基于虛擬激勵法的薄板隨機振動分析

齊鳴瑞，漆文凱，王文博

（南京航空航天大學能源與動力學院，南京210016）

0 引言

薄壁結構作為航空發動機及飛機的基本構件之一，各種約束條件下的計算研究受到國內外學者的普遍關注，應用不同方法對薄壁結構的彎曲振動進行研究，例如：Rao G V、Mirza W H、Kerstens J G M 等[1-3]采用有限元法、Narita Y、Kim C S 、Laura P A A 等[4-6]采用瑞利-李茲法、Li W L[7-8]采用改進的傅里葉級數法、賀國京等[9]應用能量泛函角度將位移量分離為靜態位移和動態位移，研究了不同邊界條件下矩形薄板的彎曲振動；陳英杰[10]以混合變量的形式求解了不同邊界條件下受均布載荷的薄板彎曲情況；鮑四元、姚偉岸、邢譽峰等[11-13]采用辛對偶求解法獲得了矩形薄板自由、受迫振動問題的通用解析解，克服了不同邊界采用不同位移函數的傳統弊端，明顯提升了計算效率。

航空發動機以及飛機中的薄壁結構在實際使用過程中通常伴隨著噪聲的作用，噪聲載荷是有一定頻率特性的隨時間、空間分布的隨機壓力載荷，從而會引起結構的隨機振動。林家浩[14]提出的虛擬激勵法（PEM）很好地解決了工程中研究復雜結構的隨機振動方法中計算效率低、誤差大的問題；許多學者[15-19]已經將PEM應用在航空航天、汽車制造、高速列車、海洋工程以及橋梁抗震等領域。與常規CQC（完全二次相組合方法）法以及SRSS（平方和開平方法）法相比，在隨機振動研究中PEM由于其計算精度準確、效率高而廣受歡迎。

本文利用改進的傅里葉級數法對位移函數和激勵進行傅里葉展開，通過改變彈簧剛度模擬常用邊界條件，利用PEM將白噪聲激勵構造成簡諧激勵，對動力學微分方程進行求解，計算結構位移響應功率譜密度，并將結果與有限元軟件仿真進行對比。

1 理論模型

以矩形薄壁板為研究對象，如圖1所示。在邊界上設置橫向位移約束彈簧和旋轉約束彈簧，所有的經典邊界條件（自由、簡支和固支）都能通過指定彈簧系數設置為無窮大或零來獲得。當約束橫向位移方向彈簧的剛度值為無窮大，而約束旋轉彈簧的剛度值為零，即可實現簡支邊界。

在噪聲載荷 P（x，y，t）作用下，薄壁板受迫振動方

圖1 薄壁板結構通用彈性邊界模型

程為

假設解的形式為

則矩形薄板的橫向振動微分方程為

彈性支撐邊界條件為

式中：k、K分別為橫向位移約束彈簧和旋轉約束彈簧的剛度系數，當k、K=∞時，表示固支約束；當k、K=0時，表示自由；當k=∞，K=0時，表示簡支約束。通過改變k與K的數值，可以模擬不同的邊界條件，提高了算法的通用性和計算效率。

2 位移函數

對薄壁板的位移函數進行改進傅里葉級數展開，表示成1個2維傅里葉雙重余弦級數和8個輔助多項式的組合形式

假設關于x的輔助項為

其滿足

關于y的輔助項為

同樣將載荷進行傅里葉展開為

其中，系數

將位移函數（5）帶入邊界條件（4）及微分控制方程（3），并根據余弦函數的正交性，可得

3 平穩隨機響應算法

3.1 常規算法

目標結構施加均勻平穩的隨機激勵，采用模態振型疊加法求解動力學方程。考慮所有參振振型耦合項，通過頻響函數計算結構的響應譜

式中：γi、Φi、Hi（ω）、Sxx（ω）分別為第i階振型參與系數、第i階振型、頻響函數和激勵功率譜。

因為式（10）考慮了振型耦合，故稱為CQC方法。使用模態振型疊加法（式（10））應用于復雜結構時，計算量較大。為減小計算量，對式（10）進行簡化近似處理，忽略交叉項，得到

上述忽略模態振型耦合項的方法稱為SRSS方法。雖然該方法效率高，但是不適用于大部分結構（尤其是3維結構）。

3.2 虛擬激勵法

當單點平穩隨機激勵作用于線性系統時，記自譜密度為Sxx（ω），其振動響應的自功率譜為

即響應矩陣共軛和響應矩陣轉置相乘得響應譜矩陣。顯然，虛擬激勵法在精確度上與CQC法并無差距，但計算量大幅減小。此外應用虛擬激勵法較方便，保證響應與激勵之間為線性關系即可。

4 算例分析

取薄壁板算例，其薄壁板結構尺寸長寬高分別為510、270、1.3 mm，彈性模量 E=71 GPa，密度 ρ=2796 kg/m3，泊松比 μ=0.3。取中點處（x=0.255，y=0.135）的位移響應，計算響應功率譜密度函數，并將計算結果與文獻[20]中的結果進行對比。

設有限帶寬白噪聲，其功率譜密度函數為S（0ωˉ），其中聲壓級取 SPL=134 dB，Δω為帶寬頻率。

4.1 簡支邊界

取4邊簡支邊界條件（k=∞，K=0），帶寬頻率為0～750 Hz，以涵蓋結構前10階固有頻率，ANSYS譜分析取前10階模態應用疊加法計算，見表1。

表1 簡支邊界前10階固有頻率對比 Hz

從表中可見，在簡支邊界條件下，3種方法求解出的前10階固有頻率在低階處差別很小；而階數越高，理論方法與有限元方法比較，結果偏小。

繪制中點處的位移響應功率譜，如圖2所示。

圖2 簡支邊界下中點位置位移響應功率譜

從圖中可見，采用虛擬激勵法經過MATLAB編程和利用有限元軟件自帶譜分析模塊算得的位移功率譜重合度較高，而利用文獻中引入結合受納函數的方法估算的位移響應功率譜在低谷處差距較大，這是由于結合受納函數是通過用波長表示的薄板振型函數和假設結果表面聲壓為2維正弦波求得的，屬于近似估算解，而虛擬激勵法和有限元方法皆是對結構振動響應進行精確計算。3種方法計算位移響應功率譜曲線的峰值出現位置一致，分別是結構第1、3、8、10階模態頻率處，即 54.62、150.10、341.33、395.30 Hz處。

4.2 固支邊界

4邊設置固支約束（k，K=∞），帶寬頻率為 0～870 Hz，以涵蓋結構的前20階固有頻率值，ANSYS譜分析時取前20階模態結果，采用模態疊加法計算。

固支邊界下前10階固有頻率對比見表2。從表中可見，固支約束下有限元方法求得的模態固有頻率比理論解稍有偏差，且高階處偏差較小。

繪制中點處的位移響應功率譜，如圖3所示。

表2 固支邊界下前10階固有頻率對比 Hz

圖3 固支邊界下中點處位移響應功率譜密度

從圖中可見，采用虛擬激勵法經過MATLAB編程和利用有限元軟件自帶譜分析模塊算得的位移功率譜在低頻處重合度較好，高頻部分差距較大，但是2種方法峰值出現時所對應的頻率值相差很小，分別是各自結構的第1、3、8、10階模態頻率處。

比較上述2種邊界條件下位移功率譜密度計算結果可得：

（1）位移響應出現多個峰值，表明響應是多模態的疊加，結構響應具有明顯的多模態特征。

（2）位移響應功率譜曲線在研究頻帶范圍內存在多個峰值，結合結構的模態頻率值，表明這些峰值為相應位置處的模態頻率處產生的位移響應，發生了結構共振效應，說明這些頻率所對應的模態的參振系數較高，在結構分析時需加大關注度。

（3）基頻處位移響應峰值最大，說明基頻模態起主導作用。

5 結束語

本文結合改進的傅里葉級數法和虛擬激勵法，對薄壁板進行了不同邊界條件下的隨機振動響應分析。將4邊固支和4邊簡支邊界下的位移函數用改進的傅里葉級數表示，并對激勵進行傅里葉級數展開，利用PEM處理白噪聲激勵，實現了白噪聲類型激勵下的位移響應功率譜的理論推導和計算。利用有限元軟件對相同條件下的薄板進行了模擬計算，并結合文獻計算結果，將三者所得響應譜進行對比驗證，發現本文方法較文獻方法與有限元結果有更高的重合度，并驗證了改進方法的準確性。同時通過使用彈簧代替經典邊界條件，改變彈簧的剛度系數組合，可以高效準確地解決其他更復雜的結構以及邊界條件，提高方法的適用性。