含粘彈性層纖維增強層合板的熱屈曲及阻尼特性分析

馬卓瑞，李金強，2，馮 偉

(1.太原理工大學 力學學院，太原 030024；2.超達閥門集團股份有限公司，浙江 溫州 325000；3.中車齊齊哈爾車輛有限公司，黑龍江 齊齊哈爾 161000)

相較于傳統金屬材料，纖維增強復合材料質輕、耐腐蝕、比剛度大、比強度大、可設計性強，現廣泛應用于航空航天、潛艇、橋梁以及建筑等領域。在實際應用中這些結構可能遭受惡劣環境載荷作用，比如飛行器在太空受到輻射，溫度發生顯著變化，產生的熱膨脹以及邊界約束使結構內部產生壓應力，從而可能造成熱屈曲。因此有必要對層合板在不同溫度場中的熱屈曲行為進行研究[1-5]。

TAUCHERT[6]對中厚反對稱角鋪設層合板在簡支邊界條件和均勻升溫下進行了熱屈曲研究，并分析了纖維取向、板層數、板厚度和長寬比對臨界屈曲溫度的影響。基于經典層合理論和伽遼金法，CHEN et al[7]研究了均勻溫度場下反對稱角鋪設層壓板的熱屈曲。SHIAU et al[8]使用有限單元法研究了層合板的熱屈曲行為，并詳細分析了具有不同E1/E2、長寬比、纖維方向、鋪層順序以及邊界條件的正交鋪層和角鋪層合板的熱屈曲模態。MORADI et al[9]使用差分正交法研究了均勻溫度場下矩形層合板受任意邊界條件約束的熱屈曲行為。OUNIS et al[10]研究了層合板在均勻溫度場下的熱屈曲行為，發現臨界屈曲溫度通常隨著模量比EL/ET和熱膨脹比αT/αL的增加而降低，且受邊界條件和纖維取向的影響很大。

在實際應用中，層合板經常受到非均勻溫度場的影響。近來，層合板在非均勻溫度場下熱屈曲等力學性能的研究引起了廣泛關注[11-15]。CHEN et al[11]在考慮橫向剪切變形和旋轉慣性的情況下，使用熱彈性Mindlin板理論和有限元法分析了均勻和不均勻溫度場下層合板的熱屈曲性能。GHOMSHEI et al[12]采用差分正交法(DQM)，分析了在均勻和非均勻溫度場下對稱正交矩形層合薄板的熱屈曲行為。LI et al[13]研究了非均勻溫度場和局部分布各向異性對層合板熱屈曲的影響。結果表明，不均勻熱負荷影響板的正交各向異性屬性。田新鵬等[14]對層合板在均勻溫度場和非均勻溫度場下的熱屈曲行為進行了研究，發現臨界熱屈曲溫度與其邊界條件以及熱源位置密切相關。SONG et al[15]分析了超聲速氣流中非均勻溫度分布的非線性層合板的氣彈性問題。

先前的研究工作多集中在各向同性與各向異性層合板的熱屈曲，對含粘彈性層層合板熱屈曲行為的分析較少。粘彈性材料由于其兼有粘性和彈性，對粘彈性層合板的屈曲行為有顯著影響[16-17]，且可作為阻尼材料使結構能量耗散。故本文考慮在層合板中嵌入粘彈性層，并采用經典馮·卡門平板理論和哈密頓原理推導得出含粘彈性層纖維增強層合板的運動學方程，然后得出臨界熱屈曲溫度的求解公式以及結構固有頻率和阻尼比等。計算了結構臨界熱屈曲溫度隨粘彈性層厚度以及鋪設角度的變化，并計算了恒溫下固有頻率和阻尼比隨粘彈性層厚度以及鋪設角度的變化。重點研究了非均勻溫度分布對結構臨界熱屈曲溫度、固有頻率和阻尼比的影響。由此對含粘彈性層纖維增強層合板的熱屈曲及阻尼特性進行分析研究。

1 復合材料層合板熱本構方程

含粘彈性層纖維增強層合板模型如圖1所示，為對稱層合板，其中中間兩層為粘彈性層。板的長、寬、高分別為a，b，h，取層合板中面為x-y坐標平面，z軸垂直于x-y坐標平面。坐標原點位于層合板中面中心。

圖1 含粘彈性層纖維增強層合板Fig.1 Fiber reinforced laminated composite panels with viscoelastic layers

由馮·卡門經典平板理論，可得層合板任一點(x,y,z)應變-位移關系：

{ε}={εm}+z{κ} .

(1)

式中：εm是膜應變向量；κ是彎曲曲率向量。它們可由振動位移表示：

(2)

式中：u，v和w表示位移分量，分別對應坐標軸的3個軸向且都為多項式。

合力矢量{N}={NxNyNxy}和合力矩矢量{M}={MxMyMxy}可寫成下式：

(3)

式中：FΔt是溫度函數，可表示為：

FΔt=Δtf(x,y,z) .

(4)

式中：Δt是溫差幅值，而f(x，y，z)則表示溫度分布函數。例如，均勻溫度分布為f(x，y，z)=1.

式(3)中，A，B和D指的是拉伸剛度矩陣、拉伸-彎曲耦合剛度矩陣和彎曲剛度矩陣，可表示為：

i,j=1,2,6 .

(5)

(6)

式中，R(k)和Q(k)分別表示為：

R(k)=

(7)

(8)

(9)

(10)

纖維增強層合板的總應變能U和總動能T可表示為：

(11)

(12)

式中，V和ρ表示層合板的體積和密度。

由哈密頓原理：

(13)

得到層合板的運動方程為：

(14)

式中：M，KL和KT分別為系統的總質量矩陣、剛度矩陣和溫度剛度矩陣。

2 熱屈曲及阻尼特性分析

隨著溫差的不斷增加，層合板的固有頻率降低。當其值為零時，板發生屈曲，此時與常溫相比的溫度變化量Δtcr即為臨界熱屈曲溫度。如果溫度分布函數f(x，y，z)是一定的，可由下式求解臨界熱屈曲溫度Δtcr[13]：

(KL-λKT)X=0 .

(15)

臨界熱屈曲溫度Δtcr可由最小的特征值λ0和初始值Δt0表示：

Δtcr=λ0Δt0.

(16)

式(14)的通解為[18]

X(t)=X0eλt.

(17)

式中：X0和λ分別為系統的特征向量和特征值；t表示時間。而特征值λ可表示為：

(18)

(19)

3 數值算例

3.1 計算方法驗證

為驗證本文方法的正確性，對文獻[14]中算例進行模擬，其各項參數為：橫向彈性模量ET=8.07 GPa，縱向彈性模量EL=155 GPa，剪切彈性模量GLT=4.55 GPa，泊松比μLT=0.22，密度ρ=1 600 kg/m3，縱向熱膨脹系數αL=0.07×10-6/℃，橫向熱膨脹系數αT=30.1×10-6/℃.幾何尺寸a=b=100h，鋪設角度為[0/0/0/0]s.計算結果如表1所示。通過與文獻[14]結果以及ANSYS結果比較可以發現，采用本文方法計算的結果與文獻結果和ANSYS結果都符合良好，由此說明本文計算方法正確。

表1 不同邊界條件下含粘彈性層纖維增強層合板的臨界屈曲溫度Table 1 Critical buckling temperature of fiber reinforced laminated composite panels with viscoelastic layers under different boundary conditions ℃

3.2 粘彈性層厚度對層合板熱屈曲及阻尼比的影響

含粘彈性層纖維增強層合板中纖維層的各項參數為：橫向彈性模量ET=8.07 GPa，縱向彈性模量EL=155 GPa，剪切彈性模量GLT=4.55 GPa，泊松比μLT=0.22，密度ρ=1 600 kg/m3，縱向熱膨脹系數αL=0.07×10-6/℃，橫向熱膨脹系數αT=30.1×10-6/℃.粘彈性層參數由文獻[19]給出：密度ρv=1 100 kg/m3，Q11v=Q22v=78.42(1+i)MPa，Q12v=38.43(1+i)MPa，Q66v=20(1+i)MPa，熱膨脹系數取α=0.02×10-6/℃.層合板的幾何尺寸:a=1.25 m，b=1 m，h=0.004 m.邊界條件為四邊簡支，鋪設角度為[0/90/90/粘]s.

對均勻溫度場及非均勻溫度場下的臨界屈曲溫度進行計算，其中非均勻溫度場采用函數為F(x,y)=Δt×2×(a/2+x)/a的簡單線性溫度場(保證均勻溫度場與非均勻溫度場下整個層合板的溫度變化相同)。圖2給出了臨界熱屈曲溫度隨粘彈性層厚度的變化曲線。由圖2可知，不論均勻溫度場還是非均勻溫度場，層合板中粘彈性層厚度越大，臨界熱屈曲溫度也越來越大，且基本呈現正比例關系。但在均勻溫度場下臨界熱屈曲溫度隨粘彈性層厚度變化較快。由圖3給出的恒溫下固有頻率和阻尼比隨粘彈性層厚度的變化曲線可以看出，恒溫下阻尼比隨粘彈性層厚度的增加而增大，且近似線性。固有頻率隨粘彈性層厚度的增加而減小，但總體影響較小。由此可見，在層合板中加入粘彈性層，并調節粘彈性層的厚度，不僅可獲得期望的臨界屈曲溫度，還可以降低振動的振幅，尤其是共振區附近的振幅，使結構在共振頻率附近工作成為可能。

圖2 臨界熱屈曲溫度隨粘彈性層厚度的變化曲線Fig.2 Variation of the critical thermal buckling temperature with the thickness of the viscoelastic layer

圖3 恒溫下固有頻率和阻尼比隨粘彈性層厚度的變化曲線Fig.3 Variation of non-dimensional natural frequencies and damping ratio with the thickness of the viscoelastic layer under constant temperature

3.3 鋪設方式對層合板熱屈曲及阻尼比的影響

在非均勻溫度場下(同上)，分析了在兩種典型的鋪設方式[0/a/0/粘]s和[a/a/a/粘]s的情況下層合板的熱屈曲問題。表2給出了不同鋪設方式層合板的臨界熱屈曲溫度。可以看出，[0/a/0/粘]s較[a/a/a/粘]s鋪設方式的層合板臨界熱屈曲溫度高。不論是[a/a/a/粘]s還是[0/a/0/粘]s鋪設方式，隨著a的增大，層合板的臨界熱屈曲溫度都會先增大。當a達到某一值時，[a/a/a/粘]s板的臨界熱屈曲溫度會達到最大值，然后迅速減小，而[0/a/0/粘]s板的臨界熱屈曲溫度幾乎不受a變化的影響。

然后在恒溫下分析了不同鋪設方式對層合板固有頻率和阻尼比的影響。表3給出了恒溫下不同鋪設方式層合板的固有頻率和阻尼比。由表3可知，一般情況下，[0/a/0/粘]s較[a/a/a/粘]s鋪設方式的層合板阻尼比小，當a較大時[0/a/0/粘]s板阻尼比反而比較大。[0/a/0/粘]s板的阻尼比隨著a的增大而減小。而[a/a/a/粘]s板的阻尼比隨著a的增大先增大后減小，會出現一個峰值。與阻尼比變化規律類似，[0/a/0/粘]s較[a/a/a/粘]s鋪設方式的層合板的固有頻率小，但[0/a/0/粘]s板的固有頻率隨著a的增大先增大后減小，而[a/a/a/粘]s板的固有頻率一直增大。

表2 非均勻溫度場下不同鋪設方式的臨界熱屈曲溫度Table 2 Critical thermal buckling temperature of different paving patterns under non-uniform temperature field

表3 恒溫下不同鋪設方式的固有頻率和阻尼比Table 3 Non-dimensional natural frequencies and damping ratio of different paving patterns under constant temperature

3.4 非均勻溫度分布對層合板熱屈曲及阻尼比的影響

本節采用4種溫度分布函數研究非均勻溫度分布對層合板熱屈曲及阻尼比的影響，并確保每種溫度分布函數下整個層合板溫度變化是一定的，其中不同顏色對應的溫度由公式得出，4種溫度分布函數及其溫度分布圖如下：

1) 熱源在角點。

2) 熱源在中心點。

3) 熱源在右邊界。

4) 熱源在上邊界。

其中，a1，a2，a3，a4都是常數。

圖4 不同熱源下層合板的溫度分布圖Fig.4 Temperature distributions under different heat sources

圖5給出了4種溫度分布函數下固有頻率隨溫差的變化曲線。隨溫差的增大，固有頻率均降低。相同溫差下，熱源位于層合板的中心點，固有頻率最高。熱源位于層合板的右邊界，固有頻率最低。熱源分別位于層合板的角點、中心點、右邊界以及上邊界時，其對應臨界熱屈曲溫度分別是8.837 2，10.187 0，8.248 0，8.621 9 ℃.由此可以看出，即使層合板溫度變化一定，當層合板上的溫度分布不同時，臨界熱屈曲溫度、固有頻率也明顯不同；且熱源離板的中心越近，層合板臨界熱屈曲溫度、固有頻率越高。這是由于對于四邊簡支含粘彈性層層合板，其中心對溫度變化反應更不敏感。

圖5 不同溫度分布函數下固有頻率隨溫差的變化曲線Fig.5 Variation of non-dimensional natural frequencies with temperature difference under different temperature distribution functions

圖6給出了不同溫度分布函數下阻尼比隨溫差的變化曲線。可以看出，隨溫差的增大，阻尼比均升高；在同一溫差下，熱源位于層合板的右邊界，阻尼比最高；熱源位于層合板的中心點，阻尼比最低。即熱源離板的中心越近，阻尼比越低。這與非均勻溫度場分布對固有頻率的影響正好相反。

圖6 不同溫度分布函數下阻尼比隨溫差的變化曲線Fig.6 Variation of damping ratio with temperature difference under different temperature distribution functions

4 結論

1) 不論均勻溫度場還是非均勻溫度場，彈性層總厚度一定的情況下，層合板臨界熱屈曲溫度隨粘彈性層厚度增大而增大，且基本呈現正比例關系。恒溫時，層合板阻尼比隨粘彈性層厚度增大而增大，固有頻率隨粘彈性層厚度的增加而減小，但總體影響較小。

2) 臨界熱屈曲溫度、固有頻率、阻尼比除了受纖維鋪層影響較大外，也與層合板上的溫度分布有關。如對于本文中的四邊簡支含粘彈性層層合板，熱源離板的中心越近，層合板臨界熱屈曲溫度和固有頻率越高，阻尼比越低。