如何在數學活動課中培養學生的思維能力
——以“獨立鉆石棋”活動課為例

中國教育科學研究院 李清霞

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：數學課程能使學生掌握必備的基礎知識和基本技能，培養學生的抽象思維和推理能力。其中“綜合與實踐”主要培養學生綜合運用有關知識與方法解決問題的能力，培養學生的問題意識、應用意識和創新意識，積累學生的活動經驗，提高學生解決現實問題的能力。而基于思維導向的數學活動課相比知識的傳授，教師更為關注對學生思維的啟發，不再是簡單的以講授—復述為主的教學方式，而是激發學生思考，指導學生思維發展的活動。課堂活動的特點為“內容問題化、問題思維化、思維活動化”，其基本含義就是以關鍵問題串為主導、以深度思維為核心、以任務型思維為主線，[1]可以說在數學活動課中發展學生的思維能力不失為一種新的課型探索。

本文以“獨立鉆石棋”活動課為例。獨立鉆石棋是一種自我挑戰的單人棋游戲，玩法是：棋子在棋盤的33個孔中，只能跳過相鄰的棋子到空位上，并把被跳過的棋子吃掉；棋子可以沿棋盤格線橫跳、縱跳，但不能斜跳；終局時行棋步數越少和所剩棋子越少越好；最后，只剩下中間一顆形成獨立鉆石。其目的是探析數學活動課中如何培養學生的思維能力。結合上述要點，在活動設計上以發展學生深度思維為主題，制定教學目標，安排一系列探究任務為主體活動，并以能刺激學生思考的關鍵問題貫穿始終。

圖1 獨立鉆石棋

一、活動目標：明確思維策略

由于活動課內在的思維訓練功能往往較為隱蔽，因此，教學目標容易步入一個誤區，即把關注點和側重點放在玩法上。而以發展學生思維能力為目標導向的數學活動課，則需要對學生思維方式、思維技能等方面進行訓練，提升思維素養，實現學生思維結構的內源性重構。

活動課“獨立鉆石棋”如果只是根據規則和要求盲目行棋，這只是停留在游戲層面。如果想借此發展學生思維能力，還需梳理其在行棋中的思維過程，一般來說經歷三個階段：第一階段，學生多是直覺行棋，缺少對棋局的推理和統籌；第二階段，隨著嘗試次數增多，學生會逐步悟解、發現行棋訣竅，并能根據當前棋局對后續步驟做出預判和計算；第三階段，學生能建立全局統籌的意識。本節活動課處于第二階段，將連跳策略的認識和運用作為訓練目標。相比其他跳法，連跳走步少，吃子多，也就是說教師將優化思維定為教學目標，把學生的思維焦點轉到尋找行動最有效的序列上，也就是對深度思維的訓練。

需要強調的是，連跳策略的生成也是一個思維訓練的環節。從思維發展的路徑上來看，認知沖突是激發學生思維活動的前提條件，因此如果教師直接告知用連跳方法，現有的情境與學生原有的知識結構之間沒有產生沖突或矛盾，則不能激發學生的思考和分析。而在本節課初始環節，教師設置了同一棋局的不同走法，學生行棋中分別用到5步和2步，對于步數的比較可以引發學生對行棋方法的思考，從而總結出連跳的優勢和價值，即可以用更少的步數形成“獨立鉆石”。

二、活動環節：經歷思維過程

數學活動課設計中所考慮的每個環節都必須遵從認知操作序列性規律，做到教學過程遵從認知過程，認知過程跟進教學過程。[2]那么活動安排不能僅僅關注某一個點或某一個環節，而是通過系列活動的程序性和螺旋性，以及問題解決過程的認知序列性與反復性，讓學生的思維發展不斷得到鞏固和強化。

本課例以“連跳”策略作為思維訓練的切入點，以問題式棋局作為練習內容，設計了一系列探究任務：6顆布局（初始連跳）—8顆布局（運用連跳）—10顆布局（創造連跳），以此為主線引導學生歷經生成問題—分析問題—解決問題的思維過程。

圖2 主體探究活動系列環節

從思維刺激的程度來說，學生所處的思維刺激環境越豐富，參與的活動越多樣，任務需要思維參與的越深入，就越利于學生思維能力的發展，遵循這一規律，基于思維導向的活動課需安排有梯度的系列活動。本課例中教師組織了“6顆布局—8顆布局—10顆布局”的活動，在6顆布局的棋局中，局面比較簡單，學生在觀察之后，很快就會發現解法；在8顆布局的棋局中，局面難度有所提升，學生需要仔細觀察，反復嘗試與分析之后，才能正確找到連跳之路；在10顆布局的棋局中，多顆棋子之間相連，這不僅不能直接進行連跳，還阻礙連跳，學生需要整體觀察、謀劃，先吃掉一些棋子來創設出能運用連跳的棋局，再用連跳策略形成最后的獨立鉆石局面。可以看出，這三個活動訓練難度層層遞進，一方面棋子顆數由少到多，另一方面棋局的復雜程度由易到難。學生正是在面臨思維難度的梯級挑戰中，一步步探究、運用連跳策略，練習、鞏固優化思維的方式。

從思維過程的路徑來說，在初識階段：6顆布局，利用簡單布局讓學生練習嘗試，并對不同行棋策略進行比較，進而發現連跳的優勢；在運用階段：8顆布局，棋局增加了難度，而且教師將第一布局和第二布局同時呈現到白板上，引導學生觀察、比較，最后發現連跳布局的特征：一棋一空，并在這里引導學生第一次梳理運用連跳的思路：先觀察，再思考，尋找特征，并嘗試連跳；在創造階段：10顆布局，棋局更加復雜，想運用連跳的障礙重重，教師引導學生創造出能連跳的棋局，并且第二次引導學生梳理運用連跳思路，學生此時已能用自己的語言清晰地表達出正確的想法。這一系列活動引導學生由淺入深地進行分析、綜合，在操作、實踐中經歷了“思維困頓—探究發現—歸納總結—運用遷移”的思維過程，有利于學生良好認知結構的形成。

三、問題引導：發展高階思維

美國心理學家布魯納指出：“教學過程是一種提出問題和解決問題的持續不斷的活動，思維永遠是從問題開始的。”因此，活動課中如果教師多采用講解的方式，學生難免會形成被動的思維習慣；如果教師多采用對話、問題啟發的教學方式，則會逐步引發學生進行不同的思維活動。

布魯姆 (B.S. Bloom)從認知目標分類角度入手，依據思維方式的復雜程度，將思維分成從低層次到高層次、從簡單到復雜的六個思維層次，即記憶、理解、應用、分析、評價、創造，并將記憶、理解和應用定義為低階思維，將分析、評價和創造定義為高階思維。有學者根據這個認知水平層次對課堂提問進行了分類，其中要求學生記憶、理解、運用的問題被定義為低水平提問，要求學生進行分析、綜合、評價性的問題被定義為高水平提問。[3]研究表明，教師的高水平提問更能激發學生的深度思考，促進思維發展。

課例中，教師緊緊圍繞教學目標，注重用高水平提問引導學生思考連跳策略的優勢、特征及運用等問題（見表1），從形式上看，這些問題具有開放性，能讓學生從不同角度思考，學生可以提供不同的見解和方法；從內容上看，這些問題具有思維性，學生需要在頭腦中進行比較、分析、評價、概括等思維活動，然后借助語言把操作中獲得的感覺、知覺、表象加以概括，形成概念、判斷，進行推理、歸納、創新。正是這一系列問題引導著學生由已知到未知，由感性到理性，在多樣的思維活動中發展高階思維。

表1 不同活動階段的教師提問、學生思維活動

基于思維導向的數學活動課需要遵循知識或思維的邏輯順序、學生的認知規律而構建起外顯的活動流程，如果活動設計只顧及外在環節，而缺失高水平問題引導，那么教學易走入難度低、淺顯的境地；如果活動設計只顧及問題引導，而缺失外顯系列活動，那么教學易走入無秩序、混沌的狀態，因此，有效的活動設計要兼顧活動環節的設置與教師高水平提問的創設。正是經過立體多向的整合，活動橫向的梯級與縱向的深度綜合交叉才能構建起思維能力提升的網絡體系。

總之，在數學活動課中培養學生的思維能力，可以形成學科課程和活動課程互補的課程結構，在豐富的教學活動中幫助學生認識數學、理解數學，并學會綜合運用所學知識來解決實際問題，進一步體會數學與現實生活的聯系，獲得更廣泛的數學活動經驗，從而培養學生的思維能力，提升思維素養。