數值模擬抽運分布對端泵激光器晶體熱透鏡球差的影響?

姚強強 王啟晗 馮池 陳思 金光勇 董淵

(長春理工大學理學院,長春 130022)(2018年1月16日收到;2018年6月2日收到修改稿)

1 引 言

自從研究發現熱透鏡球差對固體激光器的輸出光束質量具有嚴重的影響以來,對晶體熱球差的研究就從未停止[1?5].為了減少甚至避免球差的產生,科研人員對球差進行了大量的研究,例如抽運功率、吸收系數對球差的影響等[6?10].但仍然有一些不足之處,目前對激光晶體內部熱分析時,常常假設其抽運光為均勻分布或者高斯分布[11?13].這些假設給激光晶體的熱分布模型帶來較大的誤差,因而影響到光程差(OPD)、球差,甚至光束質量的仿真分析.然而很少有人從抽運光分布對熱透鏡球差的影響方面進行研究.

本文通過對不同分布的抽運光抽運Nd:YVO4晶體時的工作特點進行分析,建立了具有通用性的熱透鏡球差分析模型.在用解析法對各向異性晶體的熱傳導方程進行求解的基礎上,分析抽運光的分布對晶體溫度分布的影響,從溫度分布求解出相位差的分布,進而通過Zernike多項式的展開,分析熱透鏡球差的變化,建立起抽運光分布系數與球差的一般表達式.研究仿真了各向異性矩形截面Nd:YVO4晶體在受到不同分布抽運光抽運時,晶體內部產生的溫度場分布和球差變化,對抽運功率在其中的影響進行了分析,并對二階超高斯光抽運球差最大的現象進行了理論分析.研究方法和結果具有普遍適用性,對不同實驗環境下的激光器端面抽運激光晶體熱透鏡球差計算具有理論指導作用;對從改變抽運光分布的角度改善球差、提高激光器輸出特性提供了理論依據.

2 理論分析

以半導體激光器(LD)作為抽運源的全固態激光器(DPL),因其具有獨特的優勢及廣闊的應用前景,逐漸成為固體激光器的一個重要發展方向.對其抽運源的工作原理進行深入分析可知[14],為了改善入射到晶體上激光強度的均勻性,抽運源內二極管出射光束是經微透鏡聚焦后進入光纖,再將光纖捆扎成束,從尾端出射,則其光強分布應用超高斯函數來表示[15?17],在激光晶體內不同位置處的光強度分布表達式為

式中ω為光束的高斯半徑;β為吸收系數;a,b為x,y方向的尺寸;k為不同抽運分布的系數,當k=1時為高斯分布,當k≥2時為超高斯分布,其中k較大時為平頂光束,當k=∞時,其光強分布在束腰半徑范圍內可視為均勻分布.不同階次光強的分布情況如圖1所示.

式中PP為單端抽運時的抽運功率.

晶體內的溫度分布可以通過求解穩態熱傳導方程獲得:

式中T(x,y,z)為晶體的溫度分布;Kx,y,z為熱傳導系數;S(x,y,z)為熱源函數.

式中β為激光晶體對抽運光的吸收系數;η為由熒光量子效應和內損耗決定的熱轉換系數;η=1?λp/λl,其中λp為抽運光波長808 nm,λl為振蕩光波長1064 nm.通過對(3)式進行求解,得到晶體內部的溫度分布[18].

圖1 不同階次的超高斯分布對比圖Fig.1.Contrast diagram of super-Gauss distribution diagram of different orders.

這種溫度的分布并非是均勻分布,而是梯度式的分布,這種梯度式的溫度分布會導致折射率梯度分布和熱形變,嚴重影響激光器的品質,晶體內的溫度差可表示為

同時折射率梯度分布和熱形變導致在晶體內傳播附加的相位不一樣,引入OPD,其微分形式為

式中εzz=(1+μ)αTΔT(x,y,z)為縱向應變;μ為泊松比;αT為熱膨脹系數;n0為室溫下晶體的折射率.(8)式右側第一項為折射率隨溫度變化產生的折射率梯度變化,第二項為縱向應變引起的晶體端面形變,第三項為熱致雙折射.對Nd:YVO4晶體來講,相比第一項和第二項,第三項熱致雙折射產生的相位差要小得多(計算和仿真結果表明熱致雙折射產生的相位差約占總相位差的3%—6%之間),可以忽略不計.因此對(8)式積分,可得到OPD為

其中?n/?T為熱光系數;c為晶體長度;λx,λy分別為x,y方向的熱導率.

對應的附加相位差Φ(x,y)為

其中λ為波長.

聯立(9)式與(10)式可得:

由于Zernike多項式具有正交和圓對稱性,這和光斑的性質非常符合,適合用來表示光學畸變,常被用來表征光學的畸變量,故將相位差分布用Zernike多項式展開如下:

式中N為Zernike多項式的總階數;Zn(x,y)為n階Zernike多項式;cn是其系數.通過文獻[19,20]可知,在Zernike多項式中第13項Z13=1?6y2?6x2+6y4+12x2y2+6x4表示光束中的球差項,對應的c13是相應的Zernike球差系數[21].結合前面的(6),(7)和(11)式,通過廣義逆矩陣法[22]對(12)式中的系數cn進行求解,便建立起不同抽運分布系數k和球差系數c13的關系式,如下所示:

3 數值仿真與分析

仿真采用的是單端抽運Nd:YVO4晶體,晶體尺寸為3 mm×3 mm×10 mm,抽運光波長為808 nm,晶體抽運光束束腰半徑為300μm,吸收系數2.6 cm?1,熱光系數?n/?T為8.5×10?6K?1,晶體傳熱系數為6.5 W·m?2·K?1,熱膨脹系數4.43×10?6K?1.首先在抽運分布系數k=1(抽運光強分布為高斯分布)時,仿真了不同抽運功率下晶體x-y平面的溫度分布,如圖2所示.可以看出隨著抽運功率的增加,晶體內的溫度逐漸升高,且分布均勻度變差.

圖2 在k=1,Pp=40 W時晶體內x-y平面y(x)軸向溫度分布圖Fig.2.Temperature distribution diagram along the y(x)axis with k=1,Pp=40 W in the x-y plane.

在此基礎上對抽運分布系數k取1,2,4,10,100和∞時的晶體溫度分布進行了計算,以抽運功率40 W為例進行仿真,仿真結果如圖3所示.可以得出在相同抽運功率的情況下,超高斯分布階數k取2時晶體溫度最高,除高斯分布(階數為1)外,抽運分布系數k越大,晶體的最高溫度反而越低;由于Nd:YVO4晶體熱導率較大,吸收率較高,對于單端LD抽運的激光器而言,前部中心溫度比后部高,且不同分布情況時溫度差異主要集中在晶體前部和中部,后部無明顯差異.

圖3 抽運分布系數k對晶體溫度的影響Fig.3.Effect of the pump distribution coefficient k on the temperature of crystal.

在相同的計算仿真條件下,取抽運光分布系數k分別為1,2,4,10,100和∞時,計算了晶體產生的OPD,仿真結果如圖4所示.可以得到在相同抽運功率時,晶體產生的最大OPD分別為3.00λ,3.05λ,2.99λ,2.93λ,2.87λ,2.86λ. 從圖4中可知,不同的抽運光分布產生了不同的OPD,且抽運光分布對OPD的分布存在明顯的影響;超高斯分布階數為2時,產生的OPD最大,除高斯分布(k=1)外,隨著抽運分布系數的增加,OPD逐漸減小.

利用(13)式,對抽運光分布階數k分別取1,2,3,4,6,8,10,20,50,100和∞時的球差系數進行了計算,仿真結果如圖5所示.由圖5可知:超高斯分布階數k取2的球差最大;除高斯分布(k=1)外,隨著k的增大球差系數逐漸減小,當k趨向無窮時,k對球差的影響趨于穩定.

圖4 OPD隨抽運分布系數k的變化曲線Fig.4.Variation curve of OPD with pump distribution coefficient k.

對不同抽運功率下的球差系數進行了計算,仿真結果如圖6所示.通過對圖5和圖6的分析可知:在相同的抽運功率下,抽運分布系數k對球差的影響符合相同的規律;在相同抽運分布的情況下,隨著抽運功率的增加,球差逐漸增大,且隨著抽運功率的增加,抽運分布系數k對球差的影響作用加重,即在抽運分布系數k不同時,球差的變化逐漸增大.

對于抽運分布階數k=2球差最大這種現象進行進一步分析,由(1)式可知,平行z軸入射到晶體表面的超高斯光強分布表達式為

圖5 球差系數隨k的變化曲線Fig.5.Variation curve of coefficient of spherical aberration with the change of k.

圖6 隨著抽運功率的增加,球差系數隨k的變化Fig.6.With increase of pump power,variation of spherical aberration coefficient with k.

考慮到抽運源的光強分布具有圓對稱性,同時為了便于后續研究的直觀性,對模型進行極坐標轉換并且將坐標圓點移動到晶體端面中心位置.(14)式可表示為

其中r滿足下式

其中θ為極坐標下的極角.

抽運到晶體端面的激光功率為

則抽運到端面特定區域內的激光功率為

其中t為特定區域半徑.

結合(2)式可將(18)式整理為

建立晶體端面抽運光功率分布模型,仿真條件跟前文相同,對(19)式進行求解,發現t取值不同(即特定區域大小不同)時,抽運分布階數k對激光功率Ps的影響不同,圖7列舉了部分t時不同階次k下Ps在Pm比重的變化.

圖7中γ表示在特定區域內不同抽運分布系數k下激光功率占總功率的比重,可以發現隨著t的增加,不同階次的超高斯光束所占的比重都在增加,這是由所計算特定區域t的增加引起的,但同時抽運分布系數越高的項所占的比例逐漸增大,這就說明階數越高的光束作用最強的區域越靠外側.對不同抽運分布系數k下激光功率所占比重最大的區域t的范圍進行求解,結果如圖8所示.

圖7 不同t時,抽運分布系數k對功率Ps在Pm中所占的比重的影響 (a)k=1;(b)k=2;(c)k=3;(d)k=5;(e)k=8;(f)k=10Fig.7.Proportion of pump distribution coefficient k in power Ps/Pmwhen t is different:(a)k=1;(b)k=2;(c)k=3;(d)k=5;(e)k=8;(f)k=10.

從圖8可以看出,相比1階高斯分布光束的范圍0—0.3ω,二階超高斯分布光束激光功率最強的范圍(紅色區域)0.30ω—0.63ω更寬,示意圖如圖9所示.也就是說當二階超高斯光束照射在晶體端面時,能得到最強激光功率的照射面積最大,從而相比其他階次超高斯光束,二階超高斯光束引起的熱效應更嚴重,也就解釋了二階超高斯光束熱透鏡球差最嚴重的原因.

圖8 不同區域各階超高斯光最強的范圍Fig.8.Range of strongest super-Gauss in different regions.

圖9 二階超高斯光功率最強的范圍圖Fig.9.Strongest range diagram of 2 order super-Gauss light power.

4 結 論

本文通過分析Nd:YOV4晶體的工作特性,建立了一個單端抽運,四周恒溫的熱模型.從各向異性的熱傳導方程出發,求解了晶體內部的溫度分布、相位差分布,最后通過廣義逆矩陣求解出Zernike多項式系數,建立起抽運光分布系數k與球差系數的關系表達式;定量地分析了兩者的關系,及抽運功率對兩者關系的影響;同時對仿真結果進行了理論分析,解釋了二階超高斯分布球差最大的原因.本文的研究方法和所得結論具有普遍的適用性,可用于其他激光晶體溫度分布、熱形變、OPD分布、球差分布的定量分析;同時也為從改變抽運光分布的角度改善球差、提高激光器輸出特性提供了理論參考.