2017年全國Ⅲ卷文科數學第17題試題分析和教學建議

何清平

摘 要 從全國卷試題與四川卷試題的差異，試題的多個易錯點和試題的多維度的解法對2017全國Ⅲ卷文科數學17題進行分析。

關鍵詞 易錯點 數列 解法

中圖分類號：G633.3 文獻標識碼：A

2017年是四川省高考科目全面回歸全國卷的第一年，數學試題使用的是全國（Ⅲ）卷。無論是老師還是考生都對全國卷充滿了期待。接下來我就今年全國（Ⅲ）卷文科數學試題第17題數列作簡要分析，希望能對老師和考生有所幫助。

1試題呈現

（2017.全國Ⅲ.文17）

設數列{an}滿足a1+3a2+…+（2n1）an=2n。

（1）求{an}的通項公式；（2）求數列{}的前n項和。

2試題評價

本題主要考查數列的概念、數列的通項公式與前n項和的含義等基礎知識，通過遞推式作差、an和sn關系式等求數列通項和裂項相消求數列的前n項和，考查運算求解能力、推理論證能力，考察函數與方程，轉化與化歸等數學思想。本題采用遞推式的設問方式，層層遞進，第一小題和第二小題連貫性強，邏輯性強，屬于中等題。

今年試題與四川卷的命題風格有一定的區別：四川卷是從數列的概念、通項和前n項和出發或者已知中間數列以此為入口。而 （Ⅲ）卷中是采用構建遞推式求通項的考查形式，這樣的考查方法新穎，創新度高，為中學數學教學指引方向，也能充分考察學生綜合分析問題、解決問題的能力，靈活處理知識與知識銜接的問題的能力。然而這也造成部分對數列知識掌握不全面、思維不靈活的考生在這道題上的得分率偏低。同時該題作為文科數學第一道大題，不僅導致該題的得分率偏低，也導致整套試卷在大題方面入口高，難度大。

緊扣教材，立足考綱，在教材的基礎上適當創新來命制高考試題的理念和方法，充分體現回歸教材、來源于教材的指導思想，引導我們中學教學應重視教材、夯實雙基，也體現了新課標和考綱的理念和要求。

3考生答題情況綜述

（Ⅰ）本題第一問解題方法比較多，考生主要采用如下幾種方法：

方法一：構造遞推式作差：

解：形式1：當n≥2時，a1+3a2+…+（2n3）an-1=2（n1）

形式2：由題知a1+3a2+…+（2n+1）an+1=2（n+1）

問題：（1）整個解題過程未求首項a1，未考慮項數n的取值范圍，未驗證首項a1是否滿足n≥2的通項公式。原因是對數列的概念理解不透徹，犯了邏輯錯誤。我們在解決數列問題時，首要需解決首項，其次是通項公式同時需要注意是否考慮到所有項。

（2）書寫遞推式時，不準確：

遞推式構造為a1+3a2+…+（2n2）an-1=2n1或a1+3a2+…+2nan+1=2n+1或3a1+5a2+…+（2n+1）an+1=2（n+1）或a1+a2 +3a3+…+（2n3）an-1=2（n1）

原因：部分考生在書寫遞推公式的時候，將遞推公式中的項數取值不準確。而這部分考生出現思維定勢錯誤，對數列的通項公式和項數的實質理解不透徹，面對新的數列機械套用公式。

方法二：構造中間數列bn=（2n1）an，利用前n項和Sn與bn的關系解決通項公式。部分考生采用此方法，但在解題過程中出現兩種問題：（1）bn=SnSn-1=2n2（n1）=2n，這類考生主要是運算錯誤，運算不準確，運算過程中沒有等價轉化。（2）因為Sn=a1+3a2+…+（2n1）an。所以an=SnSn-1=2。原因：對公式死記硬背，沒有領會公式的實質，運用時張冠李戴，機械式的照搬照抄，思維不夠靈活。

方法三：不完全歸納法。

問題和原因：部分考生選擇不完全歸納法，得出數列{an}的通項公式。但是不完全歸納法是以有限數量的事實作為基礎而得出的一般性結論，這樣作出的結論不嚴謹。因此，還需利用數學歸納法證明所得結論。

本題第二問主要考查裂項相消求數列的前n項和。

4教學建議

高考的考查方向對我們中學教學具有導向性。從今年全國（Ⅲ）卷文科數學的數列試題考查上就體現出考生在對數列的基本概念、原理上理解不透徹，存在偷換概念、混用公式的情況；對解決數列通項公式和求和方面的方法掌握不到位，思維定勢嚴重不能靈活的運用公式、缺乏變通性；還反映出考生的運算能力不足，運算過程沒有進行等價轉化。

因此，教學中的幾點建議：

（1）注重教材，落實分層教學：重視基礎知識的歸納和方法點撥。回歸教材，研究課本例題、習題，發揮例題、習題功能。注重數學概念、原理的講解，分層教學，及時檢查學生對概念、原理的理解和作業完成情況。

（2）教學設計要有直觀性、啟發性、符合學生的認知發展，重視知識的生成過程，培養學生的邏輯思維能力和抽象概括能力。

（3）加強數學思想方法的培養：在教學中，狠抓函數與方程、數形結合思想、轉化與化歸、分類與整合、特殊與一般等數學思想方法的培養，比如：例題的設計需注重一題多解、一題多變。

（4）規范解答、強化運算求解能力：在教學過程中，規范學生的解題書寫過程，明確答題點和得分點，實現時間和答題空間的最優化。加強定時訓練，提升學生做題的速度、準確率，實現計算能力的提升。

（5）重視課后輔導：課后輔導是課堂教學的繼續和補充，分層進行培優補差，及時檢查輔導效果。