根據實際工作過程確定w的均值和標準差ew，則激振頻率f1的均值和方差為

1.3.2 模態頻率

本文根據實際工作過程，選定各隨機變量的均值和標準差，利用有限元軟件計算得到葉盤系統的模態頻率f2對各隨機變量的響應面為

式中：x1,x2,…,xn分別為材料特性、載荷、工作溫度等隨機變量。

本文中采用不含交叉項的二次多項式擬和響應面且各隨機變量服從高斯分布，根據統計學規律，模態頻率f2的均值和方差為

1.3.3 避共振可靠度計算方法

基于文獻[22]提出的避共振理論，本文根據葉盤系統實際工作情況，提出考慮激振頻率和模態頻率相關性的避共振分析方法，對失諧葉盤系統進行避共振可靠度分析。

葉盤系統避共振可靠度Rf是指葉盤系統不發生共振的概率，即葉盤系統模態頻率f2避開某轉速w引起的激振力頻率f1的概率。按照傳統的振動設計規范，當f1和f2滿足式（10）時，稱振動設計是安全的。

式中：0＜W＜0.3，為振動設計常數。

給定

用g（f2）表示葉盤系統模態頻率分布的概率密度函數，（ff11）和 （ff12）表示激振力頻率分布概率密度函數，G（f1，f2）=0 表示葉盤系統的極限狀態函數。

根據模態頻率分布與激振力頻率分布的干涉模型，則系統可靠度為

當葉盤系統的模態頻率f2和激振頻率f11服從正態分布時，極限狀態函數G（f11，f2）也服從正態分布，均值EG1和方差DG1為

在傳統分析中，假設f11和f2是相互獨立的，協方差 Cov（f11,f2）=0。但在實際工作過程中，f11和 f2均與隨機變量轉速相關，有一定相關性，即協方差Cov（f11,f2）≠0。根據 χ2分布的規律，對Cov（f11,f2）進行近似計算

2 失諧葉盤系統避共振可靠度算例

2.1 有限元模型及溫度場說明

以某型航空發動機第3級低壓渦輪為研究對象，利用UG建立葉盤結構的3維實體模型，導入Hypermesh中劃分網格，采用有限元軟件進行葉盤結構的振動特性分析。整個葉盤結構共有30個扇區，有限元模型如圖1所示，包含296400個單元，342120個節點。單個扇區的有限元模型如圖2所示。輪盤半徑為160 mm，葉片高度為105 mm，模型選用的材料為鎳基變形高溫合金GH4133。

圖1 葉盤有限元模型

圖2 單扇區有限元模型

為使分析過程更加接近葉盤系統的實際工作過程，根據文獻[23]，對葉片工作溫度沿葉高進行線性分布設計，葉片兩端溫度較低，溫度最高值在葉片中部，輪盤部分由于有冷卻系統進行冷卻，溫度梯度較低。采用1維溫度場插值方法對葉盤系統沿徑向進行分段插值擬合。溫度插值方案如圖3所示。葉盤系統在有限元軟件中按照溫度插值方案進行熱分析，最終得到的穩態溫度場結果如圖4所示。

圖3 溫度插值方案

圖4 葉盤穩態溫度場

為了模擬真實葉盤的失諧狀態，本文將葉片和輪盤所包含的單元分開定義屬性，將葉片的材料參數和溫度場作為分析變量，輪盤的參數是確定的。根據葉盤結構的有限元模型和溫度場計算結果，選定葉盤系統的分析變量見表1。

表1 模型參數

表中：E700、E800和 E900分別為 700、800 和 900 ℃下的彈性模量；t160為葉片和輪盤過渡處的溫度；t200和t220為葉身中間部分的溫度；t260為葉尖處的溫度；W920為航空發動機的巡航轉速。

2.2 失諧葉盤確定性分析

根據表1數據進行失諧葉盤的確定性分析，得到失諧狀態下葉盤系統的模態頻率和響應，將結果與諧調狀態下的葉盤結構的計算結果進行對比，說明對失諧葉盤進行避共振分析的必要性，為失諧葉盤的概率分析和可靠度計算奠定基礎。

隨機選定1個葉片，根據表1中的分析參數，將選定葉片上的各參數設置成失諧狀態，未選定葉片參數保持不變，以此來模擬真實葉盤系統的失諧狀態。利用有限元軟件計算失諧葉盤系統的各階模態頻率f2和對應的模態位移D，與諧調葉盤結構進行對比。為了保證分析結果的準確性，選定了a、b、c3種失諧狀態，各失諧狀態具體參數見表2。

取第2階模態的計算結果進行分析。第2階模態在3種失諧狀態下的計算結果見表3。諧調葉盤和3種失諧狀態下的葉盤對應的第2階模態振型如圖5所示。

表2 諧調和3種失諧狀態下的參數

表3 諧調和失諧狀態下的第2階模態頻率

圖5 各狀態下第2階模態振型

對表3中的模態頻率進行分析，發現失諧導致葉盤模態頻率發生分散，降低葉盤系統的避共振裕度，使葉盤結構更容易發生共振，增加葉盤系統避共振難度。對表3中的模態位移和圖5中的模態振型進行分析，發現在a失諧狀態下，葉盤系統的振型明顯不同于諧調狀態，并且對應的模態位移也是諧調狀態下的3.12倍。說明失諧還會導致葉盤系統出現模態局部化，同時模態位移也會大幅增加。因此，為使葉盤系統避開共振區間，提高葉盤結構的可靠性，進行相應的概率分析和可靠度分析是十分必要的。

表4 隨機變量均值和方差

2.3 失諧葉盤概率分析

失諧葉盤概率分析選擇的隨機變量和分析方法與確定性分析相同，假定各變量均服從高斯分布且相互獨立，均值和標準差見表4。根據確定性分析的結果，選擇失諧葉盤系統的第2階模態頻率f2作為輸出變量。

利用中心復合設計抽樣方法對隨機變量進行抽樣，抽取149組樣本，利用有限元軟件計算得到第2階模態頻率，采用不含交叉項的二次多項式進行擬合，最終得到失諧葉盤第2階模態頻率對各隨機變量的響應面

為了驗證響應面的精確性，利用蒙特卡洛方法，按照隨機變量的分布規律抽取10組樣本，先采用式（19）中的響應面計算得到對應的第2階模態頻率fs再將各組隨機變量分別代入有限元模型計算得到精確的第2階模態頻率fm,計算二者的相對誤差，結果見表5。從表中數據可知，由響應面計算得到的第2階模態頻率與真實結果誤差很小，說明式（19）中的響應面非常準確。

從式（19）中可見，失諧葉盤系統的第2階模態頻率是轉速的函數，在響應面擬合過程中，轉速并沒有被作為小量被忽略，而從式（5）中可見，激振頻率同樣是轉速的函數，再次證明激振頻率與模態頻率不可能是2個相互獨立的變量。

通過蒙特卡洛方法對響應面進行10000次抽樣計算，得到失諧葉盤系統第2階模態頻率f2的概率分布特性，如圖6所示。從圖中可見，葉盤系統第2階模態頻率大致服從均值為865.66 Hz、標準差為50.49 Hz的正態分布。與諧調葉盤相比，失諧葉盤系統的模態頻率拓寬至1個分布區間，增加了葉盤系統發生共振的可能性。

表5 響應面和蒙特卡洛方法計算結果及誤差

圖6 第2階模態頻率概率分布

2.4 失諧葉盤避共振可靠度分析

根據式（8）、（9），對式（19）進行處理，計算得到失諧葉盤第2階模態頻率的均值和方差

將式（20）～（22）代入式（17）或式（18）中，得到考慮激振頻率和模態頻率相關性的可靠度模型。

用得到的可靠度模型計算結構諧波系數B取1～8的情況下對應的可靠度Rfc，并與蒙特卡洛法模擬1000次得到的結果Rfm和不考慮激振頻率和模態頻率相關性的傳統方法的結果Rft進行對比，分析本文提出的避共振可靠度計算方法的精確程度，3種方法的計算結果見表6，本文提出方法及傳統方法相對于蒙特卡洛方法的相對誤差見表7。

表6 不同方法計算下的可靠度

表7 不同方法的相對誤差

從表中數據可見，本文提出的考慮激振頻率和模態頻率相關性的避共振可靠度計算方法相比于傳統的可靠度計算方法，計算結果更加接近蒙特卡洛方法的計算結果，說明本文提出的避共振可靠度計算方法能夠更加精確地計算真實葉盤系統的避共振可靠度。但是本文提出的方法計算得到的結果一般大于由蒙特卡洛方法計算得到的結果，說明本方法在評估可靠性時會對葉盤系統的避共振可靠度產生過高的估計，需要進一步改進。

比較結構諧波系數B取不同值時對應的的可靠度，可以發現B取值接近6時，葉盤系統的避共振可靠度最低，為0.6239；而B取其他值時，葉盤系統的避共振可靠度均較接近1。說明結構諧波系數B的選取對葉盤系統的避共振設計有重要影響。對于本文中的模型，結構諧波系數B應該盡量選取遠離6的值以避免發生共振。在某些情況下，當葉盤系統的結構諧波系數無法更改時，則應將工作轉速限制在更合理范圍內，并盡量減小轉速的隨機性。

3 結論

（1）本文參考已有的振動可靠度分析方法，考慮激振頻率和模態頻率的相關性，建立了失諧葉盤系統的避共振可靠度計算模型。該模型在分析問題時更加接近失諧葉盤系統實際的振動狀態，完善了振動可靠度分析方法。

（2）本文對失諧葉盤系統進行確定性分析和概率分析。發現在失諧狀態下，葉盤系統的模態頻率將會拓展成1個區間，使得葉盤系統更容易發生共振，增加避共振的難度。且在失諧狀態下，葉盤系統的模態位移也可能大幅增加，使葉盤系統激振頻率經過共振區間時更加危險。所以對失諧葉盤進行避共振可靠度分析具有實際意義。

（3）根據本文提出的考慮激振頻率和模態頻率相關性的失諧葉盤系統避共振可靠度計算方法得到的計算結果，相比于不考慮激振頻率和模態頻率相關性的傳統方法的結果，與蒙特卡洛方法的計算結果更加接近，說明該方法合理，能夠更準確預測葉盤系統避開共振的概率，具有較高的工程應用價值。在分析過程中還發現結構諧波系數同樣是影響葉盤系統避共振的重要因素，對葉盤結構的設計具有一定的指導意義。