平封頭應力釋放槽區的應力集中系數

陸 怡，李凱尚，彭 劍

（常州大學 機械工程學院，江蘇 常州 213016）

1 引言

平封頭與筒體連接區域，由于幾何不連續會在連接處引起附加彎矩與附加力，從而產生很大的局部應力，為了降低邊緣應力，減少應力集中，提高疲勞強度，需要進行合理的結構設計。工程上往往采用設置應力釋放槽或過渡圓角的方法來降低局部應力。

現行國內外設計標準中，GB150-2011[1]、JB4732-1995[2]以及ASME B＆P CodeⅧ-3[3]規定了應力釋放槽開槽處平板封頭的厚度不應小于平板封頭所需厚度，EN13445-2009[4]中規定應力釋放槽處平板封頭的厚度不小于與平板封頭連接的筒體的厚度，這些標準對應力釋放槽處平板封頭厚度的規定不同。文獻[5]針對某一特定厚度的平板封頭和筒體，對具有不同應力釋放槽深度的平板與筒體連接結構進行有限元分析，探討槽深對結構抗疲勞性能的影響，對不同標準中規定的開槽處平板厚度進行了討論，推薦了確定該厚度的方法，但未得出最佳開槽深度。至今還沒有適合工程應用的最佳應力釋放槽半徑的確定方法。運用ANSYS軟件對帶應力釋放槽的平封頭與筒體連接部位進行應力分析，探索該處的應力集中系數與平封頭厚度、筒體厚度及應力釋放槽半徑的關系，為工程上確定應力釋放槽的幾何尺寸提供指導。

2 帶應力釋放槽的平封頭與筒體連接結構有限元分析

平封頭與筒體連接處局部應力的大小與筒體厚度、平封頭厚度、應力釋放槽半徑等因素有關，為了反映結構的應力集中程度，需引入應力集中系數以及影響帶應力釋放槽的平封頭與筒體連接處應力集中系數的無量綱參數，并采用有限元法研究結構的應力集中程度隨結構幾何尺寸變化的規律。

2.1 影響帶應力釋放槽的平封頭與筒體連接處應力集中系數的無量綱參數的確定

帶應力釋放槽的平封頭與筒體連接處的應力集中系數Kσ對容器的強度計算及疲勞設計十分重要，其表達式為：

式中：σmax—應力集中區域的應力最大值；σθ—不考慮應力集中

時的環向應力（即名義應力）。

通過板殼理論分析了平封頭和筒體連接局部處的應力情況，并指出薄封頭與薄筒體的連接情況，連接處引起的附加彎矩為兩個無量綱參數的函數，其表達式為：

式中：T—平封頭的厚度；Dm—筒體平均直徑；t—筒體厚度[6]。實際上中厚殼體與中厚板連接時所產生的附加彎矩仍然是λ和η的函數，僅僅是函數的形式會變得更加復雜。因此，在不考慮應力釋放槽處時，平封頭與筒體連接處的應力仍為λ和η的函數。而對于設置應力釋放槽的情況，參照Neuber對于多種含有圓角、凹槽或者過渡圓角的構件的研究成果，可以認為該處應力集中程度也是ρ=r/t的函數，其中r為應力釋放槽的半徑。

圖1 帶應力釋放槽的平封頭與筒體連接的平面結構Fig.1 Plane Structure of Flat Head with Stress Release Slot and Cylinder

2.2 平封頭與筒體連接結構幾何參數的確定

帶應力釋放槽的平封頭與筒體連接結構，如圖1所示。為了研究結構的應力集中程度隨結構幾何尺寸變化的規律，參照文獻[7]確定無量綱參數 λ、η 和 ρ的取值范圍為：λ=0.5～1.0，η=0.03～0.138，ρ=0.1～3.0。

根據 λ、η 和 ρ的取值范圍，取 λ=0.5、0.6、0.75、0.9 和 1.0，ρ=0.1、0.5、1.0、1.5、2.0，η 的數據可以在（0.03～0.138）的范圍內任取。其他數據可以根據這三個無量綱數據求得，54個算例的尺寸安排在表1中。為便于分析，所有算例中，筒體平均直徑均取為100mm，設計內壓為0.1MPa，材料為Q345R。按照圣維南原理，為保證分析的正確性，對結構筒體部分長度的要求是最小長度為：

2.3 帶應力釋放槽的平封頭與筒體連接處應力的有限元分析

采用ANSYS有限元分析軟件對帶應力釋放槽的平封頭與筒體連接結構的應力進行分析，以得到其最大當量應力。本模型選擇的單元類型為Solid185，筒體內壁施加壓力載荷0.1MPa，在筒體端部設計由內壓引起的等效軸向載荷σφ=0.83MPa。在對稱面上施加對稱約束，并且為了使模型在x軸方向上達到平衡，在平行于z軸的線上施加限制x方向移動的位移約束。根據連接結構、載荷與邊界條件的對稱性，選取1/2模型進行模擬，以減少運算時間。以λ=0.5，η=0.03，ρ=1.5的算例為例，帶應力釋放槽的平封頭與筒體連接結構單元網格，如圖2～圖3所示。根據施加的載荷和邊界條件進行應力分析，帶應力釋放槽的平封頭與筒體連接結構的Tresca當量應力的等值線，如圖4～圖5所示。由圖可知，最大Tresca當量應力為4.87MPa，發生在平封頭與筒體連接部位的內壁上。根據得到的最大Tresca當量應力值及相關數據，求出54個算例的應力集中系數Kσ，計算結果，如表2所示。

2.4 有限元模擬結果的驗證

為驗證有限元模擬結果的精確性，現對未開槽的平封頭與筒體連接結構用解析解求出的應力值與有限元模擬獲得的應力值進行比較。解析解參考文獻[9]進行計算，求出連接處的最大應力值為6.52MPa；根據有限元法模擬出的最大應力值為6.63MPa。兩者相差1.66%。由此可見，有限元模擬獲得的應力值是可信的。

表1 各算例尺寸及相應的λ、η和ρ值Tab.1 Size of Each Case and Corresponding Value of λ、η and ρ

表中：η*ρ應小于 0.15[8]，即 η*ρ＞0.15 超出本研究范圍，可以省略不算。

圖2 帶應力釋放槽的平封頭與筒體連接結構單元網格Fig.2 Element Mesh of Connecting Structure of Flat Head with Stress Releasing Groove and Cylinder

圖3 應力釋放槽網格劃分局部放大圖Fig.3 Local Magnification of Stress Release Slot Mesh Generation

圖4 帶應力釋放槽的平封頭與 圖筒體連接結構的應力等值線Fig.4 Stress Contour Map of Connecting Structure of Flat Head with Stress Releasing Groove and Cylinder

5應力等值線的局部放大圖 Fig.5 Local Magnification of Stress Contours

表2 應力集中系數值Tab.2 Data of Stress Concentration Factor

3 帶應力釋放槽的平封頭與筒體連接部位應力集中系數分析

3.1 應力集中系數曲線圖

主要是分析帶應力釋放槽的平封頭和筒體連接部位的局部應力，在此基礎上探究該處的應力集中系數與平板厚度、殼體厚度、應力釋放槽幾何尺寸的關系，為工程上確定應力釋放槽的幾何尺寸提供指導。采用Origin9.0軟件，建立應力集中系數Kσ與無量綱參數λ、η、ρ關系圖，如圖6、圖7所示。從圖6可知，當η一定時，不同λ值情況下，應力集中系數Kσ均存在隨著ρ增大而減小的趨勢，當ρ超過1.0時，但當ρ超過1.0時，應力集中系數Kσ隨著ρ增大基本保持恒定。由圖7可知，當η一定時，不同ρ值情況下，應力集中系數Kσ均存在隨著λ增大而減小的趨勢，但當λ超過0.75時，應力集中系數Kσ隨著λ增大基本保持恒定。經分析，開槽的半徑要適度，不宜太大也不宜太小，當應力釋放槽半徑接近筒體厚度時開槽半徑的大小較為合理。

圖6 帶應力釋放槽的平封頭與筒體連接結構的Kσ-ρ曲線圖Fig.6 Kσ-ρ Curve of Connecting Structure of Flat Headwith Stress Releasing Groove and Cylinder

圖7 帶應力釋放槽的平封頭與筒體連接結構的Kσ-λ曲線圖Fig.7 Kσ-λ Curve of Connecting Structure of Flat Headwith Stress Releasing Groove and Cylinder

3.2 擬合關于應力集中系數的近似表達式

由于主要研究的是平板厚度、殼體厚度、應力釋放槽幾何尺寸與應力集中系數的關系，建立應力集中系數Kσ與無量綱參數ρ、λ和η的近似關系式，其中Kσ是因變量，ρ、λ和η是自變量，因此可以借助SPSS軟件建立四個變量的關系式。假定模型表達式為Kα＝a+b/（λxηyρz），根據SPSS軟件得到的參數評估數據表，可以得到假定模型表達式中的未知量，即近似方程式為：

由數據歸納的近似式（4）算出的Kσ2值列于表3中，以便與有限元法得出的結果進行比較，驗證近似方程式的精確度。

表3 不同λ，η和ρ值對應的Kσ值Tab.3 Kσ Corresponding to Different λ，η and ρ

觀察表3可知，由擬合式（4）算出的Kσ2值與由有限單元法所得的Kσ1值相比，56%算例的偏差小于7%，44%算例大于7%而小于10.5%，總體來說偏差不大于10.5%。相對誤差小于10.5%符合工程應用的精度，提高擬合公式的精度有待進一步研究。

4 結論

（1）平封頭與筒體連接處開設應力釋放槽可以大大降低應力集中，提高疲勞強度。但所開設的應力釋放槽半徑應適當，不宜過大或過小，當開槽半徑接近筒體厚度時較為合理，開槽半徑的最佳數值可根據式（4）推算得到。（2）基于ANSYS軟件，采用有限元法對帶應力釋放槽的平封頭和筒體連接部位進行分析，研究表明該處的應力集中系數由平板厚度、殼體厚度、應力釋放槽半徑決定，可以表示為無量綱ρ、λ及η的函數，即Kα＝-2.435+3.349/（λ0.291η0.078ρ0.099）。該公式在 λ=（0.5～1.0），η=（0.03～0.15），ρ=（0.1～3.0）的范圍內有足夠精度，可供工程設計中選擇合適的應力釋放槽尺寸。