偏態分布下多樣本變異系數比較的平方秩檢驗*

王北琪 汪 鵬 尹 平 周基元△

【提 要】 目的 提出一種適用于偏態分布的多樣本變異系數比較的平方秩檢驗,并與現有的D’AD與SRT方法進行模擬比較。方法 借鑒Levene檢驗的構造思想,對原始數據做一種新的變換,由此構造出一種適用于偏態分布的多樣本變異系數比較的MSRT檢驗統計量。在不同參數設置下,經過Monte Carlo模擬,比較新提出方法與現有方法的第一類錯誤率。同時,將新提出方法與現有方法應用于鉛致肝損傷指標的數據,對這些方法做進一步的比較。結果 MSRT方法可以避免D’AD方法對樣本正態分布假設的依賴;相比于SRT方法,在偏態分布下,MSRT方法可以更好地控制第一類錯誤率。在對鉛致肝損傷指標γ-GT與ALT的變異系數的比較分析中,三種方法對兩個指標的分析結果存在差異。結論 MSRT方法是一種穩健且普遍適用的可靠方法。

為消除數據間量綱不同的影響,通常使用變異系數(coefficient of variation,CV)比較兩組或多組數據間的離散程度[1-2]。在醫學指標的篩選中,一般認為變異系數大的指標更加重要,因此可以通過比較多樣本變異系數來判斷指標的穩健性與敏感性[3]。目前,比較多樣本變異系數是否存在差異的方法主要有三種:D’AD方法[4]、LRT方法[5]和SRT方法[6],其中D’AD方法與LRT方法均要求樣本服從正態分布,并且D’AD方法由于其形式簡單而且檢驗效能高,因而比LRT方法使用更廣泛。然而,當數據不是嚴格服從正態分布時,D’AD方法與LRT方法的第一類錯誤率可能會膨脹。因此,Miller提出了SRT方法[6],雖然該方法適用于服從偏態分布的數據,但是其第一類錯誤率仍然偏高,從而非常有必要提出一種適用于偏態分布數據而且能很好地控制第一類錯誤率的多樣本變異系數比較的方法[7]。因此,本文將提出一種適用于偏態分布數據的多樣本變異系數比較的方法,并與現有的D’AD、SRT方法的第一類錯誤率進行模擬比較,同時將這些方法應用于鉛致肝損傷指標數據,對這些方法做進一步的比較。

原理和方法

用于做方差齊性檢驗的Levene檢驗被證實是一種穩健的方法[8]。多樣本變異系數比較的SRT方法就是基于Levene檢驗的構造思想構建出來的。具體而言,設X為隨機變量,則由變異系數的定義可得

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模擬研究

通過改變正態分布μ、σ2的值來獲得不同的CV值；通過改變均勻分布a、b的值來獲得不同的CV值；類似地，shiftχ2分布χ2(n,δ)中固定n值為4，shift gamma分布G(k,λ,δ)中固定k= 4、λ= 1，改變形狀系數δ取值以得到不同的變異系數CV值。模擬數據分別從正態分布、均勻分布、shiftχ2(4)分布與shift gamma(4,1) 分布中進行抽樣。

模擬結果

四種方法在四種分布下針對不同樣本量和變異系數設置的第一類錯誤率結果見表1。由表1知，在正態分布下，D’AD方法能很好地控制第一類錯誤率；對均勻分布，D’AD方法的第一類錯誤率偏保守。對Shiftχ2(4)分布與Shift gamma(4,1)分布，當CV≤0.20時，D’AD方法的第一類錯誤率會膨脹；當CV=0.50時，其第一類錯誤率又偏保守。當CV=0.50且分布為Shiftχ2(4)分布與Shift gamma(4,1)分布時，SRT方法能很好地控制第一類錯誤率，其他情況下其第一類錯誤率會膨脹。對于新提出的MSRT方法，當分布為對稱分布時，MSRT1方法的第一類錯誤率均被控制在0.05附近；當分布為偏態分布時，所有方法中MSRT2方法的第一類錯誤率控制得最好，然而部分情況下其第一類錯誤率仍會偏保守。

實例分析

在鉛中毒導致肝損傷研究中[9],為評價鉛致肝損傷的最佳診斷指標,采用平行對照的動物實驗。將65只小白鼠隨機分為4組,分別為陰性對照組、10mg/kg鉛組、30mg/kg鉛組和60mg/kg鉛組,樣本量分別為17、16、16和16。獲取小白鼠γ-GT與ALT指標數據,其描述統計量見表2。由于樣本量較小,且原始數據變異較大,所以考慮截取兩側10%的數據后用樣本均數估計位置參數。分別用D’AD、SRT和MSRT1方法比較兩指標組間變異系數,結果見表3。

表1 不同CV值D’AD、SRT、MSRT1和MSRT2方法第一類錯誤率模擬比較

表2 鉛中毒大鼠血清肝酶活力(nkat/L)變化

表3 γ-GT與ALT組間變異系數檢驗結果

結果顯示，D’AD方法在γ-GT的組間變異系數比較中結果最為保守(χ2=1.12，P=0.772)，而在ALT的結果中最為敏感(χ2=46.59，P=4.250×10-10)。對γ-GT指標，SRT方法的P值小于0.05(χ2=9.13，P=0.028)，MSRT1方法的P值大于0.05(χ2=7.22，P=0.065)；對ALT指標，SRT方法與MSRT1方法的P值均小于0.05。根據以上三種方法的結果，ALT的變異系數在不同劑量組間差異有統計學意義，但是尚不能認為 γ-GT變異系數在各組之間存在差異。接下來使用MSRT1方法對γ-GT與ALT的變異系數在組內是否存在差異進行檢驗，結果見表4。由MSRT1方法的檢驗結果可知，除了60mg/kg鉛組內γ-GT與ALT的變異系數之間差異無統計學意義外 (χ2=1.32,P=0.250)，其余各組的γ-GT與ALT變異系數之間差異均有統計學意義。

表4 γ-GT與ALT在不同組別內的變異系數比較的檢驗結果

討 論

多樣本變異系數的比較可以廣泛應用于醫學、經濟學等領域。現有的方法中,目前應用較多的是D’AD方法與SRT方法,然而當樣本服從偏態分布時,其第一類錯誤率會膨脹。因此,本文提出適用于各種分布的多樣本變異系數比較的MSRT方法。模擬結果顯示，MSRT方法對所有對稱分布,不論變異系數和樣本量的大小,其第一類錯誤率都可以控制在預設的檢驗水平附近;在偏態分布下用中位數估計位置參數的MSRT2方法的第一類錯誤率被控制得最好。因此,本文提出的MSRT2方法適用于各種分布，是一個較為穩健、可靠的比較多樣本間變異系數的方法。