高中數(shù)學(xué)中極值點偏移問題解法例析

何 靜

(江蘇省灌云縣第一中學(xué) 222200)

一、極值點偏移類習(xí)題要有解題過程

雖然這個問題用高等數(shù)學(xué)來解是非常簡單，但是蘇教版數(shù)學(xué)教材中并未涉及此類問題，因此，在教學(xué)過程中，一些老師運用高等數(shù)學(xué)思想來解釋問題，顯然不符合高中數(shù)學(xué)的教學(xué)要求，這在一定程度上超出了學(xué)生的能力范圍，但實質(zhì)是導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，呈現(xiàn)的形式往往非常簡短，涉及函數(shù)的雙零點是一個多元數(shù)學(xué)問題，無論結(jié)論是兩個變量的不等式還是導(dǎo)數(shù)函數(shù)值的不等式，消元構(gòu)造一元函數(shù)是解決多元問題的基本方法.

題源已知函數(shù)f(x)=x2-2x+3，如果x1、x2滿足f(x1)=f(x2),探討x1+x2與2的關(guān)系.

解法利用函數(shù)的單調(diào)性及二次函數(shù)的對稱性，因為函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于x=1對稱，所以f(x)=f(2-x)，又因為f(x1)=f(x2)，所以f(x1)=f(2-x1)=f(x2)，所以x1+x2=2.

評注：本題是利用兩個變量的對稱轉(zhuǎn)化為一個變量問題，將變量整理到同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)，研究函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性.那么對于非二次函數(shù)或者沒有對稱性的函數(shù)呢？

二、極值點偏移類習(xí)題通法的探尋

引例已知函數(shù)f(x)=xe-x，如果x1≠x2,滿足f(x1)=f(x2),求證：x1+x2>2.

那可不可以利用這種對稱手法整理到同一個單調(diào)區(qū)間？事實是可以實施的.解法如下：

回顧解題過程，我們將會找到以下三個關(guān)鍵點，①x1和x2的范圍；②不等式f(x)>f(2-x) ,x∈(1,+∞)；③把x2代入②式中的不等式，利用f(x)的單調(diào)性即可獲證結(jié)論，以上三個關(guān)鍵點抓住了，就可以輕松解決一些極值點偏移問題.

三、極值點偏移類習(xí)題通法的延伸

四、探詢試題的解題規(guī)律

解法一是利用對稱性(偽對稱)可以用x1、x2的關(guān)系，將雙變元的不等式轉(zhuǎn)化為單變元不等式，構(gòu)造新函數(shù)證明不等式，具體的操作如下三步：①求導(dǎo)f′(x)，獲得f(x)的單調(diào)性、極值情況，作出f(x)的草圖由f(x1)=f(x2)得x1、x2的取值范圍；②設(shè)f(x)的極值點為x0，構(gòu)造出新的函數(shù)F(x)=f(x)-f(2x0-x)或者F(x)=f(x0-x)-f(x0+x)，再求導(dǎo)F′(x)，利用零點x1(或者x2)得到的范圍，來確定新函數(shù)值F(x)的正負(fù);③代入x1或x2，并且利用f(x1)=f(x2)及極值點某一側(cè)的單調(diào)性來證明即可.

事實上，讓學(xué)生經(jīng)歷真實的提取有效信息、抽象建模的案例的學(xué)習(xí)是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要載體，因此，我們更要關(guān)注學(xué)生對問題的深度理解，深度學(xué)習(xí)這是學(xué)生把知識轉(zhuǎn)化為能力的必經(jīng)之路.