基于L1自適應律的尾坐式飛行器懸停位置控制

鐘京洋, 宋筆鋒

(西北工業大學航空學院, 陜西 西安 710072)

0 引 言

隨著應用的需要和航空技術的發展, 近年來世界范圍內掀起了對無人機(unmanned aerial vehicles, UAVs)的研究熱潮,究其原因, 用無人機替代有人駕駛飛機可以降低生產成本, 便于運輸、維修和保養[1]。很多新構型飛行器被提出并用于救援、森林搜尋等[2]。相比于傳統布局的飛行器,兼具懸停和平飛[3],比多旋翼更高平飛的效率[4],以及不需要傾轉旋翼類飛行器傾轉機構等優點[5],使尾坐式飛行器得到了不斷發展。很多科研機構都針對尾坐式飛行器的建模和控制做了不同程度的研究,文獻[6]設計了一款四旋翼形式的尾坐式垂直起降飛行器,通過風洞實驗對飛行器全包線的氣動特性進行了研究,通過仿真和實驗驗證了飛行器良好的轉換飛行能力。文獻[7-8]針對所設計的一款可變槳距的尾坐式垂直起降飛行器,分別使用線性二次型調節器(linear quadratic regulator,LQR)以及比例積分微分(proportion integration diferentiation,PID)控制器進行了飛行器姿態控制的研究,結果證明了LQR控制器在存在干擾情況下具有更強的魯棒性。此外,其他科研機構也都針對尾坐式飛行器進行了不同程度的研究[9-11]。

由于微小型飛行器的質量及轉動慣量相對較小,因此更易受到外界環境的干擾。此外,有限的模型精度,縱向和橫向之間的耦合等不確定非線性問題,都使其對控制器的設計提出了挑戰[12-13]。針對于含有不確定性的系統,模型參考自適應控制(model reference adaptive control, MRAC)的研究已經發展了60年[14-15]。標準的MRAC需要進行快速的在線估計以補償不確定性,在快速的自適應過程中,高增益反饋會降低系統魯棒性[16],為了避免魯棒性的損失,往往需要通過降低自適應速度來實現,但反過來又會降低系統性能。針對這些不足,文獻[17-18]在2006年首次提出了L1自適應的控制架構,分別通過針對線性系統以及非線性系統的理論分析[19-21],證明了該架構通過在系統輸入處引入低通濾波器,能夠在快速的自適應過程中,保證系統一定的魯棒性,而標準的MRAC在進行快速的自適應過程中,會使系統的魯棒性出現明顯下降,這使得標準的MRAC在實際中無法使用較大的自適應增益,一定程度上限制了控制器的性能。很多研究機構也都基于L1自適應的控制器架構針對飛行器進行了控制方面的相應研究[22-24]。

本文針對一款尾坐式垂直起降飛行器,基于非線性的動力學模型,進行了懸停階段的位置和高度控制研究。通過將系統分為一個不含不確定的標稱系統和一個非線性非匹配的不確定性兩部分,采用級聯形式的非線性動態逆控制器,對標稱系統進行控制,得到期望的指令跟蹤性能。考慮到風場擾動以及氣動系數的不準確會給系統帶來不同變化速度的不確定變量,而L1自適應控制的一個突出特點就是能夠快速對不確定進行補償,以保證系統良好的指令跟隨能力,因此,本文采用基于比例自適應律的L1自適應控制器[25]對不確定性和擾動進行補償,以使系統性能盡可能恢復到理想情況。

1 系統描述及動力學

1.1 系統描述

本文的研究對象為一款飛翼布局的尾坐式垂直起降飛行器,如圖1所示,該飛行器的作動器由電機和舵面組成。兩個無刷電機轉向相反,通過拉力差,進行滾轉姿態的控制。舵面由埋在機翼中的舵機驅動,通過反對稱偏轉產生偏航控制力拒,對稱偏轉產生俯仰控制力矩。慣性坐標系采用NED(north-east-down)坐標系定義,機體坐標系的定義如圖1所示,Xb軸由機腹指向前,Zb軸垂直于螺旋槳平面,Yb=Zb×Xb。氣動力的定義服從機體坐標的定義,即升力沿Xb負方向,阻力沿Zb方向,側力沿Yb方向,攻角的定義沿機翼方向。

圖1 飛行器坐標定義Fig.1 Coordinates definition of aircraft

1.2 螺旋槳滑流的計算

由一維動量理論可得由螺旋槳誘導的滑流速度及滑流面積的計算公式[26]。距槳盤x位置處的滑流速度Vpropeller(x)的計算式為

(1)

式中,Rp為槳盤半徑;Vavg0為槳盤處(x=0)的誘導速度。其中，Vavg0可由式(2)計算得到。

T=2ρA(Umav+Ugust+Vavg0)Vavg0

(2)

式中,T為螺旋槳拉力;ρ為空氣密度;A為槳盤面積;Umav,Ugust分別為機體坐標系z方向的飛行速度以及環境干擾風速。

1.3 系統動力學

描述飛行器位置的運動學方程[27]為

(3)

通過定義

(4)

將式(3)重新寫為

(5)

描述飛行器的動力學方程為

ω×Vb

(6)

式中,m為飛行器質量;Fb為機體坐標系下作用在全機的力;ω=[p,q,r]為飛行器的三軸角速率。其中,機體坐標系下,作用在全機的力主要可由如下4部分組成：

Fb=Fb_aero+Fb_disturbance+RG+Fvcontrol(T)

(7)

式中,Fb_aero,Fb_disturbance分別為機體坐標系下滑流誘導的氣動力及環境導致的干擾氣動力;G為飛行器重力;Fvcontrol(T)為飛行器的虛擬控制量,是電機拉力T的函數,為簡潔起見,后文的公式推導使用Fvcontrol代替Fvcontrol(T)。

2 控制器設計

2.1 標稱系統確定

考慮到式(5)為運動學方程,僅僅為一個數學關系,本身不含不確定性。從而將系統所有的不確定性都考慮在動力學式(6)中。該飛行器采用電池作為動力,全機質量m并不存在變化,因此不確定性主要來自滑流誘導的氣動力以及環境產生的干擾力。

根據式(6)和式(7)可得

(8)

(9)

從而定義不含擾動的標稱系統為

(10)

2.2 期望歐拉角求解

由力在不同坐標系下的表示可得

(11)

由式(11)可得內環期望的歐拉角為

(12)

(13)

(14)

根據式(12)～式(14),將重力G的影響放在式(11)中考慮,從而將式(9)和式(10)分別重新定義為

ω×Vb+f(t,Vb(t))

(15)

(16)

2.3 基于標稱系統的非線性動態逆控制器設計

根據級聯形式的非線性動態逆[28],系統通常分為內環和外環兩部分進行設計,且要滿足如下條件：內環變量的變化速度快于外環變量。因此將方程(5)作為外環,其輸出變量為位置,將方程(16)作為內環,其輸出變量為速度,滿足上述要求。

分別定義位置和速度狀態的一階期望動力學如下：

(17)

(18)

式中,Am1,Am2為Hurwitz矩陣。

將式(17)代入式(5)中可得虛擬控制量Vv_desire：

Vv_desire=R-1Am1(P-Pdesire)

(19)

根據級聯形式非線性動態逆的假設,可得如下近似：

Vv_desire=Vb_desire

(20)

從而有

Vb_desire=R-1Am1(P-Pdesire)

(21)

由式(18)和式(16)可得

ω×Vb

(22)

將式(21)代入式(22)，從而得到標稱系統控制器：

ω×Vb

(23)

2.4 基于擾動系統的L1自適應控制器設計

在非線性動態逆控制器的基礎上,考慮外界干擾及模型不確定性下的自適應控制器設計。根據式(15)、式(18)和式(23),可定義如下受擾動系統：

ωunFadaptive(t)+f(t,Vb(t))

(24)

式中,ωun為系統虛擬輸入的不確定增益。根據f(t,Vb(t))的定義可知,風場擾動,飛行器模型不確定性等因素都作為了非線性非匹配的不確定性來進行考慮,需要控制器產生相應作動來抵消其帶來的影響。 通過定義bm=1/m,有

2.4.1 問題描述

ωunFadaptive(t)+f(t,Vb(t))

(25)

該系統需滿足如下假設：

假設1(Lipschitz連續條件)存在常數L>0,B>0,有

‖f(t,Vb1(t))-f(t,Vb2(t))‖∞≤

L‖Vb1(t)-Vb2(t)‖∞

(26)

‖f(t,Vb(t))‖∞≤L‖Vb(t)‖∞+B

(27)

對于t>0一致有界,L、B的數值可任意大。

假設2令ωun∈Ω[ωun_l,ωun_u],其中0<ωun_l<ωun_u為ωun的已知上下界。

控制器的目標是設計一個狀態反饋控制器,使Vb能夠跟蹤一個有界的分段連續參考信號Vb_desire同時跟蹤誤差有界。

L1自適應控制器由狀態觀測器、自適應律和控制器構成。

(1) 狀態觀測器

(28)

(2) 自適應律

(29)

(3) 控制律

(30)

(31)

,?ωun∈Ω

(32)

式中,C(s)具有單位增益C(0)=1。

由式(28)～式(30)定義的L1自適應控制器需滿足如下條件：

‖G(s)‖L1L<1

(33)

其中

Hxum(s)(sI3×3-Am2)-1

Hxm(s)(sI3×3-Am2)-1bm

(34)

至此,完成了L1自適應控制器的設計。控制系統的完整架構如圖2所示。

圖2 位置控制系統架構圖Fig.2 Architecture of the position control system

2.4.2 誤差動力學

由式(25)的系統動力學以及式(28)的狀態觀測器可得誤差動力學方程為

ω0-ω)Fadaptive(t)+

(35)

式中,η(t)=f(t,Vb(t))。

引理2考慮系統式(25)和由式(28)～式(30)定義的L1自適應控制器,如果‖Vbτ‖L∞≤ρ,并且‖Fadaptiveτ‖L∞≤ρu,則有

(36)

(37)

(38)

(39)

γ2‖ν‖L1γ0

(40)

(41)

ρur‖‖L1ρr+‖‖L1+

(42)

Vbin(s)=(sI3×3-Am2)-1Vb0

(43)

2.4.3 閉環系統性能邊界

考慮系統(25)以及通過式(28)～式(30)的L1自適應控制器,如果有‖Vb0‖∞≤ρ0,則有

(44)

3 控制器穩定性及性能邊界計算

飛行器的基本參數如表1和表2所示。

表1 飛行器基本參數

表2 主要氣動力參數

由飛行器的氣動參數及風場影響,進行系統不確定邊界的確定。風場的影響一般通過飛行器攻角或側滑角的改變導致全機氣動力或力矩的變化進行考慮,以升力為例

(45)

式中,Δα是由風場導致的飛行器攻角變化;ΔCL是相應升力系數的變化。利用Matlab/Simulink突風及紊流模型[29],建立如圖3所示的模擬風場環境。

圖3 風場干擾Fig.3 Wind disturbances

3.1 不確定邊界分析

利用螺旋槳滑流式(1)、式(2)計算可得,在不考慮任何干擾的懸停狀態下,飛行器機翼1/4弦線處的滑流速度為13 m/s。假設整個懸停位置控制的過程中,單個電機拉力不超過6 N,機體坐標系下飛行器z方向的速度變化不超過4 m/s,則考慮風場的影響下,滑流區內的速度不會超過20 m/s。同時由氣動參數可知,在攻角和側滑角變化不超過15°,舵偏不超過25°的情況下,CL,CD,CY的值不會超過1.5。滑流速度及氣動系數的邊界為所有假設取極限時的結果。

由氣動力的計算公式,以升力為例有

FLift=0.5CFLiftρV2S≤

0.5×1.5×1.225×20V×0.213=3.913 9V

從而有FLift/m≤4.831 9V。根據假設1,取L=5,B=3。

3.2 控制器穩定性驗證

根據式(17)、式(18)可知,Am1定義了期望的位置收斂速率,Am2定義了期望的速度收斂速率,位置環的期望收斂速率理應比速度環的慢,因此從矩陣各元素的絕對值上看,Am1的選取應小于Am2。同時,分別將Am1和Am2中反應x,y方向收斂速率的參數取為一樣,以使飛行器在這兩個方向具有相同的響應速度,而設定更大Z方向的數值以使飛行器具有更好的定高能力。D(s)反應了L1自適應控制架構中的低通濾波器,這里采用一階形式,k為低通濾波器帶寬,選取時,需要進行系統魯棒性以及響應性能的權衡。自適應增益Γ主要影響系統狀態(這里為速度Vb(t))與L1控制器中狀態觀測器之間的接近程度,從式(36)可知,由于該項在分母,選取較大的值將使觀測器能夠更好的近似真實狀態。

綜上所述,選取控制器參數為

,D(s)=1/s

可得‖G(s)‖L1=0.189 2,從而有‖G(s)‖L1L=0.946<1,滿足式(32)定義的L1范數條件。

3.3 控制器性能邊界計算

4 仿真結果及分析

根據之前研究可知電機和舵面作動的等效模型[30]。其中,電機模型可用50/(s+50)的一階傳遞函數和5 ms延遲環節表示,操縱面的模型可用30/(s+30)的一階傳遞函數和10 ms延遲環節表示。由式(7)可知,本文將螺旋槳滑流誘導的氣動力和環境變化(風場等)導致的氣動力變化都作為干擾項進行考慮。因此,仿真分為兩部分進行控制器的驗證。仿真初值設置如下：三軸歐拉角為0°,三軸角速率為0°/s,初始舵偏為0°,機體坐標系下,三軸線速度為0 m/s,慣性坐標系下Xe,Ye為0 m,Ze為-20 m,單個電機拉力為4 N。

4.1 未考慮風場的影響

在本仿真中,不考慮風場對全機的影響,主要進行兩種控制架構的對比。一種為單獨使用非線性動態逆(nonlinear dynamic inversion,NDI)控制器,另一種為聯合使用NDI+L1控制器。由式(7)可知,由于未考慮風場影響,因此全機的氣動力主要由機翼上的螺旋槳滑流誘導出。

圖4給出了3個方向的位置跟蹤結果,可以看出,在單獨使用NDI控制器時系統出現了不可接受的靜態誤差,NDI+L1的控制架構則能保證良好的跟蹤性能。原因在于,NDI控制器依賴于模型精度,根據式(16)可知,NDI控制器的設計并未考慮螺旋槳滑流誘導的氣動力影響,出現了未建模的動力學,而NDI控制器自身無法很好地抵消這種未建模動力學,導致控制器的性能出現下降。NDI + L1的架構可以通過L1自適應控制器對未建模的不確定性進行及時補償,保證系統良好的響應。在實際中,不確定性模型是很難預先精確獲取,因此需要L1自適應控制器進行補償。

圖4(a)在仿真初始階段出現了一個正向超調,原因在于,當飛行器機翼的迎角在0°附近時,全機存在一個負值俯仰力矩,這使的飛行器在仿真初始階段,會有短暫的低頭,從而產生一個X方向的正向運動,但控制器很快產生相應的作動,使飛行器保持在期望的位置。從圖4(c)可以看出,在飛行器進行X或Y方向移動的初始時刻,Z方向會存在短暫的高度變化,波動幅度小于0.3 m,該波動的大小主要受到期望歐拉角約束(仿真設置為±30°)及控制器參數Am1,Am2的影響。

圖4 位置跟蹤響應對比Fig.4 Comparisons of position tracking performance

4.2 考慮風場干擾及建模誤差影響

本仿真中,引入風場干擾及建模誤差的影響。由風場導致全機主要的氣動力變化如圖5所示。

圖5 風場干擾下的全機氣動力變化Fig.5 Aerodynamic variation under wind disturbances

由于升力系數CLα值較大,對這一項進行拉偏會對模型產生相對大的影響,從而能夠對控制器進行有效檢驗,因此在仿真初始時刻將其進行20%的拉偏。

對于時變干擾,控制器必須及時產生相應作動以保證系統良好的響應。3個方向的位置跟蹤情況如圖6所示。可以看出,由于持續的風場干擾,導致指令跟蹤存在一定的波動,但控制器依舊能使波動保持在一個較小的范圍內,保證良好的系統響應。

圖6 風場干擾下的位置跟蹤響應Fig.6 Position tracking performance under wind disturbances

圖7和圖8分別給出了機體坐標系下,飛行器的三軸線速度及該速度與L1狀態估計器估計的線速度之間的誤差。圖7的速度幅值驗證了不確定邊界假設的合理性,即機體坐標系下飛行器Z方向的速度變化不超過4 m/s。此外,圖8中速度誤差的幅值小于0.001 m/s,驗證了性能邊界的計算結果γ0。

圖7 機體坐標系下三軸線速度Fig.7 Three-axis velocity in the body frame

圖8 機體坐標系速度估計誤差Fig.8 Velocity estimation error in the body frame

圖9給出了在風場干擾的仿真環境下,飛行器懸停階段攻角和側滑角隨時間的變化情況,其中攻角和側滑角的定義方式與常規固定翼保持一致,即沿機翼方向。從圖9中可見,風場使得飛行器的攻角及側滑角分別在-12°～1°以及-7°～5°的范圍內變化。考慮到前述在進行控制器參數設計時,對一些變量不確定邊界進行的預估,圖9的仿真結果驗證了對于攻角和側滑角變化不超過15°的假設,也證明了前述不確定邊界假設的合理性。

圖9 攻角和側滑角Fig.9 Angle of attack and sideslip

圖10給出了風場干擾下,三軸歐拉角的跟隨情況。其中,內環控制器采用了類似架構的L1自適應器進行設計,內環控制器所需的三軸期望歐拉角,由本文設計的位置控制器給出。從仿真結果可以看出,在風場干擾下,內環控制器具有很好的指令跟隨能力,這也為外環控制器的指令跟隨提供了良好支持。

圖10 風場干擾下的三軸歐拉角響應Fig.10 Euler angle response under wind disturbances

4.3 風場干擾下飛行器的懸停定點能力

為了明確飛行器的懸停精度,進行了風場干擾下飛行器的定點懸停仿真實驗。其中,風場的定義與前文部分保持一致,仿真結果如圖11所示。

圖11 飛行器懸停特性測試Fig.11 Hovering characteristic tests of the vehicle

從圖11(a)～圖11(c)可以看出,在無風的情況下,飛行器可以實現精確的定點懸停,而在有風情況下則會出現一定的波動。圖11(d)將存在風場擾動情況下,X方向和Y方向的位移整合到一起進行懸停能力的說明,從圖中可看出,即使存在一定的風場干擾,飛行器絕大多數時間都不會超過半徑為0.5 m的圓,Z方向的高度變化小于±0.2 m,因此可認為該飛行器具有良好的定點懸停能力。其中,圖11(a)顯示X方向位置初始存在較大的波動,主要原因在于仿真初始階段,0°附近攻角時,機翼存在一定的升力,而此時作動器還沒有足夠的時間產生相應的控制效果所致。

5 結 論

本文以一款飛翼布局的尾坐式垂直起降飛行器位置控制問題為研究背景,考慮到微小型飛行器存在難以精確建模,易受環境干擾等特點,通過將影響因素轉換為一個存在非線性非匹配的不確定性系統,研究了懸停階段的位置控制。提出使用級聯形式的NDI控制器結合L1自適應控制器的架構進行控制器設計,以改善系統的魯棒性和指令跟蹤能力。相比于標準的NDI,級聯形式的NDI存在顯式的期望動力學表達,更易于與L1自適應控制器聯合設計,并且控制器形式更簡單。

同單獨使用NDI控制器相比,本文通過使用L1自適應控制器對不確定性進行補償,有效地避免了NDI過于依賴模型精度的問題,同時對于不確定性及擾動有良好的補償能力。仿真對單獨使用NDI和結合使用L1進行了對比,證明了L1自適應控制器快速的補償能力,同時在一定的風場干擾下,本文提出的控制架構仍能保證系統良好的指令跟蹤性能,盡管只對風場干擾及不確定氣動參數進行了討論,但由提出的控制器架構可知,其他擾動同樣可以作為非匹配的不確定性加入系統進行考慮。

此外,控制器的參數整定過程相對簡單,所需狀態可由飛行控制器直接提供,同時比例型自適應律的L1自適應控制器運算負荷低,易于進行工程實現。下一步將考慮連續系統控制器設計的離散化,以便之后進行的實際試飛測試工作。