把握“四理” 提升素養(yǎng)

朱潔芬

摘 要：對于筆算教學(xué)來說，其程序性、機械性常常引發(fā)教師對教學(xué)的簡單理解。如何讓筆算教學(xué)走出功利性地掌握“算術(shù)”的局限，走向數(shù)學(xué)能力與素養(yǎng)提升的境界，需要握好“四理”：即認知之心理、法則之算理、應(yīng)用之情理、多法之原理。多維視角下的“四理”教學(xué)，能有效推動兒童對筆算學(xué)習(xí)的監(jiān)控、理解和運用。

關(guān)鍵詞：四理；心理；算理；情理；原理

所謂筆算，一般指豎式計算。在計算機（器）尚未誕生的時代，以紙筆為計算工具的筆算對數(shù)學(xué)發(fā)展具有重要價值。其程序化處理讓人類得以從復(fù)雜的計算中解放出來，走進更高層面的思維創(chuàng)造。然而，對于筆算教學(xué)來說，其程序性、機械性似乎也引發(fā)了教師對教學(xué)的簡單理解。如何讓筆算教學(xué)走出功利性地掌握某種“算術(shù)”的局限，走向數(shù)學(xué)能力與素養(yǎng)提升的境界，筆者認為，在教學(xué)過程中要握好“四理”：即認知之心理、法則之算理、應(yīng)用之情理、多法之原理。下面以“筆算兩、三位數(shù)乘一位數(shù)（連續(xù)進位）”一課為例做簡要分析。

一、認知之心理

筆算兩、三位數(shù)乘一位數(shù)（連續(xù)進位）是筆算乘法的一個難點。如果立足學(xué)生的視角，聯(lián)系認知心理學(xué)分析，可以發(fā)現(xiàn)：每次都要進位，學(xué)生頭腦中工作記憶的容量陡然增加了。因而該內(nèi)容的學(xué)習(xí)在學(xué)生那里遠沒有成人那么容易。或許，這也是蘇教版將該內(nèi)容從二年級調(diào)整到三年級的一個重要原因。近幾年，在使用修訂版教材的過程中筆者發(fā)現(xiàn)，雖然該內(nèi)容后移了一個學(xué)段，而且經(jīng)由不進位乘到不連續(xù)進位乘等充分準備后學(xué)習(xí)，其即時檢測和延時檢測的效果仍然不理想。

其實，如果進一步研究學(xué)生的錯誤可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生主要是對其中反復(fù)實施的一種兩步口算——邊乘邊加，理不清、算不準，尤其在相加又出現(xiàn)進位時更容易出錯。再深究每一步的認知策略和認知負荷可以發(fā)現(xiàn)，先要借助乘法口訣直接提取得數(shù)，相加時一方面要存儲相乘的得數(shù)，另一方面還要運算兩位數(shù)加一位數(shù)，這樣就需要較大的心理容量作支持；如果這種進位連續(xù)發(fā)生，后續(xù)進位時對記憶容量的要求會更高。

這樣看來，要改善這種連續(xù)進位乘的教學(xué)效果，就需要引導(dǎo)學(xué)生對每一步運算進行具體分析，聚焦認知負荷較大的環(huán)節(jié)，實施有效監(jiān)控。所以在學(xué)生會用豎式計算48×4，372×9等算式后，不能就此收手，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對計算過程進行反思：連續(xù)兩次或三次進位時，最有可能在第幾次進位時出錯？為什么？引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注后續(xù)進位，關(guān)注關(guān)鍵節(jié)點——乘加口算，如圖1和圖2。對于圖2這種連續(xù)三次以上進位的，要進一步引導(dǎo)學(xué)生比較：在后面的連續(xù)兩次進位中，哪一次更容易出錯？為什么？引導(dǎo)學(xué)生聚焦認知負荷最大的一步——邊乘邊加后又要進位的，從而學(xué)會合理分配頭腦中有限的認知容量。

二、法則之算理

由于加法在標準化筆算乘法中處于隱藏狀態(tài)，再加上不少教師在不進位乘和不連續(xù)進位乘教學(xué)中算理分析的蜻蜓點水和分步算法的快速簡化，使得學(xué)生對乘法筆算中為什么要有加法的參與并未真正理解，印象也就不太深刻。隨著練習(xí)量加大，技能自動化，筆算乘法與加法的聯(lián)系漸趨弱化，最終在某些學(xué)生的頭腦中必不可少的加法演化成了一種可有可無的操作程序。其實，無論是進位數(shù)的忘加或錯加，本質(zhì)上都是對筆算乘法中加法的忽視，是對部分積損失的無視。缺失了算理分析的法則教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生漸漸走向了盲目追求程序化、自動化的誤區(qū)，最終喪失了對法則的概念性理解。

修正上述錯誤，除對關(guān)鍵程序?qū)嵤┽槍π员O(jiān)控和強化外，弄清算法程序背后的“理”是一條根本途徑。當(dāng)然，對于已有一定算理基礎(chǔ)的兩三位數(shù)乘一位數(shù)連續(xù)進位筆算教學(xué)，不必花費很多力氣刻意介入。不妨結(jié)合錯例講評，引導(dǎo)學(xué)生自主展開分析過程。如有學(xué)生忘記加進位數(shù)（如圖3），可以通過提問觸發(fā)對算理的思考：表面上看是第二次相乘以后忘記加進位數(shù)3，其實丟失的是第幾次相乘的結(jié)果？（第一次）丟失了多少？（30）相機將圖3展開為圖4，進而修正為圖5。正本清源的算理分析讓乘法筆算中隱蔽的加法得以顯現(xiàn)，讓進位數(shù)與其所在部分積的聯(lián)系得以展現(xiàn)，更讓進位數(shù)漏加的嚴重后果得以震撼呈現(xiàn)。

此外，還有一種錯誤（如圖6），本質(zhì)上也是算理不清，不理解“16”和“3”的計數(shù)單位是相同的，兩者本應(yīng)合并。此類錯誤不少教師曾嘗試讓學(xué)生通過估算去監(jiān)控，如估算積大約是多少或者積是幾位數(shù)，使學(xué)生認識到錯誤。顯然，對于這樣的錯誤，如果不從算理上分析，還是不能從根本上得到修正。

三、應(yīng)用之情理

要改善此類盲目使用筆算的狀況，需要教師突破頭腦中固有的筆算中心主義，嘗試給筆算建立一個開闊的、整體的視野（如圖7，美國NCTM1989年《學(xué)校數(shù)學(xué)課程與評價標準》）。把筆算放到一個相對完整的問題解決系統(tǒng)之中，避免為算而算；將筆算定位為解決問題的一種工具，而非唯一工具；想方設(shè)法打破筆算“技壓群芳”的局面，感悟各種計算方法的價值，促進筆算與口算、用計算器算、估算等方法的有機整合，最終學(xué)會依據(jù)具體情境合理選擇和使用筆算。

由此看來，對于連續(xù)進位乘的練習(xí)設(shè)計來說，應(yīng)該展現(xiàn)出一種開闊的、多角度的視野。如：面對23×7，6×34，517×8，8×642等，計算前不宜簡單地拋給學(xué)生，而要引導(dǎo)學(xué)生先著眼整體去思考“怎樣算，又對又好？”，從而激發(fā)算法優(yōu)選的意識。講評時讓學(xué)生明確這里“好”的標準是：能口算的要優(yōu)先使用口算。

四、多法之原理

其實，對于筆算來說，方法一般不止一種。如今的標準化算法是歷經(jīng)上千年的歷史演變而成的。除了標準算法，還有許多曾經(jīng)被淘汰的替代性算法。這些替代性算法對于數(shù)學(xué)的發(fā)展來說也許已沒有太多意義，但對于兒童的數(shù)學(xué)認知發(fā)展來說意義重大。研究表明，兒童精致協(xié)調(diào)的認知結(jié)構(gòu)的形成都離不開這些相對自然、原始、笨拙的替代性策略的使用。同時，替代性算法的介入，還能打破標準算法“一枝獨秀”的局面，引發(fā)筆算系統(tǒng)的深層構(gòu)建，引導(dǎo)學(xué)生走進算法研究的更深處，洞悉其中相融共通的數(shù)學(xué)原理。

教學(xué)實踐表明，多樣化的算法徹底打破了學(xué)生對筆算的僵化思考，不少學(xué)生甚至能自主創(chuàng)造一些跟上面不同的算法，比如先兩邊后中間，或者先中間后兩邊等，并為自己創(chuàng)造的算法找到了可靠的驗證方法：只要求出的是9個2、9個70與9個300這三個部分的和，這種算法就是正確的。顯然，這種多樣化探究引發(fā)了學(xué)生對內(nèi)在數(shù)學(xué)原理——乘法分配律的自然感悟。

總之，筆算教學(xué)中，以多維視角把握好認知之心理、法則之算理、應(yīng)用之情理、多法之原理等，能有效推動兒童對筆算學(xué)習(xí)的監(jiān)控、理解和運用，全面提升數(shù)學(xué)能力與素養(yǎng)。