策略建構：從意識走向思想

劉躍彩

摘 要：小學階段“解決問題的策略”教學不應著眼于問題解決，而應側重于策略感悟。在數學教學中，教師可以通過情境催生學生的策略意識，通過操作引導學生感知策略方法，通過反思內化學生的策略經驗，通過應用形成學生的策略思想。從而，讓策略意識在學生心中從朦朧走向清晰，從清晰走向深刻。

關鍵詞：解決問題；策略意識；策略方法；策略經驗；策略思想

《義務教育數學課程標準（2011版）》在“解決問題”的課程目標中對“解決問題策略”教學提出了明確的要求。與課程標準相配套的教科書也都或多或少地安排或滲透了“解決問題的策略”。解決問題的策略對于學生解決問題，體驗問題解決方式的多樣性具有重要意義。策略是介于數學方法和數學思想之間的，相比于方法，策略更上位一些。在小學數學教學中，教師要準確把握策略內涵，催生學生的策略意識，內化策略經驗，形成策略思想。

一、情境：催生策略意識

美國數學教學指導委員會指出，“問題解決就是將所學的知識運用到情境中的過程”。在數學教學中，教師要創設情境，引發學生策略需求，催生學生策略意識。數學情境，一方面要有兒童味、生活味；另一方面要求數學味，能夠引發學生數學思考。換言之，有效的數學情境應該是情理交融、有情有理的。情境對于學生獲得對策略意識的萌發、生成，領悟策略的真諦以及運用策略都具有極為重要的意義和價值。在數學教學中，教師要啟發學生尋求策略，激發學生策略心理需求。

比如，人教版四年級下冊的《數學廣角——雞兔同籠》是我國古代著名趣題。原題是：今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？（《孫子算經》）其意是：雞和兔關在同一個籠子里，從上面數有35個頭，從下面數有94只腳，問有多少只雞和多少只兔？“雞兔同籠”問題具有極高的思維價值。在教學中，筆者首先將學生帶入問題情境之中，讓他們感受條件、問題之間的復雜關系，催生學生的畫圖意識。比如，有學生在畫圖中想到了“立正法”，即讓兔子立正。這樣，每只雞和每只兔的腳相等，一共就有70只腳，多的腳就是兔子抬起來的腳，因此兔子有24除以2，也就是12只。再如，有學生在畫圖的過程中認識到，如果我們給每只雞再裝上兩只腳，那每只雞和每只兔子的腳的數量就相等了，一共就有140只腳，而多的46只腳，就是我們給雞裝的腳，從而雞的只數就是46除以2等于23只。

在問題情境中，學生的思維被盤活，有的用“折半法”，有的用“砍足法”等。正是在趣味化的問題解決中，學生領悟到“假設法”的一般性策略：即假設所有的動物都是雞，或者所有的動物都是兔子（極端假設法），又或者假設有一半的雞和一半的兔子（中間假設法）等。

情境是根據教學目標和教學內容設定的一個環節，這個環節要催生學生萌發解決問題的策略，比如畫圖、列舉、假設等。只有這樣，情境才是有價值、有意義的。高質量的情境， 能讓學生置身其中并能做出主動心理反應，是學生問題解決的直接外部誘因。從這個意義上說，情境是打開學生問題解決策略之門的鑰匙。

二、操作：感知策略方法

瑞士著名教育心理家皮亞杰認為：“學生的智慧在指尖上。”在解決問題策略教學中，教師要引導學生動手操作，讓學生能夠對問題解決的策略獲得直接的心理感受與體驗。但這種操作要警惕學生淪落為操作工，教師應將學生的操作與感悟、體驗融通起來。換言之，解決問題策略中的數學操作應該是一種“具身性認知”，這種認知能夠促進學生對策略形成深刻認知，能夠吸引學生的主動探究，能夠培養學生的創新精神和實踐能力。

比如教學《鴿巢問題》（人教版六年級下冊），有教師在教學中直接將這種策略定位于“至少數=商+1”，關注的是抽屜原理的表面模型，而忽視了模型的建構過程。由此，學生獲得的只是數學知識，而沒有獲得對問題解決策略的感悟。筆者在教學中通過讓學生“擺一擺”“說一說”“試一試”“找一找”等活動，引導學生觀察、猜想、實踐，讓學生獲得一種策略感悟。先從簡單情況入手，學生將“4只鉛筆”放進“3個筆筒”中，一共有哪些不同的情況呢？學生在小組內展開操作，然后將各種情況用筆一一列舉出來，形成了（4，0，0），（1，3，0），（2，2，0）到（1，2，1）等諸多情況。這些情況有怎樣的共同點呢？學生發現，不管怎么放，總有一個抽屜里有兩個物體。接著，讓學生將“10本書”放進“6個抽屜”，這時有學生試圖操作，但卻因為物體的個數多、抽屜的個數多而緩了下來，他們開始有序列舉。還有一部分學生通過思考后返回操作，開始從“最不利的情況”出發，先在每個抽屜里放一個物體，在放了一輪之后，再在每個抽屜里放一個物體。在這種循環操作中，學生發現，“鴿巢問題”與“平均分”有關。在這種平均分的過程中，學生感悟到：如果物體個數是抽屜個數的整數倍，那么每個抽屜里所放物體地個數就是“倍數”個；如果物體個數不是抽屜個數的整數倍，那么每個抽屜里所放物體的個數就是“倍數+1”個。教學中，學生從“操作”到“列舉”，再從“列舉”到“操作”，然后發現“鴿巢問題”與“平均分”相關，進而概括出“鴿巢原理”的基本規律。在這個過程中，學生還誕生了“從最不利出發”的思想。

策略因問題而生，也因為問題而至。學生在操作中觀察、猜測、實踐，其策略方法自然地流淌于學生的手指尖上。在操作過程中，學生自然展開內隱性思維：為什么、怎么樣、還可以怎樣……正是通過這種具身性的活動，學生才能逐步抽象出問題解決模型。

三、反思：內化策略經驗

蘇聯著名數學教育家斯托利亞爾認為，“數學教學是數學思維活動教學”。在解決問題的過程中，教師要引導學生對學習過程進行自覺反思、審視，引發學生對數學學習的再認識、再思考。這是一種“回頭看”，是一種回顧與審視。在這個過程中，學生能夠逐步學會“調整”“調節”，這是數學知識結構同化、內化的重要過程。通過回顧、反思，學生才能將程序性、過程性知識提升為一般意義和普遍意義的方法性知識、策略性知識。

比如教學《三角形的面積》（人教版五年級上冊），在學生通過剪、拼、移，將三角形的面積轉化成平行四邊形、長方形后，筆者引導學生針對不同的轉化方法進行反思，提升學生的認識。“為什么要將三角形旋轉180°？”“為什么要沿著三角形的中位線剪開？”“為什么要沿著三角形的中位線兩端的垂線剪開？”……這樣的追問，其目的是讓學生深刻理解操作的意圖：即將三角形轉化成平行四邊形或者長方形，也就是說，將三角形轉化成已學過的圖形。更一般地，將未知轉化為已知，將陌生轉化為熟悉。只有上升到“為什么操作”的層面，數學策略意識才能形成。正是因為有了策略意識，有了策略指向，學生在學習《梯形的面積》時，才能想到將梯形轉化成長方形，或者將梯形轉化成平行四邊形，或者將梯形轉化成三角形等。可見，操作讓學生的數學學習從“碎”到“統”，從“木”到“林”，不僅讓學生積累了活動經驗，明晰了知識結構，更提升了學生的認知能力，感悟到數學思想。

數學問題解決的過程，一般要經歷這樣幾個階段：潛意識階段、明朗化階段和深刻化階段。解決問題的過程回顧與反思，就是讓學生從策略的明朗化階段走向深刻化階段的重要方式。可以這樣說，沒有反思就沒有策略的形成，策略的有效形成必然伴隨著主體的不斷反思。只有對解決問題的過程形成深刻認知，一般意義上的策略才能形成。

四、應用：形成策略思想

不同的策略可以幫助我們解決不同的實際問題，同時，不同的問題需要不同的策略。在數學教學中，學生不僅需要形成策略意識，更需要在應用中形成策略思想，策略思想關注策略“何時用”、關注策略“在何種情況下用”。培養學生策略應用的能力是解決問題教學的重要目標。因為，只有在策略的運用中，學生才能形成深刻的心理體驗。

比如，畫圖是一種策略，不僅能夠幫助學生描述題意，而且能夠引導學生進行數學思考，幫助學生解決數學問題。但是畫圖這種策略并不是依靠一兩節課就能夠形成的，而是需要滲透在日常的教學之中。不僅“圖形與幾何”部分內容需要畫圖，“數與代數”“統計與概率”“綜合與實踐”等板塊的數學內容也需要畫圖。比如在教學《分數四則混合運算》（人教版六年級上冊），教師在引導學生解決有關“倍數”“比”“分數”等分數乘除法混合運算的實際應用問題時，就可以恰當地運用線段圖，讓學生明晰“量“率”之間的對應關系，從而能夠更好地理解數量關系。這里，對應是指導學生畫圖的數學思想，畫圖是落實數學對應思想的策略。在數學運用中，一方面學生能夠將數量之間的關系用圖表示出來，另一方面能夠通過形，解決數量之間的關系。正如北京教育學院數學系副教授張丹教授所說的那樣，“畫圖策略是非常重要的一種分析問題和解決問題的策略，它是利用‘圖的直觀來對問題中的關系和結構進行表達，從而幫助人們分析問題和解決問題。同時，畫圖又是一個‘去情境化的過程，它把情境中的數量關系進行提煉，并進行直觀表達”。

策略的應用促進了學生的策略內化，同時也促進了學生的策略外化。尤其是當學生在解決問題中遭遇阻力時，策略的介入、運用更能讓學生體驗到策略的優點。在學生運用策略時，教師要引導學生思考：為什么要用這種策略而不用那種策略？用這種策略有什么好處？什么樣的問題解決需要這種策略？只有在對策略的自覺追問中，學生才能誕生鮮活的數學思想。

解決問題的策略是一種宏觀的問題解決思路，是一種植根于心的分析、思考問題的思想方法。在數學中，比知識更重要的是方法，比方法更重要的是策略。教學中，通過情境催生學生的策略意識，通過操作感知策略方法，通過反思內化策略經驗，通過應用形成策略思想，最終讓策略意識在學生心中從朦朧走向清晰，從清晰走向深刻。