考慮靜水壓力和LODE角的塑性模型在GH4169合金上的應用

許凱旋 ，胡緒騰 ，宋迎東 ，2

（南京航空航天大學江蘇省航空動力系統重點試驗室1，機械結構力學及控制國家重點試驗室2：南京210016）

0 引言

鎳基合金具備足夠的高溫強度、抗氧化和耐腐蝕性能，廣泛應用于航空發動機輪盤、機匣、軸、葉片等構件中[1]。延性斷裂通常指材料發生明顯塑性變形后的斷裂，是該類構件靜強度設計首要考慮的問題。工程中常采用有限元方法對構件的變形進行仿真計算，再結合延性斷裂準則判斷材料的延性斷裂失效[2-3]。建立準確、適用的塑性本構模型是有限元計算精確結果的基礎，也是進一步研究鎳基合金韌性斷裂問題的保證。

近年來已有學者對鎳基合金的塑性變形進行了比較深入的理論和試驗研究，并建立了一些適用描述鎳基合金力學行為的理論與模型。目前鎳基合金的塑性模型大多通過考慮載荷條件如應變率、溫度等外界條件對材料塑性變形的影響并在本構方程中引入應變率、溫度等補償參數來提升本構方程對材料變形行為的描述精度[4-5]。這類本構方程適用于描述特定載荷條件下鎳基合金的塑性變形，但對一般室溫、準靜態拉伸條件并不適用。實際上在一些室溫、準靜態拉伸等條件下，基于材料單向拉伸應力-應變曲線試驗數據和經典塑性理論（基于von Mises屈服準則）建立的彈塑性本構模型不能準確預測處于復雜應力狀態下的缺口試件的拉伸響應。Maziere[6]，劉華翔[7]，王盛堯[8]等人采用基于von Mises屈服準則的彈塑性本構模型均不能準確預測鎳基高溫合金塑性變形行為。

von Mises塑性屈服理論認為靜水壓力對材料塑性流動的影響可以忽略不計，并且流動應力不受偏應力第3不變量的影響，然而最近一些關于金屬的試驗研究表明靜水壓力和偏應力第3不變量都與材料的塑性變形有關[9]。近年來，Bai、Wierzbizki等[10]發展了考慮靜水壓力和Lode角（偏應力第3不變量）影響的塑性本構模型（簡其稱為B-W模型）。該模型仍采用von Mises屈服準則，但考慮流動應力受靜水壓力（應力3軸度）和Lode角的影響，在硬化函數中引入應力3軸度和Lode角的修正項。。

為建立更加適用于一般條件下的鎳基高溫合金延性斷裂分析的塑性本構模型，本文針對航空發動機盤用典型鎳基高溫合金GH4169，采用B-W塑性理論對其塑性變形行為進行建模和應用，利用B-W塑性模型對GH4169合金缺口拉伸響應曲線的預測能力進行研究和評估。

1 Bai-Wierzbizki模型

經典von Mises屈服函數的表達式為

該屈服函數不考慮靜水壓力和偏應力第3不變量對材料塑性行為的影響。Bai和Wierzbizki等提出的B-W模型依然采用von Mises屈服準則，但引入應力3軸度和lode角修正項對硬化函數進行修正。B-W模型的屈服準則表達式為

式中：η 為應力 3軸度；A（η）、B（γ）分別為應力 3 軸度η和lode角相關參數γ的函數項，用來修正塑性模型。

應力3軸度修正項A（η）主要用來修正靜水壓力對材料塑性行為的影響，其表達式為

式中：η0為基準試驗的應力3軸度，與標定基本硬化函數所選取的試樣和試驗類型相關；cη為材料參數，其大小反映了靜水壓力對材料塑性變形的影響。

當基準試驗為光滑圓棒試樣單向拉伸試驗時，η0=1/3；當基準試驗為光滑圓棒試樣軸向鐓粗試驗時

式中：σm為平均應力為von Mises等效應力。

Lode角項B（γ）主要用來修正偏應力第3不變量對材料塑性行為的影響

Lode角與偏應力第3不變量的關系為[11]

2 GH4169合金拉伸試驗

2.1 試驗材料

本文試驗所用GH4169合金為高強GH4169，其熱處理制度為：960℃保溫1 h，空冷；720℃保溫8 h，空冷[12]。主要化學成分見表1。

表1 鎳基合金GH4169的主要化學成分

2.2 試樣設計

為研究應力3軸度及Lode角對材料塑性變形行為的影響，并確定模型參數，本文分別設計圓棒和平板類試樣。試樣具體尺寸及試樣編號如圖1～5所示。圓棒類試樣通過不同缺口半徑大小來改變應力3軸度的大小，缺口圓棒試樣采用BNT代號加缺口半徑大小區分，如BNT_R5表示缺口半徑R=5 mm的圓棒，光滑圓棒的代號為BST。拉伸試驗中平板類試樣所表征的力學狀態不同于圓棒試樣，軸對稱拉伸（圓棒）狀態下的Lode角參數為1，而平面應變（平板）拉伸狀態下的Lode角參數為0，平面應力（平板）拉伸狀態下的Lode角參數介于0～1[10]。本文通過設計不同厚度的平板試樣來實現不同力學狀態下的材料塑性變形行為，從而研究Lode角對材料塑性變形的影響。平板試樣采用PNT代號加厚度和缺口半徑大小加以區分，如PNT_T3_R3表示厚度T=3 mm和缺口半徑R=3 mm的平板試樣。

圖1 圓棒試樣BST

圖2 圓棒試樣BNT_R5

圖3 圓棒試樣BNT_R1

圖4 平板試樣PNT_T1.5_R3、PNT_T3_R3、PNT_T6_R3

圖5 平板試樣PNT_T3_R3、PNT_T3_R1.5、PNT_T3_R0.75

2.3 試驗方法

對上述試樣進行拉伸試驗，采用日本島津液壓伺服疲勞試驗機，均在室溫條件下進行。所有試樣采用準靜態位移加載控制，底端固定，頂端位移控制，拉伸加載速率為0.3 mm/min，試驗進行到試樣完全斷裂為止。計算機自動記錄各試樣從開始加載到完全斷裂期間的載荷、位移等試驗數據。

圖6 光滑和缺口各試樣拉伸載荷-位移曲線

2.4 試驗結果

試驗得到各試樣從開始拉伸到完全斷裂的載荷-位移曲線。為直觀比較各試樣的拉伸試驗結果數據，將載荷位移曲線轉換成為名義應力-伸長量曲線，如圖6所示。圖中縱坐標為各試樣拉伸載荷除以其最小凈截面積得到的名義拉伸應力，橫坐標位移為各試樣標距段的伸長量，由引伸計測量得到。從圖中可見，對于圓棒試樣，試樣的缺口半徑越小，其斷裂位移越小，斷裂強度越高；對于平板試樣，當試樣的厚度一定時，其缺口半徑越小，對應的斷裂位移越小，斷裂強度也越大。當試樣的缺口半徑一定時，試樣越厚，對應的斷裂位移越大，厚度為6 mm時，斷裂強度最大，厚度為3 mm和1.5 mm時，斷裂強度差別較小。

3 B-W模型參數的確定

3.1 材料參數確定方法

工程中常選取應力應變曲線頸縮點之前的數據用于擬合材料的彈塑性本構參數，對頸縮點之后的應力應變并不考慮。然而對于應變范圍超過頸縮點應變值的塑性大變形分析，僅以頸縮點之前數據得到的材料本構模型參數并不能得出預測材料的變形響應。為此，本文采用光滑和缺口試樣并基于反演法的思想，通過試驗和有限元分析相結合的方法得到材料的本構模型參數。

將B-W塑性模型通過用戶材料子程序VUAMT嵌入Abaqus/Explicit中，通過試樣的拉伸響應有限元模擬與試驗結果的殘差平方和最小來優化確定B-W模型中的材料參數[13]。材料參數優化目標函數為

式中：P為待估計的材料參數矢量；N為試驗曲線中所取的數據點數；wi為加權系數；Fexp（di）、Fcal（di,P）分別為試驗曲線中伸長量為di處的載荷試驗測量值和計算值。

加權系數wi為

式中：Fexp（di）的作用是將殘差無量綱化；L為任取的1個大數，用于放大目標函數值，使得優化目標函數值不至于過小。

圖7 典型試樣的有限元模型

有限元分析中GH4169合金光滑圓棒和缺口圓棒試樣均采用軸對稱模型，模型網格劃分采用4節點軸對稱縮減積分單元（CAX4R）。缺口平板試樣采用3維實體模型，單元類型為C3D8R。有限元模型底端均施加固支約束，頂端施加速度邊界條件，速度大小為 0.005 mm/s。BST、BNT_R5和PNT_R3_T3 3種典型試樣的有限元模型如圖7所示。

3.2 基本硬化函數材料參數的確定

針對GH4169合金非線性應力應變關系的特點，本文采用如下多項式函數來描述其塑性硬化規律

式中：σy0為初始屈服應力；εˉp為等效塑性應變；K、n、r1、b1、r2、b2為塑性硬化參數。

對于光滑圓棒試樣拉伸試驗，在試樣頸縮之前，應力3軸度為1/3，Lode角參數為1。采用光滑圓棒拉伸試驗作為基準試驗，應力3軸度函數A=1，Lode角相關函數B=1。因此，基本硬化模型材料參數可采用GH4169合金光滑圓棒試樣拉伸數據基于優化方程（12）計算得到，其中優化初始點為光滑圓棒應力應變曲線頸縮點之前數據擬合值，具體優化結果見表2。硬化方程采用表2中的參數，并通過有限元計算得到光滑圓棒拉伸載荷-位移曲線與試驗結果的對比如圖8所示。從圖中可見，本文選擇的非線性硬化函數可以較好地描述GH4169合金的塑性變形行為，在試樣頸縮之前（極限載荷之前）拉伸載荷-位移曲線的模型計算結果與試驗結果非常吻合，頸縮之后模型計算結果高于試驗結果，考慮到試樣頸縮之后發生塑性變形局部化，頸縮部位內部將產生延性損傷。文獻[14-15]通過研究材料的力學參數演化歷程得到相關的延性損傷公式，并將損傷變量耦合到材料的本構模型中來改進這一現象，本文對此暫不考慮。僅選擇對GH4169合金光滑試樣頸縮之前的塑性變形行為能夠準確描述的非線性函數建立其基本塑性硬化模型。

表2 GH4169合金基本參數

圖 8 光滑圓棒BST拉伸響應有限元結果與試驗數據對比

3.3 靜水壓力修正項材料參數的確定

Coulomb Mohr最早考慮采用靜水壓力修正屈服準則對巖土力學行為進行研究[16]。B-W模型中的靜水壓力修正項A（η）為關于應力3軸度η的線性函數。拉伸試驗中光滑圓棒試樣頸縮之前的應力3軸度為1/3。缺口圓棒試樣的應力3軸度則與缺口半徑大小相關，一般缺口半徑越大試樣的應力3軸度越小，相反缺口半徑越小、越尖銳，試樣在變形過程中的應力3軸度越高。在拉伸試驗過程中，圓棒試樣呈軸對稱力學狀態，試樣Lode角參數θˉ大小恒定為1，Lode角相關函數B=1。因此，在基本硬化函數確定后，B-W模型中靜水壓力修正函數中的材料參數cη可根據缺口圓棒拉伸試驗數據優化確定。本文采用BNT_R5缺口圓棒試樣的拉伸試驗數據來優化確定參數cη，結果為cη=0.15。采用傳統von Mises屈服準則塑性模型（即不考慮靜水壓力和Lode角影響的傳統塑性模型）和B-W模型（僅含靜水壓力修正）計算的BNT_R5缺口圓棒試樣拉伸載荷-位移曲線與試驗結果的對比如圖9所示。從圖中可見，對于BNT_R5缺口圓棒試樣，采用傳統von Mises屈服準則塑性模型預測拉伸載荷-位移響應曲線明顯高于試驗結果，所預測的缺口試樣極限載荷與試驗結果的誤差約為4.13%。而考慮靜水壓力修正的B-W模型可以更準確地預測GH4169合金缺口圓棒試樣的拉伸響應，所預測的缺口極限載荷與試驗結果的誤差約為1%。

圖9 不同屈服準則下的BNT_R5拉伸響應與試驗數據對比

3.4 Lode角參數修正項材料參數的確定

表3 GH4169合金的B-W模型各修正項系數

圖10 不同屈服準則下的PNT_T6_R3拉伸響應與試驗數據對比

4 B-W模型預測能力的評估

為進一步評價B-W模型對GH4169合金塑性變形行為的描述和預測能力，基于上文確定的B-W模型材料參數，對GH4169合金其他缺口試樣的拉伸響應進行有限元計算和分析。另外，前面在確定基本塑性硬化模型材料參數時，對于GH4169合金光滑圓棒試樣的拉伸響應計算沒有考慮靜水壓力的影響，但試樣在局部頸縮后由于應力3軸度發生變化，所以對光滑圓棒試樣的拉伸響應重新進行計算和對比分析。

4.1 圓棒試樣

GH4169合金光滑圓棒和BNT_R1缺口圓棒試樣拉伸響應的有限元計算結果與試驗數據的對比如圖11所示。從圖中可見，對于光滑圓棒試樣，由于在試樣頸縮之前應力3軸度保持不變，考慮靜水壓力修正的B-W模型計算結果與傳統von Mises塑性模型的計算結果基本重合。但在發生頸縮之后，由于應力3軸度的變化，考慮靜水壓力修正的B-W模型計算的拉伸響應曲線下降，比傳統von Mises塑性模型的計算結果更貼近試驗結果。對于BNT_R1缺口類圓棒試樣，基于傳統von Mises塑性模型預測的拉伸載荷-位移響應明顯高于試驗結果，極限載荷預測誤差為4.13%～10.64%。而采用考慮靜水壓力修正的B-W模型可以較準確地預測BNT_R1缺口類圓棒試樣的拉伸響應，極限載荷預測誤差在1%以內。這一結果說明B-W模型通過考慮靜水壓力對塑性硬化行為的影響，可以很好地描述和預測GH4169合金光滑和缺口圓棒試樣拉伸過程中的塑性變形行為。

圖11 不同屈服準則下的圓棒拉伸響應與試驗數據對比

圖12 不同屈服準則下的拉伸響應有限的計算結果與試驗數據對比

4.2 平板試樣

不同缺口半徑和不同厚度的GH4169合金缺口平板試樣拉伸載荷-位移曲線的有限元計算結果與試驗數據的對比如圖12所示。從圖中可見，采用傳統von Mises塑性模型預測的GH4169合金缺口平板試樣拉伸響應曲線均明顯高于試驗結果。采用僅包含靜水壓力修正的B-W模型仍不能準確預測缺口平板試樣的拉伸響應，預測結果高于試驗結果。而采用同時包含靜水壓力修正和Lode角修正的B-W模型預測的缺口平板試樣拉伸響應曲線與試驗結果均比較吻合。而從缺口平板拉伸極限載荷的預測誤差（見表4）來看，傳統von Mises塑性模型的預測誤差最大，僅包含靜水壓力修正的B-W模型的預測誤差仍較大，而同時包含靜水壓力修正和Lode角修正的B-W模型的預測誤差最小。

表4 GH4169合金缺口平板試樣極限載荷預測誤差 %

對比結果說明本文所采用的非線性硬化函數和優化確定的B-W模型材料參數是合理有效的。更重要的是上述結果表明了B-W模型通過考慮靜水壓力和Lode角對材料塑性硬化行為的影響能夠準確描述和預測GH4169合金在復雜應力狀態下的塑性變形行為，預測效果明顯好于傳統von Mises塑性模型。可以預見采用B-W模型建立的GH4169合金塑性本構模型能夠更加準確地預測GH4169合金延性斷裂相關行為。

5 結論

本文針對基于傳統von Mises屈服準則的塑性本構模型不能準確描述和預測GH4169合金在復雜應力狀態下塑性變形行為，研究和評估了B-W塑性本構模型對GH4169合金的適用性，分別基于光滑圓棒、缺口圓棒和缺口平板試樣優化確定了B-W模型中的基本硬化函數材料參數、靜水壓力修正項材料參數和Lode角修正項材料參數，對比分析了傳統von Mises塑性模型和B-W模型對GH4169合金缺口拉伸響應的預測能力，得到如下主要結論：

（1）基于傳統von Mises塑性模型預測的GH4169合金缺口拉伸響應曲線均明顯高于試驗曲線。

（2）僅考慮靜水壓力修正的B-W塑性模型可以較準確地預測缺口圓棒試樣的拉伸響應曲線，但對缺口平板試樣拉伸曲線的預測結果仍高于試驗結果。而同時考慮靜水壓力和Lode角修正的B-W模型所預測的缺口平板拉伸響應曲線與試驗結果非常吻合。

（3）靜水壓力及偏應力第3不變量（Lode角）對高強GH4169合金塑性屈服后的流動應力影響顯著，而考慮靜水壓力和Lode角的B-W模型是建立GH4169合金塑性本構模型的1種較好選擇。