基于Gamma過程的交流接觸器剩余電壽命仿真預測*

李奎，李正廣，段宇，鄭淑梅，劉政君，高志成

(1. 省部共建電工裝備可靠性與智能化國家重點實驗室，河北工業大學，天津 300130;2. 河北省電磁場與電器可靠性重點實驗室，河北工業大學，天津 300130)

0 引 言

交流接觸器是一種頻繁接通和分斷電路的低壓控制開關電器，在電力拖動和自動控制系統中應用最為普遍[1-2]。例如，在低壓配電系統中的智能控制功能[3]，以及對電機正反轉控制中，如沖床，都有很廣泛的應用。交流接觸器在一些重要的工業場合有大量應用，操作較為頻繁。交流接觸器每次開斷會引起機械應力和電應力的損耗，隨著損耗的持續累積，當達到失效閾值時接觸器工作異常，可能會引起設備的意外停運甚至損壞。因此研究接觸器的壽命狀態對提高用電設備的安全運行水平有重要意義[4]。

可以通過預測產品的剩余壽命，來判斷其壽命狀態。目前，在開關電器剩余壽命預測方面國內外學者已經做了很多研究，也取得了很多的成果。近些年來，人工智能算法在設備狀態評估方面取得了很大的突破[5-7]，文獻[5]以繼電器的超程時間和吸合時間為輸入量，利用BP神經網絡的方法建立繼電器剩余壽命預測模型，對歸一化處理后的試驗數據進行訓練，通過訓練好的BP神經網絡進行壽命預測，結果預測誤差相對較小。該方法的特點是無需進行條件假設和建立統計模型，直接輸入數據就可以預測出剩余壽命。另外，利用統計學的方法也可以對開關電器進行研究分析[8]。文獻[8]首先得到HH52P型繼電器的超程時間，將數據分區處理并融入超程時間回歸模型中，將動作次數N作為回歸變量，將預測變量Y作為因變量，建立兩者的回歸退化模型，得到超程時間的時序特征，實現繼電器壽命預測。此外，在非開關電器方面有學者建立了基于Wiener過程的性能退化模型[9]，如文獻[9], 以電子產品為例，利用自助法(Bootstrap)獲取先驗數據并確定退化模型參數的先驗分布，由貝葉斯方法融合退化數據確定后驗估計，最后由剩余壽命分布確定該電子產品的剩余壽命。該方法適用于非單調性能退化的過程，對單調變化的退化量可以用Gamma過程來描述。利用人工智能算法進行壽命預測的關鍵在于樣本輸入量的選擇和預測模型的建立，且其性能好壞會受樣本數據的數量和質量的影響，需要較多的試驗數據進行訓練；基于概率統計的預測方法的重點是根據隨機過程建立數據模型，與人工智能的預測方法相比較，基于概率統計還可以得到預測結果的概率密度函數以及可靠度，更容易理解其求解的過程。

產品發生失效與其性能參數逼近極限狀態有關，而產品性能參數逼近極限狀態，通常是一個演變過程，可用隨機過程建模的方式對其壽命進行預測[10]。Gamma過程模型是較為常用的隨機過程建模方法，該過程模型是建立在Gamma分布的基礎上，適用于描述連續腐蝕、磨損、疲勞等形式退化量漸變的過程。從交流接觸器的失效機理來看，交流接觸器每次開斷產生的電弧會對觸頭系統造成一定的磨損，當觸頭系統磨損量累積達到失效閾值時會發生退化失效。觸頭系統的磨損量和燃弧的能量密切相關，因此可以利用燃弧侵蝕量作為交流接觸器性能退化參數[11]，來反映觸頭系統磨損的累積。交流接觸器每次的燃弧侵蝕量是獨立同分布，可以通過中心極限定理使其累積燃弧侵蝕近似服從正態分布。在概率統計學中的多種分布模型很多是相互聯系，甚至可以相互轉化的。Gamma分布曲線較為靈活，其參數α、β數值的不同可以包括指數分布、正態分布以及其它曲線等，在醫藥、天文、航海等多種領域有十分廣泛的應用[12-13]。Gamma過程模型在性能退化的可靠性建模中已得到了非常廣泛的研究和應用。Yuan將Gamma過程應用于核電站元件的退化過程建模中[14]，為性能退化的核電站元件壽命的預測提供了更多的科學依據，并開發了一套用于校準模型參數的統計方法；Lawless和Crowder將協變量情形的Gamma過程應用到金屬裂紋生長的建模當中[15]。

在基于概率統計的預測方法中，Gamma過程更適用于單調、非負增長的退化軌跡[13]，可以較好地反映退化過程中的不確定性，且可以給出退化系統的剩余壽命以及剩余壽命分布概率密度，在工程實際中有指導意義。文中通過直方圖、皮爾遜卡方檢驗和經驗分布函數圖證明了可以利用Gamma過程模型對交流接觸器建立退化模型。最后，利用該模型對其進行剩余壽命預測，并作出了誤差分析。

1 基于Gamma過程的剩余壽命模型

1.1 Gamma分布

如果一元連續隨機過程X(t)滿足：

(1)X(0)=0；

(2)X(t)有相互獨立增量，即在任意時間區間[t1，t2]，[t3，t4]，且t1

(3)從t到t+Δt時刻，增量ΔX=X(t+Δt)-X(t)服從Gamma分布，即：ΔX～Gamma(α(t+Δt)-α(t),β)；

那么稱{X(t),t≥0}這個隨機過程服從Gamma(α(t),β)分布[16]，其中α(t)為其形狀參數，β為其尺度參數。期望與方差分別為α(t)β，α(t)β2。

Gamma分布密度函數是：

(1)

將產品的失效閾值記為L，失效時間記為T，當退化過程到達預先設定的產品失效閾值L時，即：

T=inf{t|X(t)=L;t≥0}

(2)

失效時間T的分布函數：

(3)

失效概率密度函數為：

η(α(t))}zα(t)-1e-zdz

(4)

式中η(α)=Γ′(t)/Γ(t)=?logΓ(α)/?α,α>0。

1.2 參數估計

對模型當中的未知參量進行估計，α(t)是形狀參數，描述預測變量對產品性能的影響，一般情況下取α(t)=kt，轉換成了對k、β進行估計[17]。假設試驗中有m個樣品，對每個樣品進行n次測試，Xij(i=1，2，…m，j=1，2，…n)表示第i個樣品第j次測得的累積退化數據。特征參數退化量的增量Δxij=xi(j+1)-xij服從Gamma分布，用極大似然估計的方法對其中的參數進行估計，公式如下：

(5)

由公式(5)分別對k和β求偏導并等于零可以列出似然函數方程組，從而可以求出k、β的估計值。求出參數估計值之后，再通過公式(3)可以求出失效時間分布函數，但在實際應用中該方法求解出的失效時間分布函數比較復雜，不易處理。為了避免這個難題，可以利用B-S(Birnbaum-Saunders)分布的方法來逼近壽命T的分布[18]，并將L用L-L0代替，可得到剩余失效時間分布公式：

(6)

式中 Ф(·)是標準正態分布；c=(β/(L-L0))1/2；d=(L-L0)/kβ；L0為試品運行到T0時刻時燃弧累積侵蝕量。概率密度函數為：

(7)

進而得到服從Gamma分布的試品剩余壽命：

(8)

2 實例分析

2.1 交流接觸器電性能退化模型

交流接觸器電性能退化失效機理主要是由于觸頭系統達到了系統所能承受的電弧電流的侵蝕量而失效，大量文獻表明侵蝕量與i2t成正比[19-20]，并且呈線性增加。在交流正弦電流下，不考慮其它因素對交流接觸器壽命的影響，觸頭單次動作產生侵蝕量定義為：

(9)

式中ej為觸頭第j次分斷產生的電弧侵蝕量；λ為電弧侵蝕常數，大小受到觸頭材料、結構及滅弧系統的影響；j=1,2,3…n為觸頭開斷次數；ij表示第j次的分斷電流。交流電弧電流的熄滅是在電流過零點，不考慮電弧重燃的現象，若φj為起弧相角，在相角π處滅弧，則求積分為：

(10)

2.2 交流接觸器電壽命仿真預測

根據交流接觸器動作的特點，可以對其每次的標幺值進行模擬仿真。利用Monte-Carlo方法可以對起弧相角為隨機分斷方式下的電壽命試驗過程進行模擬仿真，仿真出三組數據，分別看做三個試品各自觸頭中首次達到失效閾值那一相的電弧侵蝕數據。

隨機分斷相角下仿真方法如下：

(1)在(0,π)上產生服從均勻分布的隨機相角φj；

(2)通過公式(10)計算觸頭的電弧侵蝕量ej；

(3)計算觸頭的累積磨損量Ej，當Ej小于閾值L時，重復上述步驟；當Ej大于等于閾值L時，跳出程序，該結果即交流接觸器的電壽命；

(4)將前3個步驟重復三次，可以得到三臺試品的電壽命仿真數據，流程圖如圖1，表1為累積電弧侵蝕量仿真數據。

圖2為不同參數下Gamma分布的形狀曲線，由圖可以看出當α與β的比值較大時Gamma分布密度曲線近似于正態分布。

用Gamma分布密度曲線與交流接觸器累積電弧侵蝕量仿真數據頻率直方圖進行擬合，并通過皮爾遜卡方檢驗法和經驗分布函數圖來證明Gamma分布對交流接觸器性能退化過程建模的實用性。根據交流接觸器累積燃弧仿真數據可以做出頻率直方圖，并畫出Gamma分布密度函數曲線，如圖3所示。

圖1 仿真過程流程圖

表1 交流接觸器累積電弧侵蝕量仿真數據

圖2 Gamma分布圖

圖3 Gamma分布、正態分布頻率直方圖

在統計學中假設檢驗是統計推斷中的一類重要問題，皮爾遜χ2擬合優度檢驗可以反映實際數據與原假設分布之間擬合的優劣程度，根據分組結果計算檢驗統計量，即：

(11)

表2 皮爾遜卡方檢驗結果

經驗分布函數是根據樣本得到的分布函數，通過計算累積分布函數，收斂到概率1，計算公式為式(12)。經驗分布函數圖是階梯狀圖形，反映了樣本觀測數據分布情況，將接觸器累積電弧侵蝕的經驗分布函數圖和Gamma分布函數曲線疊放在一起，可以看出Gamma分布與仿真數據的擬合程度。

(12)

式中x(1)，x(2)，…，x(l)，為累積侵蝕量從小到大的排序：x(1)≤x(2)≤…≤x(l)，如圖4為三個試品經驗分布函數和Gamma分布函數擬合圖。

仿真數據的經驗分布曲線和Gamma分布函數曲線擬合程度很好，幾乎完全重合，進一步說明可以用Gamma過程對交流接觸器性能退化過程進行建模，并進行剩余壽命預測。預測方法如下：

利用單個試品的試驗數據建立剩余壽命預測模型，以試品1為例。試品1的壽命為30 089次，三個試品失效閾值均為H=150，對試品進行實時壽命預測，并進行誤差分析。根據極大似然函數方程組可以估算出Gamma分布參數α、β，再由公式(7)、公式(8)預測出剩余壽命如表3。表3為在相應的動作次數階段進行的壽命預測。

圖4 經驗分布函數和Gamma分布函數圖

表3 試品1預測參數及剩余壽命

當試品1運行到30 000次時，應用概率密度函數即公式(7)，預測出的剩余電壽命為92，如圖5所示。此時，試品1的實際剩余壽命為89次，預測值與實際值只相差3次。

圖5 試品1剩余壽命概率密度函數

對三個試品進行剩余壽命預測及相對誤差計算，畫出相對誤差圖，如圖6所示，其中相對誤差計算公式為：

由圖6可以看出，相對誤差曲線比較平穩，在接近其壽命終結時相對誤差會有一個明顯的上升趨勢。這是因為當動作次數越接近其壽命終結時，分母上的實際剩余壽命急劇下降，此時相對誤差會大大增加。由圖可知，相對誤差較為平穩且幾乎都在10%以下，滿足了工程的需求，接近交流接觸器的實際壽命，提高了其剩余壽命的預測精度。

圖6 剩余壽命預測相對誤差

3 結束語

交流接觸器在工業及電機控制等領域的發展中具有很重要的作用。利用交流接觸器累積燃弧侵蝕量的仿真數據建立了基于Gamma過程的剩余壽命模型，并得出以下結論：

(2)通過分析相對誤差曲線，得出相對誤差比較平穩且幾乎都在10%以下，極個別結果在20%以下，滿足工業發展的要求，提高了交流接觸器剩余壽命的預測精度；

(3)只論述了用Gamma分布對累積燃弧侵蝕量的擬合以及剩余壽命預測的過程，下一步的工作將是利用正態分布與Gamma分布分別對交流接觸器剩余壽命預測效果的比較。