QCM傳感器性能的有限元仿真分析

王嬌楊，王連明

(東北師范大學物理學院，吉林 長春 130024)

QCM是一種對微小質量變化敏感的新型傳感器[1]，測量精度可達納克級[2].其工作原理是利用逆壓電效應，依靠內部 AT 切割的石英晶體在交變電壓作用下產生的應力，使石英晶體發生機械振動.若石英晶體面附著有一定質量的物體，則石英晶體的諧振頻率會發生改變，從而根據頻率偏移值，可最終計算出表面附著物的微小質量.[3]

由于石英晶片振動頻率高，且幅度很小，實驗中難以對其工作過程進行觀察，也難以直觀觀察和分析電極對其性能的影響，現有 QCM 傳感器設計普遍基于理論分析，測量難度大、效率低.本文通過采用有限元分析法，利用 ANSYS 軟件建立仿真環境對 QCM 傳感器進行了研究，可以直觀、形象地進行傳感器的分析與設計，提高分析水平和設計效率.

1 QCM傳感器工作原理

壓電效應是 QCM 傳感器應用與發展的基礎.當具有壓電性質的晶體受到一定方向上的外力作用并產生形變時，晶體某些表面上就會出現相反的極化電荷，稱為正壓電效應；當對壓電晶體施加交變電場時，會導致晶體發生形變而產生機械振蕩，稱為逆壓電效應.若晶體的固有頻率與外加振蕩頻率相同，就會產生諧振，此時頻率稱為諧振頻率.

1959 年，德國柏林工業大學物理研究所的 G.Sauerbrey 提出石英晶體工作時諧振頻率和微小質量變化的關系，也就是Sauerbrey 方程[4]，計算公式為

(1)

其中：Δf為石英晶體諧振頻率的變化量；f0為石英晶體固有頻率；μq為石英晶體的切變模量；ρq為石英晶體的密度；Δm為晶體質量的變化量；A為有效壓電面積.該方程成為QCM用于微小質量測量的依據.

由Sauerbrey方程可知，當QCM傳感器測量微小質量時，頻率的變化量與石英晶體固有頻率成正比，因此，QCM傳感器的質量靈敏度和石英晶片固有頻率緊密相關.

2 有限元分析法原理

有限元分析方法又稱有限單元法，是一種模擬設計載荷條件，并確定載荷條件下響應的方法.[5]本質是對一個連續結構體拆分成有限多個微小單元，在微小單元上設定多個節點，使其能與相鄰單元相連接，最終重組為多個微小單元連接的集合體.在離散的集合體中，總體系統模擬需要集合每一個微小單元的系統響應，化散為整，最終得到總體系統的響應.但是由于拆分單元的數量有限，所以只能近似于實際中的無限連續體的問題.

有限元分析方法在進行分析時主要有幾個優點：(1)利用計算機進行模擬，可以減少實際模型實驗次數，節約時間及經費；(2)適用于難操作的實際模型實驗，如器官移植、機翼振動等；(3)可以在實驗設計過程中進行多種假設并快速進行相關模擬實驗.

3 石英晶體振動特性

石英晶體可以進行高頻振動是基于胡克定律[6]的晶體彈性性質——晶體所受形變非常小時，晶體的應變分量和應力分量是成正比的線性函數，所以晶體的應變導致的應力為

(2)

用張量形式表示為

(3)

其中：Ti為應力分量，Sj為應變分量，cij為彈性剛度系數.

由于石英晶體屬于三方晶系，32點群，所以得到石英晶體的彈性剛度系數矩陣為

(4)

若用直角坐標系來計算，需要通過建立聯立代數方程，寫出變換前后的矩陣元之間的關系方程，以求解得出矩陣元，本文以α石英晶體為研究對象，求得的石英晶體彈性剛度系數矩陣為

(5)

圖1 厚度剪切模式圖

QCM傳感器中石英晶片的振動模式最主要是厚度剪切振動(由切型決定).在厚度剪切振動模式下，晶體上下表面沿著相反方向進行平面移動，面上每一點位移相等.

厚度剪切振動石英片的頻率方程式[7]為

(6)

式中：t為石英晶片厚度；Cij為彈性剛度矩陣；ρ為石英晶體密度；Kf為AT切割的石英晶片的頻率常數，取值為1 660；n為泛音次數，當n=1時，石英晶片的固有頻率值只與石英晶片的厚度有關，若選取石英晶片厚度為0.1 mm，則石英晶片的固有頻率理論計算值約為1.66×107Hz.

4 石英晶片模態分析

為了直觀分析石英晶片的工作過程，本文基于厚度剪切振動模式對石英晶片進行模態分析.選用圓形石英晶體進行仿真分析(見圖1)，晶體厚度t=0.1 mm，直徑d=2.4 mm，平均密度為2.649 g/cm3，選取頻率區間為1.65×107～1×108Hz.

由于在Workbench中坐標的排列順序與通常情況不同，是以x，y，z，xy，yz，xz順序排列，所以需要將(5)式調整為

(7)

然后，在Workbench軟件中對QCM傳感器進行參數設置及網格劃分[8](見圖2)，最終求解出100階的模態.排除了振動幅度極小、振動狀態雜亂無章、耦合干擾過大的振動模態，對類似厚度剪切振動模式進行最大位移比較，得出Mode 31最大位移遠遠大于其他模態(見圖3)，說明Mode 31就是厚度剪切振動模態，固有頻率值約為1.663 4×107Hz，與理論值相符.

圖2 石英晶片網格劃分 圖3 Mode 31整體云圖

由圖3可見，石英晶片處于高頻振動狀態，晶片表面中心區域振動最明顯，向四周呈發散式減弱，有少量耦合振動模式的干擾.而Mode 31的模態位移云圖也很好地顯示了厚度剪切振動的位移曲線(見圖4—5).

圖4 Mode 31側方沿X軸方向位移云圖 圖5 Mode 31側方沿Y軸方向位移云圖

由圖4可知，該模態下的厚度剪切振動位移曲線平滑，振動特性良好.由圖5可知，晶體表面位移由兩側向中間逐漸增加，說明石英晶體的振動位移主要集中在中心區域，而向四周逐漸遞減.

5 電極對傳感器性能影響的仿真分析

QCM傳感器在設計時，需要在石英晶體上下表面安裝電極，以引入交變電壓，并檢測諧振信號.為了研究電極對傳感器性能的影響，選取4個電極尺寸進行仿真，直徑分別為d1=0.6 mm，d2=0.8 mm，d3=1.0 mm，d4=1.2 mm，厚度t=0.02 mm，重新選取了100階的振動模態進行求解.金片的密度為1.93×104kg/m3，楊氏模量為7.95×10 N/cm2，泊松比為0.42.

圖6 Mode 4整體云圖

通過4組仿真分析得到以下仿真結果.電極直徑對應的諧振頻率分別為fd1=1.656 5×107Hz，fd2=1.633 2×107Hz，fd3=1.626 3×107Hz，fd4=1.615 8×107Hz.觀察石英晶體微觀振動的整體云圖，發現電極直徑為d1，d3和d4時，石英晶體的微觀振動情況變化很大，電極邊界振動情況差，電極振動不完全，耦合情況較為嚴重；電極直徑為d2時模型中心電極區域振動較為完全，耦合情況比其他3組要少，總體情況較為良好，圖6—8為電極直徑d2時的云圖.

圖7 Mode 4側方沿X軸方向位移云圖 圖8 Mode 4側方沿Y軸方向位移云圖

在4組仿真中，石英晶片厚度剪切振動良好，但電極直徑為d1，d3和d4時，X軸方向最大位移值與電極直徑為d2時所得結果對比有不同程度的減少；在Y軸方向上的振動曲線大體上都符合由中心向四周減弱的趨勢，但電極直徑為d1和d2時兩側振動曲線更為均勻.

仿真實驗結果表明：(1)電極直徑增加會導致石英晶體的諧振頻率下降，在厚度相同的情況下，電極越大，諧振頻率下降越多，因此，在傳感器應用時，要先對傳感器的諧振頻率進行重新標定，再進行質量測量；(2)電極尺寸太小或者太大都會導致厚度剪切振動產生強烈的耦合干擾和電極面振動不完全，導致寄生模干擾加強，因此，在電極尺寸設計時應規避這些問題.

6 結論

本文利用有限元分析方法，對QCM傳感器中石英晶片的工作過程以及電極對性能的影響兩方面進行了仿真分析.首先，通過對QCM傳感器模型進行仿真分析，獲得了與理論值較為相符、耦合干擾最小時厚度剪切振動，完整有效地展現了石英晶片微觀狀態下的高頻振動情況；其次，通過對其施加不同尺寸電極，發現電極施加后，晶體整體諧振頻率下降，因此，得出傳感器在應用前，需要對諧振頻率進行重新標定；最后，根據耦合干擾和振幅改變結果，發現電極尺寸過大過小都容易導致寄生模干擾加強，因此，在設計電極時，要進行最優電極尺寸設計.

本文通過建立QCM傳感器的仿真環境，使QCM傳感器的工作過程得以直觀展現；分析了施加電極對傳感器性能的影響，為QCM傳感器分析與設計提供了有力支持.