兩步分裂步長(zhǎng)時(shí)域有限差分法

林智參

摘要：提出一種新的兩步分裂步長(zhǎng)時(shí)域有限差分（TS-FDTD）法，該方法基于Split-Step方案和Crank-Nicolson方案，采用新的矩陣分解形式，與傳統(tǒng)的FDTD算法、傳統(tǒng)分裂步長(zhǎng)時(shí)域有限差分法相比，減少計(jì)算復(fù)雜度，算法的推導(dǎo)簡(jiǎn)單，提高了計(jì)算精度。本文還加入一階Mur吸收邊界條件，給出一階Mur吸收邊界差分方程。最后，通過(guò)實(shí)例仿真，比較TS-FDTD、傳統(tǒng)FDTD方法兩種算法的仿真結(jié)果，驗(yàn)證了TS-FDTD算法的可行性及其高精度性。

關(guān)鍵詞：時(shí)域有限差分法；分裂步長(zhǎng)；邊界條件；精度

中圖分類號(hào)：TM15 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1007-9416（2018）05-0144-02

時(shí)域有限差分法[1]（Finite-Difference Time-Domain-FDTD）是一種簡(jiǎn)便的電磁波時(shí)域分析方法，此方法用Yee氏網(wǎng)格為基礎(chǔ)，把電磁場(chǎng)離散化，將麥克斯韋旋度方程差分化，建立差分方程，從而簡(jiǎn)便有效的處理各種電磁場(chǎng)中復(fù)雜的問(wèn)題，目前已經(jīng)廣泛的應(yīng)用于電磁場(chǎng)的各個(gè)方面。但是，傳統(tǒng)的FDTD算法也有不足之處，其推導(dǎo)公式較為復(fù)雜，運(yùn)算過(guò)程負(fù)擔(dān)頗大大，因而，人們也從多個(gè)方向?qū)DTD進(jìn)行改進(jìn)[2]。本文提出了一種基于Split-Step[3]方案和Crank-Nicolson[4]方案新型FDTD算法，以TM波為例子，采用一種新的矩陣分解方法，來(lái)簡(jiǎn)化運(yùn)算公式，減輕計(jì)算負(fù)擔(dān)。

1 TS-FDTD算法理論推導(dǎo)

選擇一無(wú)源區(qū)域作為研究空間，其中介質(zhì)均勻無(wú)耗并且各向同性，介電常數(shù)為ε，磁導(dǎo)率為μ，可將二維TM波麥克斯韋方程組以微分形式表示如下：

在分步2中，電場(chǎng)分量Ez在二維空間四個(gè)邊界上的一階Mur吸收邊界差分方程式可參考分步1，其形式近似，此處不再展開(kāi)贅述。

3 實(shí)例仿真

本例將TS-FDTD算法用于運(yùn)算一個(gè)二維自由空間TM波傳播及電場(chǎng)分布情況，空間的尺寸大小為100cm*100cm，并且采用一階Mur邊界條件，激勵(lì)源為sin（2*pi*f*t），放置于二維空間的中間位置，激勵(lì)源的頻率為f=1.5GHz。根據(jù)FDTD收斂性分析，網(wǎng)格尺寸可取激勵(lì)源波長(zhǎng)的1/20，即Δx=Δy=1cm。設(shè)一觀察點(diǎn)放置于激勵(lì)源與邊界之間的中心位置。TS-FDTD運(yùn)算結(jié)果仿真如圖1、圖2、圖3和圖4所示。其中圖1、2、3為T(mén)S-FDTD運(yùn)算過(guò)程中Ez場(chǎng)分量的空間分布圖，圖4為傳統(tǒng)FDTD算法和TS-FDTD算法比較圖。

從圖1-3可以看出，本文提出的TS-FDTD算法可以計(jì)算出電場(chǎng)Ez各時(shí)間步在平面空間上的分布情況，因此，TS-FDTD是符合麥克斯韋方程組基本理論的。由圖4可見(jiàn)，傳統(tǒng)FDTD算法求解的觀察點(diǎn)電場(chǎng)值達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)間比較緩慢，而TS-FDTD算法所求的電場(chǎng)值基本處于穩(wěn)定狀態(tài)，顯然，TS-FDTD的計(jì)算精度比傳統(tǒng)FDTD的要高。

4 結(jié)語(yǔ)

本文基于Split-Step方案和Crank-Nicolson方案，采用新的矩陣分解形式，提出一種新的兩步分裂步長(zhǎng)時(shí)域有限差分（TS-FDTD）法，減輕了運(yùn)算負(fù)擔(dān)，化簡(jiǎn)推導(dǎo)公式，并且提高了計(jì)算精度。還給出了一個(gè)TM波運(yùn)算實(shí)例，用matlab對(duì)提出的TS-FDTD算法進(jìn)行編程分析，驗(yàn)證了可行性。

參考文獻(xiàn)

[1]葛德彪，閆玉波.電磁波時(shí)域有限差分方法（第三版）[M].西安：西安電子科技大學(xué)出版社，2011.

[2]孔永丹.基于分裂步長(zhǎng)的無(wú)條件穩(wěn)定FDTD算法研究[D].華南理工大學(xué)，2011.

[3]Jongwoo Lee， Bengt Fornberg， A split step approach for the 3-D Maxwells equations[J]. Journal of Computational and Applied Mathematics，2003，158：485-505.

[4]Smith G. D.. Numerical solution of partial differential equations： Finite difference methods[M]. 3^rd ed. Oxford Applied Mathematics and Computing Science Series，1986.