高中數學中極值點偏移問題解法例析

何 靜

(江蘇省灌云縣第一中學 222200)

一、極值點偏移類習題要有解題過程

雖然這個問題用高等數學來解是非常簡單，但是蘇教版數學教材中并未涉及此類問題，因此，在教學過程中，一些老師運用高等數學思想來解釋問題，顯然不符合高中數學的教學要求，這在一定程度上超出了學生的能力范圍，但實質是導數的應用，呈現的形式往往非常簡短，涉及函數的雙零點是一個多元數學問題，無論結論是兩個變量的不等式還是導數函數值的不等式，消元構造一元函數是解決多元問題的基本方法.

題源已知函數f(x)=x2-2x+3，如果x1、x2滿足f(x1)=f(x2),探討x1+x2與2的關系.

解法利用函數的單調性及二次函數的對稱性，因為函數f(x)的圖象關于x=1對稱，所以f(x)=f(2-x)，又因為f(x1)=f(x2)，所以f(x1)=f(2-x1)=f(x2)，所以x1+x2=2.

評注：本題是利用兩個變量的對稱轉化為一個變量問題，將變量整理到同一單調區間內，研究函數在該區間內的單調性.那么對于非二次函數或者沒有對稱性的函數呢？

二、極值點偏移類習題通法的探尋

引例已知函數f(x)=xe-x，如果x1≠x2,滿足f(x1)=f(x2),求證：x1+x2>2.

那可不可以利用這種對稱手法整理到同一個單調區間？事實是可以實施的.解法如下：

回顧解題過程，我們將會找到以下三個關鍵點，①x1和x2的范圍；②不等式f(x)>f(2-x) ,x∈(1,+∞)；③把x2代入②式中的不等式，利用f(x)的單調性即可獲證結論，以上三個關鍵點抓住了，就可以輕松解決一些極值點偏移問題.

三、極值點偏移類習題通法的延伸

四、探詢試題的解題規律

解法一是利用對稱性(偽對稱)可以用x1、x2的關系，將雙變元的不等式轉化為單變元不等式，構造新函數證明不等式，具體的操作如下三步：①求導f′(x)，獲得f(x)的單調性、極值情況，作出f(x)的草圖由f(x1)=f(x2)得x1、x2的取值范圍；②設f(x)的極值點為x0，構造出新的函數F(x)=f(x)-f(2x0-x)或者F(x)=f(x0-x)-f(x0+x)，再求導F′(x)，利用零點x1(或者x2)得到的范圍，來確定新函數值F(x)的正負;③代入x1或x2，并且利用f(x1)=f(x2)及極值點某一側的單調性來證明即可.

事實上，讓學生經歷真實的提取有效信息、抽象建模的案例的學習是發展學生數學核心素養的重要載體，因此，我們更要關注學生對問題的深度理解，深度學習這是學生把知識轉化為能力的必經之路.