關于正態分布教學的探討

唐獻秀，林尤武

（1.廣東石油化工學院理學院，廣東茂名，525000；2.廣西師范學院數學與統計科學學院，廣西南寧，530023）

引言

概率論與數理統計的應用廣泛，幾乎滲透所有科學技術領域，工、農業，國防、國民經濟的各個領域。正態分布是概率論與數理統計中最常見重要的分布，理論研究、實際應用且有很重要的地位。在實際大量的隨機變量服從或近似服從正態分布。當某個隨機變量受許多相互獨立因素的影響，而個別因素影響不起決定性作用時，可斷定隨機變量服從或近似服從正態分布。例如，某地區男性成年人的身高，測量某零件長度的誤差，海洋波浪的高度，半導體中的熱噪聲電流或電壓，射擊時彈著點對目標的橫向、縱向偏差，自動機床生產的產品尺寸，學生的考試成績等都服從“中間大，兩頭小”的正態分布。為更好掌握與理解正態分布的特點及應用，根據多年的教學經驗，列舉生活中的例子進行講解。

1 正態分布的有關定義

若連續型隨機變量X的概率密度為

其中為常數，則稱X服從參數為的正態分布（Normal distribution），記為。

正態分布的分布函數為

特別地，當時，稱X服從標準正態分布，其概率密度和分布函數分別用表示，即有

易知，。

一般地，若，則有。

因此，若，則可利用標準正態分布函數，通過查表求得X落在任一區間內的概率，即。

2 正態分布應用舉例

例1 某校一年級新生英語成績X服從正態分布，已知95分以上有21人。如果按成績高低選前130人進入快班，問快班分數線應如何確定？

解 設一年級新生總數為n人，快班分數線下限為a分，則

綜上計算，分數線下限定為86分較合理。

例2 為支援西部教育，教育局準備通過招聘考試招收300名教師，其中有編制教師250人，沒有編制教師50人；報考的人數是1800人，考試滿分是300分。考試后得知，考生總平均成績，即分，260分以上的高分考生50人。某考生A得200分，問他能否被錄取？能否被聘為正式教師？

解：設考生成績為X，最低分數線為1x，則對一次成功的考試來說，X服從正態分布，

由題意有

查表得，即最低分數線是213.5分。

這表明成績高于考生A的人數大約占總考生人數的24.51%，所以名字排在考生A之前的考生人數約有：，即考生B大約排在441名。

由于一共招收300名，故考生B不會被錄取。

例3 假定某種復印機系統的摩擦系數是0.55m=和0.013s= 的正態分布。在系統運轉期間，摩擦系數是在隨機選取的時間測量的。求：（1）摩擦系數落在0.53和0.56之間的概率；（2）能否觀測到一個低于0.50的摩擦系數？

解：設摩擦系數為X，則，所求事件的概率為

故不可能觀測到一個低于0.5的摩擦系數。

3 結束語

正態分布在概率論與數理統計的教學中具有重要的地位。為了讓學生更好的了解正態分布在生活與生產實踐中的應用，授課過程中舉出不同應用且學生喜歡的例子，極大地調動了學生學習的積極性，既能讓學生理解枯燥難懂的理論，又能激發學生學習的興趣，培養學生創造性的思維能力以及解決實際問題的能力。作為一個數學老師，在教學實踐中應細心體察與探索，使同學們對 《概率論與數理統計》課程更加感興趣 ,更好地學習這門課程以及應用這門課程的知識到自己所學的專業當中，服務于所學的專業及未來的生產實踐生活中。

[1]盛驟, 謝式干, 潘永毅.概率論與數理統計[M].北京: 高等教育出版社,2008.

[2]王寧, 孫曉玲.概率論與數理統計實驗教學案例設計及實現[J].合肥師范學院學報, 2014, 32(3): 69-72.

[3]林正炎, 蘇中根, 張立新譯.當前概率學科中的研究機遇[J].數學進展,2004, 33(2):129-140.

[4]馬金鳳, 湯燁.將數學史及實際案例融人概率統計課程的教法研究[J].數學教學研究, 2010, 29(4): 57-60．

[5]鄧華玲, 傅麗芳, 孟軍, 等.概率論與數理統計課程的改革與實踐[J].大學數學, 2004(1): 34 -35.

[6]張安彩, 邱建龍, 楊成東, 等.工科概率論與數理統計教學改革的幾點思考[J].湘南學院學報(自然科學版), 2014, 35(5): 49-52.

[7]郭長河, 龐彥軍.以應用為導向的《概率論與數理統計》教改研究[J].河北工程大學學報(社會科學版), 2016, 31(2): 98-100.

[8]徐鳳林.關于工科院校概率論與數理統計教學改革的思考實踐[J].山東師范大學學報(自然科學版), 2014, (29): 1-3.