基于干擾觀測(cè)器的導(dǎo)引頭穩(wěn)定平臺(tái)滑模控制

雷虎民, 王業(yè)興, 卜祥偉, 王華吉

(空軍工程大學(xué)防空反導(dǎo)學(xué)院, 陜西 西安 710051)

0 引 言

導(dǎo)引頭作為精確制導(dǎo)武器的核心部件,很大程度上決定了制導(dǎo)精度的高低[1]。對(duì)框架式導(dǎo)引頭來說,導(dǎo)引頭伺服系統(tǒng)的控制對(duì)象是天線穩(wěn)定平臺(tái),在進(jìn)行目標(biāo)攔截的過程中,彈體的角速度、氣流擾動(dòng)以及末端彈體的高過載等外部干擾會(huì)以多種方式耦合到穩(wěn)定平臺(tái)上,影響導(dǎo)引頭的視線穩(wěn)定和跟蹤精度[2]。在民用領(lǐng)域,穩(wěn)定平臺(tái)在無人機(jī)航拍、車載系統(tǒng)中、民用航空領(lǐng)域中也得到廣泛應(yīng)用[3-4]。因此,提高穩(wěn)定平臺(tái)的隔離度性能及跟蹤精度不僅對(duì)提高導(dǎo)彈攔截目標(biāo)精度,也對(duì)軍民融合以及促進(jìn)其在民用發(fā)展領(lǐng)域的發(fā)展十分重要的現(xiàn)實(shí)意義[5]。

為了提高導(dǎo)引頭天線穩(wěn)定平臺(tái)的精度和抗彈體干擾能力,諸多控制算法被用到導(dǎo)引頭伺服控制系統(tǒng)中。文獻(xiàn)[6]將Stribeck摩擦模型引入了導(dǎo)引頭穩(wěn)定平臺(tái)動(dòng)力學(xué)建模中,并采用基于反向傳播(back propagation, BP)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的比例積分微分(proportion integration differentiation,PID)控制方法來提高穩(wěn)定平臺(tái)的隔離度性能,這種控制方法實(shí)現(xiàn)了PID參數(shù)的在線調(diào)節(jié),但算法避免不了PID算法的解決非線性問題局限性。文獻(xiàn)[7]采用基于滑模擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的滑模控制方法來抑制非線性干擾,將不確定擾動(dòng)項(xiàng)作為擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)補(bǔ)償?shù)娇刂戚斎攵?大大增強(qiáng)了系統(tǒng)的魯棒性,擾動(dòng)在0.1 s的時(shí)間內(nèi)被消除,但其動(dòng)力學(xué)建模未考慮速度干擾到力矩干擾的轉(zhuǎn)化形式,建模不夠完整,對(duì)干擾問題考慮不足。文獻(xiàn)[8]設(shè)計(jì)了新型的自抗擾控制器,采用微分跟蹤器、擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器、非線性狀態(tài)誤差反饋控制率以及擾動(dòng)估計(jì)補(bǔ)償4大模塊,并驗(yàn)證了控制器的控制效果優(yōu)于傳統(tǒng)的PID控制,但對(duì)于文中的狀態(tài)方程中存在多于一個(gè)不確定項(xiàng)的情況,通常的擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器無法直接進(jìn)行設(shè)計(jì)。文獻(xiàn)[9]引入Stribeck摩擦力模型,采用基于微分跟蹤器與擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器相結(jié)合的自抗擾控制技術(shù)對(duì)高精度伺服系統(tǒng)進(jìn)行控制,并設(shè)計(jì)了反饋控制率對(duì)誤差進(jìn)行控制,取得了比較好的控制效果,但是文中的線性微分跟蹤器跟蹤精度一般。文獻(xiàn)[10]對(duì)永磁電機(jī)混沌系統(tǒng)采用坐標(biāo)變換方法來減少干擾項(xiàng)的個(gè)數(shù),用擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器進(jìn)行干擾估計(jì),并采用自適應(yīng)滑模控制的方法保證系統(tǒng)快速收斂到零點(diǎn),保證了算法的魯棒性,但其算法的控制量抖振過大。

由于導(dǎo)引頭穩(wěn)定平臺(tái)在跟蹤目標(biāo)時(shí),會(huì)受到各種未知的擾動(dòng),保證穩(wěn)定平臺(tái)對(duì)彈體擾動(dòng)的隔離度是對(duì)導(dǎo)引頭伺服系統(tǒng)研究的熱點(diǎn)問題,本文建立了穩(wěn)定平臺(tái)動(dòng)力學(xué)模型并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)。本文的創(chuàng)新點(diǎn)主要有:①采用坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的方法將不確定項(xiàng)合并,方便進(jìn)行控制器設(shè)計(jì);②并用改進(jìn)微分跟蹤器對(duì)不確定項(xiàng)求導(dǎo),以保證坐標(biāo)轉(zhuǎn)換可行性和補(bǔ)償?shù)木_性;③采用基于改進(jìn)微分跟蹤器的非線性干擾觀測(cè)器對(duì)系統(tǒng)的總擾動(dòng)進(jìn)行精確估計(jì),較傳統(tǒng)狀態(tài)觀測(cè)器估計(jì)更精確;④采用二階滑模控制算法,削減了滑模控制的抖振現(xiàn)象。

1 系統(tǒng)穩(wěn)定平臺(tái)描述

1.1 導(dǎo)引頭穩(wěn)定平臺(tái)動(dòng)力學(xué)建模

導(dǎo)引頭穩(wěn)定平臺(tái)是導(dǎo)引頭伺服系統(tǒng)的實(shí)際控制對(duì)象,而伺服電機(jī)是伺服系統(tǒng)的執(zhí)行機(jī)構(gòu)。由于伺服系統(tǒng)俯仰與偏航通道特性近似,且耦合不強(qiáng)[5],本文僅對(duì)俯仰通道進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模,下面根據(jù)電機(jī)的力矩平衡方程和電流方程進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模。直流力矩電機(jī)和平臺(tái)負(fù)載的等效電路圖如圖1所示。

圖1 電機(jī)與平臺(tái)負(fù)載傳動(dòng)模型Fig.1 Motor and platform load drive model

(1)

Tc=Cmia

(2)

由電機(jī)動(dòng)力學(xué)原理可知:

(3)

1.2 導(dǎo)引頭干擾力矩模型

導(dǎo)引頭干擾力矩分為摩擦力矩Tf、質(zhì)量不平衡力矩Tb、電纜柔性力矩Te,即

Tturb=Tf+Tb+Te

(4)

考慮到在工程實(shí)際中,質(zhì)量不平衡力矩可以通過在制造時(shí)配平質(zhì)量來削減[5],電纜柔性力矩則可以通過合理的布線來減小,鑒于其力矩很小,故忽略不進(jìn)行分析。而摩擦力的大小與其軸承間、密封件間的預(yù)緊力直接相關(guān),從而導(dǎo)致系統(tǒng)中不可避免地存在較大摩擦[11]。因此,將電機(jī)動(dòng)力學(xué)方程簡化為

(5)

由于Stribeck摩擦力矩模型廣泛的適用性等諸多優(yōu)點(diǎn)[12],摩擦曲線如圖2所示。因此本文中選取作為摩擦力模型,其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

(6)

式中,Fc、Fs分別代表滑動(dòng)摩擦力矩和最大靜摩擦力矩;vs代表Stribeck速度;Bv代表粘滯摩擦系數(shù);v代表相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度。

圖2 Stribeck摩擦曲線Fig.2 Friction force with Stribeck effect

1.3 穩(wěn)定平臺(tái)數(shù)學(xué)模型及坐標(biāo)轉(zhuǎn)換

結(jié)合文獻(xiàn)[12-13],通過動(dòng)力學(xué)建模得到的穩(wěn)定回路結(jié)構(gòu)圖如圖3所示。

圖3 穩(wěn)定回路框圖Fig.3 Stabilized loop block diagram

結(jié)合式(1)、式(2)、式(5)和式(6),得到穩(wěn)定回路的數(shù)學(xué)模型為

(7)

為便于控制算法設(shè)計(jì),提出Stribeck摩擦中的線性項(xiàng),進(jìn)而得到如下數(shù)學(xué)模型:

(8)

(9)

由于式(8)中存在兩項(xiàng)不確定干擾項(xiàng),采用坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的方法對(duì)式(8)進(jìn)行轉(zhuǎn)換,即對(duì)不確定項(xiàng)進(jìn)行歸一化處理,將式中兩個(gè)不確定項(xiàng)合并為一個(gè)不確定項(xiàng),方便進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)。

(10)

式中,Δ為系統(tǒng)總的干擾項(xiàng),表達(dá)式為

(11)

實(shí)際上,系統(tǒng)的干擾項(xiàng)可以分為兩部分,即不確定導(dǎo)數(shù)項(xiàng)Δ1以及不確定項(xiàng)Δ2,其中

(12)

2 基于非線性干擾觀測(cè)器的滑模控制律設(shè)計(jì)

圖4 基于非線性干擾觀測(cè)器的滑模控制結(jié)構(gòu)圖Fig.4 Structure of the sliding mode control based onnonlinear disturbance observer

由于經(jīng)過坐標(biāo)變換后,x1=y1,所以圖4中的x1直接反饋到控制器中,從而進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)。

2.1 改進(jìn)型微分跟蹤器設(shè)計(jì)

第1節(jié)的數(shù)學(xué)模型中,存在一個(gè)不可導(dǎo)的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)Δ1,針對(duì)這一干擾項(xiàng),采用非線性微分跟蹤器進(jìn)行平滑估計(jì)。

本文采用新型微分跟蹤器對(duì)Δ1進(jìn)行估計(jì),其形式如下:

(13)

式中,R,ai(i=1,2,…,n)∈R+為待設(shè)計(jì)參數(shù)，則存在φ>0與ιφ>n使得

,i=1,2,…,n

(14)

式中,O((1/R)ι φ-i+1)表示ζi與υ(i-1)(t)的近似程度是(1/R)ι φ-i+1階的。其中,φ=(1-?)/?,?∈(0,min{ι/(ι+n),1/2}),n≥2。

本文設(shè)計(jì)微分跟蹤器的改進(jìn)之處為,將切換函數(shù)由sign函數(shù)改進(jìn)為tanh函數(shù),實(shí)現(xiàn)了切換點(diǎn)處較為平滑的切換。

該微分跟蹤器是有限時(shí)間收斂且穩(wěn)定的。證明參考文獻(xiàn)[14]。

2.2 基于改進(jìn)型微分跟蹤器的非線性干擾觀測(cè)器設(shè)計(jì)

考慮如下不確定動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)

(15)

式中,v∈R為系統(tǒng)狀態(tài)變量;F(v)與G(v)≠0為連續(xù)函數(shù);u∈R為控制輸入;d∈R為不確定項(xiàng)。

定理1為實(shí)現(xiàn)對(duì)不確定項(xiàng)Δ的準(zhǔn)確估計(jì),基于設(shè)計(jì)的新型微分跟蹤器,設(shè)計(jì)非線性干擾觀測(cè)器如下形式:

(16)

(17)

證明分以下兩種情況證明。

≠0

(18)

進(jìn)一步有

→+∞

(19)

(20)

取n=2,則式(13)變?yōu)?/p>

(21)

證畢

由以上證明可知,通過選取合適的參數(shù)值可使估計(jì)誤差收斂。

2.3 二階滑模控制器設(shè)計(jì)

由于滑模控制具有良好的魯棒性,其強(qiáng)魯棒性恰恰滿足了天線穩(wěn)定平臺(tái)的高隔離度要求[16]。而普通滑模控制在滑模面附近容易產(chǎn)生抖振現(xiàn)象,為了抑制導(dǎo)引頭天線穩(wěn)定平臺(tái)的高頻抖振,設(shè)計(jì)二階滑模控制器如下:

定義滑模面s為

(22)

式中,e=x-xd為角度跟蹤誤差,x為實(shí)際角度,xd為角度指令信號(hào);c為常數(shù),c>0。

對(duì)式(22)求導(dǎo),并代入式(10)得

(23)

設(shè)計(jì)如下控制律:

(24)

將式(23)代入式(24)可得

(25)

(26)

下面證明控制算法的穩(wěn)定性。

由于觀測(cè)器的誤差觀測(cè)量和狀態(tài)觀測(cè)量收斂性已經(jīng)得到證明,因此在此只證明滑模控制算法穩(wěn)定性。

證明選取Lyapunov函數(shù)為

(27)

對(duì)Lyapunov函數(shù)求導(dǎo),得

(28)

(29)

證畢

3 仿真研究

為驗(yàn)證所提方法的有效性和優(yōu)越性,下面進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。將設(shè)計(jì)的算法與PID控制以及反演控制進(jìn)行比較。其中,反演控制的控制方案見文獻(xiàn)[17]。

系統(tǒng)主要參數(shù)如表1和表2所示。

表1 模型參數(shù)

表2 控制器及觀測(cè)器參數(shù)

3.1 微分跟蹤器估計(jì)效果仿真

本文設(shè)計(jì)的微分跟蹤器起到了兩次微分的作用,微分跟蹤器的輸入為狀態(tài)方程的兩個(gè)狀態(tài)量。首先,微分跟蹤器對(duì)狀態(tài)量x1求導(dǎo),得到其導(dǎo)數(shù)值,然后通過計(jì)算得到干擾項(xiàng),后將計(jì)算得到的干擾項(xiàng)再次通過微分跟蹤器,進(jìn)而得到干擾項(xiàng)的導(dǎo)數(shù)。通常,通過微分跟蹤器對(duì)輸入的跟蹤效果來判斷其對(duì)導(dǎo)數(shù)值的估計(jì)效果[17-18]。圖5為微分跟蹤器對(duì)角速度的跟蹤效果圖,通過圖5可以看出,微分跟蹤器可以很好地跟蹤角速度輸出值,即使在速度過零點(diǎn)的位置,微分跟蹤器也可以實(shí)現(xiàn)對(duì)角速度值的準(zhǔn)確估計(jì),進(jìn)而可以得到,本文設(shè)計(jì)的微分跟蹤器對(duì)干擾微分值估計(jì)效果良好。

圖5 微分跟蹤器估計(jì)效果Fig.5 Estimation of differential tracker

3.2 非線性干擾觀測(cè)器估計(jì)效果仿真

由圖5可知,微分跟蹤器可以實(shí)現(xiàn)良好的跟蹤效果,因此將微分跟蹤器的導(dǎo)數(shù)輸出量及摩擦力作為實(shí)際輸出量,從而計(jì)算出總的實(shí)際干擾項(xiàng)。

圖6為觀測(cè)器干擾估計(jì)值。

圖6 觀測(cè)器干擾估計(jì)值Fig.6 Disturbance estimated by observer

通過圖6可以看出,觀測(cè)器的干擾估計(jì)值在速度過零點(diǎn)處存在少量超調(diào),但能很快調(diào)節(jié)至穩(wěn)態(tài)跟蹤,觀測(cè)器的干擾估計(jì)值可以很好地跟蹤實(shí)際干擾值。

3.3 速度跟蹤效果仿真

圖7為系統(tǒng)加入1 Hz的正弦速度干擾時(shí)跟蹤1 Hz正弦參考信號(hào)的系統(tǒng)響應(yīng)曲線。從圖7中可以看出, Stribeck效應(yīng)在速度過零點(diǎn)處對(duì)速度跟蹤效果影響比較大。在導(dǎo)引頭天線穩(wěn)定平臺(tái)速度過零點(diǎn)時(shí),負(fù)載中摩擦力在速度過零點(diǎn)處的強(qiáng)非線性,嚴(yán)重影響導(dǎo)引頭天線的跟蹤精度。圖8為跟蹤誤差曲線。從圖8可以看出,PID、反演控制和本文設(shè)計(jì)的控制方法在過零點(diǎn)處由擾動(dòng)引起的速度誤差最大值分別為0.1、0.05、0.03,同時(shí)可以看出,相比于PID控制,本文設(shè)計(jì)的控制方法調(diào)節(jié)時(shí)間更短。

圖7 角速度跟蹤曲線對(duì)比Fig.7 Comparison of angular rate tracking

圖8 角速度跟蹤誤差曲線對(duì)比Fig.8 Comparison angular rate tracking error

從圖8還可以看出,進(jìn)行仿真的3種控制方法均可以將擾動(dòng)削減96%以上,本文設(shè)計(jì)的控制方法在遠(yuǎn)離速度過零點(diǎn)位置時(shí)可以將擾動(dòng)削減至零,體現(xiàn)出更好的穩(wěn)態(tài)性能。

圖9為控制輸入曲線的對(duì)比。從圖9可以看出,本文設(shè)計(jì)的控制方法所需要的控制量少于PID和反演控制所需的控制量,控制更高效,且控制量在速度過零點(diǎn)位置附近較前兩者更為平滑。

圖9 控制輸入曲線對(duì)比Fig.9 Comparison of controller input

因此，本文設(shè)計(jì)的方法在速度過零點(diǎn)處和在其他位置時(shí),都優(yōu)于另外兩種控制方法。

結(jié)合速度誤差曲線和控制輸入曲線,可以分析得出:PID控制方法原理比較簡單,對(duì)于文中復(fù)雜擾動(dòng)的抑制效果一般,反演控制方法在速度過零點(diǎn)附近調(diào)節(jié)時(shí)間較快,但存在一定的跟蹤誤差。本文的控制策略則起到了對(duì)擾動(dòng)進(jìn)行精確補(bǔ)償?shù)淖饔?由于干擾估計(jì)效果直接影響控制效果,更小的估計(jì)誤差是本文方法具有更強(qiáng)的魯棒性和跟蹤精度的關(guān)鍵因素。

4 結(jié) 論

針對(duì)導(dǎo)引頭穩(wěn)定平臺(tái)在速度過零點(diǎn)時(shí)的非線性擾動(dòng)問題,設(shè)計(jì)了基于干擾觀測(cè)器的滑模控制算法,取得了優(yōu)于PID和反演控制的控制效果,具有很強(qiáng)的魯棒性和很高的控制精度。

(1) 改進(jìn)的微分跟蹤器能夠準(zhǔn)確對(duì)干擾項(xiàng)導(dǎo)數(shù)進(jìn)行估計(jì),從而使干擾項(xiàng)合并,方便了控制器的設(shè)計(jì);

(2) 基于改進(jìn)微分跟蹤器的干擾觀測(cè)器實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)擾動(dòng)觀測(cè)量的實(shí)時(shí)估計(jì),使系統(tǒng)能夠?qū)_動(dòng)進(jìn)行精確補(bǔ)償;

(3) 設(shè)計(jì)的二階滑模控制算法保證了系統(tǒng)的穩(wěn)定性,減少了系統(tǒng)的抖振,并提高了控制效率;

(4) 算法能夠很好地提升了導(dǎo)引頭天線穩(wěn)定平臺(tái)對(duì)彈體運(yùn)動(dòng)的隔離度,并能夠克服非線性摩擦干擾的不良影響。