數學教學中培養學生結構性思維的路徑探索

楊曉霞 易良斌

摘 要：教材的編寫讓我們看到的數學知識是零碎的顯性知識.這對學生的結構性思維發展是極其不利的.因此，教師要根據教材的知識發展和學生的認知規律，精心選擇和組織“結構化”知識，從進一步完善教學環節入手，將孤立的、分散的、繁雜的數學知識串聯起來，使其具有關聯性、層次性、有序性，引導學生實現自我建構，發展學習力.

關鍵詞：結構性思維；學習力；立體化

數學教材編排的知識體系是結構化的，學生的數學學習也是建構性的.教材編寫時，不得已將它們分割開來，編入不同章節.教師一章一節地教，學生一章一節地學，很難將知識連成整體，這在一定程度上，阻礙了學生的認知能力發展，較難形成結構化的思維品質.課堂教學作為一個生態系統，必須從整體上把握，對數學課堂教學的情境創設、素材選擇、活動組織、結構安排、媒體使用等教學要素需要精確把握和妙用，幫助學生揭示數學知識的內在聯系，實現一種整體性的意義建構.這樣的工作應該從每一節課滲透、孕伏，每一單元給予點撥和強化，整個初中學段組織梳理概括.唯有這樣，我們才能在組織教學時找準“結構”的結點，抓住知識的本質，催生學生學習力的發展和素養的提升.

一、思維鏈——每一堂課的思維立體化

結構性思維的培養就像爬階梯，每一級階梯都由點、線、面、體組成，每一堂課恰似點和線組成的面.首先厘清每塊面上有什么教學目標，然后對這些“點”進行分析、聯系起來，形成一條條的線，再由這些散開出去的線組成一個面.在每一節數學課上，要以簡明的教學結構和豐富的數學材料教給學生思考的過程和數學方法，抵達教學的本質目標，提升學生的數學眼光和數學素養[1].

例如作圖是數學課程中一個重要的學習內容，也是一種很好的實踐操作和思維訓練方式.在新課程標準中作圖也是教學內容一個重要的組成部分，其中“怎樣作一個∠ABC的角平分線”是平面幾何中最基本的作圖方法之一.在教授這個知識點時，筆者布置了對此作圖畫法的探究，提供學生自主合作探究的舞臺，營造思維馳騁的空間.在經歷知識的發現過程中，師生一起思考、交流，盡量為學生提供“做中學”的時空，呈現多種畫法，思路各具特色，畫法豐富多彩.

師：假如圖形已經作出，如果我們能確定∠ABC的平分線上的一個點P，那么我們就能作出這條角平分線了.那這個點如何確定呢？

生：因為∠ABP=∠CBP，所以我們構造一對全等的三角形，使∠ABP與∠CBP成為對應角.這只要利用圓規在角邊BA，BC上截取兩條相等的線段BD，BE，然后分別以D，E為端點，另一個端點P公共，作兩條線段，就能作出一對全等三角形.而這些都可以利用圓規和直尺完成.

在討論這個作法正確的理由是利用SSS判定三角形全等后，筆者繼續提問：再想想看，如果把圓規和直尺替換成“角尺”，我們該怎樣作出角平分線呢？

為了喚起學生的興趣，激勵學生動手實踐，大膽探索，筆者每次事先安排好學具，采用小組討論交流的形式，借助團隊力量完成.在此基礎上，選取小組代表發表看法[2].

生：和圓規使用的原理一樣，首先用角尺分別在角兩邊量取BD=BE（如圖1）.

圖1

然后把角尺放置在角的內部，找到一個點P，使得PD=PE（如圖2）.作射線BP，即為所求的角平分線（如圖3）.

圖2 圖3

在討論這個作法正確的理由仍然是利用SSS判定三角形全等后，筆者把角尺換成角平分器，而且給學生充足的活動空間，讓學生動手動腦.小組之間爭論不休，各抒己見，課堂氣氛活躍，學生的情緒高漲.

生：將角平分器四邊形OMPQ（滿足條件OM=OQ，MP=QP）的頂點O與∠ABC的頂點B重合，OM，OQ分別重合在邊BM，BQ上；過點P作射線BP.則射線BP 就是∠ABC的平分線（如圖4）.

[O][B][M][P][O][B][M][B][M][C][P][Q][P][O]

圖4

“樂思方有思泉涌”，在接下來的課堂教學中，時時關注學生的思維發展過程，注意營造積極的思維狀態，創設民主、寬松、和諧的課堂氣氛，讓學生暢所欲言.學生的創造火花不斷閃現，學生的情緒達到高潮.

生：我使用的是刻度尺和三角板，首先在角兩邊分別截取BD=BE（如圖5）；

圖5

然后分別過點D，E作BD和BE的垂線，相交于點P（如圖6）；

圖6

最后作射線BP，即為所求的角平分線（如圖7）.

圖7

這種探索性、結構化的數學教學方式在其后亦得到進一步的貫徹，方法層出不窮.比如另兩種尺規畫法（如圖8），另兩種三角板畫法（如圖9），一種刻度尺畫法（如圖10）.在學生發表個性化的畫法后，教師借助“幾何畫板”，采取讓學生動手畫一畫、量一量的方式，使學生通過對直觀圖形的觀察歸納和猜想，自己去發現結論，并引導學生證明猜想，對作圖方法做進一步的完善.

圖8

圖9 圖10

但要說明的是，多角度、多側面地進行分析思考不等于胡亂地堆砌、盲目地安排，應根據學生思維特點層層遞進，逐層深入，所有素材要承載豐富的情智和深刻的思維.該案例經歷“觀察圖形，搜集信息——根據獲取的信息提出問題——合作學習，解決問題”的思維過程，在這個過程中留給學生一條長長的思想隧道，訓練了學生的結構性思維.如此，學生的思維才會清晰，對所學的知識才能系統地整理與歸納.

二、思維塊——每一單元的思維立體化

前面談到每堂課是一塊面，那么每一單元就是一塊塊的面交疊在一起形成的階梯.對教師而言，在研讀和使用教材的過程時，應把握精髓、優化組合、整體架構，將自身對教材的理解不同程度地融入教學實踐活動中，或補充，或刪減，或合并，或調整，讓知識顯得更加凝練，締造深刻.

比如計算能力該怎樣進行設計，可以使得學生的水平能夠有一個明顯的提升呢？我們可以分析一下，有哪些載體支持計算能力.然后在這些載體中，應該如何幫助學生提升他的計算能力，而不是簡單的仿學和識記.與我們傳統單元的教學設計相比，視野和思路都需要開拓一些.一個單元設計中，肯定有一個或兩個核心的主題詞.例如因式分解教學中，其實二次三項式在有理數范圍內因式分解的方法主要包含兩類，一是提取公因式，二是十字相乘法.其中十字相乘法因式分解包含公式法因式分解，公式法因式分解只是十字相乘法因式分解的兩種特殊情況.如果把這層關系介紹給學生，那就能把零散在一章里的課時內容整合起來，使其結構化，學習的整體感更強.

（一）用十字相乘法解釋完全平方公式法

用十字交叉線表示

a +b

a +b

ab + ab = 2ab

即a2 + 2ab +b2 =（a + b） （a + b）

=（a + b）2

a -b

a -b

ab + ab = -2ab

即a2 - 2ab +b2 =（a - b） （a - b）

=（a - b）2

（二）用十字相乘法解釋平方差公式法

用十字交叉線表示

a +b

a -b

-ab+ab = 0

即a2 -b2= a2+ 0ab- b2

=（a + b）（a - b）

這樣就把貌似獨立的三個因式分解方法都打通了.這樣就可以對分散在每一節里的單元知識進行整理和概括，自然跨步，恰到好處.這在一定程度上實現認識的提升，上下連貫，首尾呼應，將幾個課時的結構連接成一體.

三、思維場——整個學段的思維立體化

數學有著自己的結構群.對不同結構群內在聯系的學習和內化，有助于學生對有差異而又能相通的結構群進行融合，用綜合的眼光去發現問題、認識問題和解決問題.我們在教學時應多一些“系統”的眼光，對教材編排的數學知識多一些整體考慮，帶給學生更多的宏觀視野、結構思維、建構啟示，把在不同時期學到的知識串珠成鏈，裝在頭腦中，形成穩定的數學知識認知“鏈”.

例如，浙教版《數學》九上§2.4二次函數的應用（3）的例5：“求一元二次方程x2+x-1=0的解.”這是利用二次函數的圖象求一元二次方程的近似解的問題.在該知識的教學上，筆者掙脫固有模式，充分激發學生學習數學的興趣，通過引導學生討論展開課堂教學，設計了三個層面的設問.

（一）二次函數和方程的關系

筆者讓學生觀察函數y=x2+x-1，問當x取何值時，y=0？這里x的取值與方程x2+x-1=0有什么關系？這樣設問，學生馬上就想到利用二次函數的圖象來求一元二次方程的解了.

甲：單獨畫出一個函數y=x2+x-1的圖象，觀察它與x軸的交點，把交點的橫坐標作為方程的解.

乙：把方程x2+x-1=0進行移項，得到方程x2+x=1.則可以分別畫出函數y=x2+ x和直線y= 1的圖象，觀察它們的交點，把交點的橫坐標作為方程的解.

丁：那我也可以把方程x2+x-1=0進行移項，得到方程x2= -x+1.分別畫出函數y=x2和y= -x+1的圖象，后面做法也是一樣的.

戊：我還可以把方程x2+x-1=0進行移項，得到方程x2-1= -x.分別畫出函數y= x2-1和y= -x的圖象……

（二）二次函數和方程組的關系

基于以上對二次函數應用的理解和分析，緊接著筆者出示如下的例題：

“利用函數的圖象，求方程組[y=x2，y=-x+1]的解.”

所以問題一出示，學生都叫了：這不是和上面那個題目一樣嗎！可以通過直接畫出函數y=x2和y= -x+1的圖象，得到它們的交點，從而得到方程組的解.鑒于二次函數的用途及我們班學生分析能力較強，筆者又進一步趁熱打鐵，引出二次函數和一元二次不等式的關系.

（三）二次函數和一元二次不等式的關系

“求不等式x2+x-1>0的解集.”

這個不等式對初中生來說是陌生的，所以問題一出示，學生都愣住了，不知道從何下手.筆者啟發道：函數y=x2+x-1中，x取什么值時，函數值y大于0？x取什么值時，函數值y小于0？這樣設問，把利用二次函數的圖象來求一元二次不等式的解集呼之欲出.

甲：單獨畫出一個函數y=x2+x-1的圖象，觀察它與x軸的交點，找拋物線在x 軸上方時x的范圍.觀察得出x1≈0.6，x2≈-1.6，解集是x<0.6或x>-1.6.

乙：把x2+x-1>0變形成x2+x>1，分別畫出函數y=x2+ x和y= 1的圖象，觀察它們的交點，找拋物線在直線上方時x的范圍.

丁：把x2+x-1>0變形成x2 > - x+1，分別畫出函數y=x2和y= -x+1的圖象，后面做法都一樣.

戊：把x2+x-1>0變形成x2 -1> - x，分別畫出函數y= x2-1和y= -x的圖象……

這種對“內在聯系”的把握和對“知識結構”的梳理，有利于學生的學習遷移，是學習力發展的重要基礎.

所以，數學的教學不能不加組織地向學生傳授孤立的知識，而是要強調數學知識的整體性和結構性；數學的課堂不能只是停留在教材和教學的表面，而是師生“生命在場”的課堂，彰顯教學與人的精神力量的課堂.這就要求教師關注學生的思維，從學生學習的角度多琢磨教材的編排意圖，進行合理的補充、加工和改造.讓學生在教師的引導下，將知識的一般性和特殊性、初級形態和高級形態有機整合，能動地建構數學認知結構.這樣，學生的學習力發展就會無限可能.

參考文獻：

[1]許衛兵.簡約數學教學[M].南京：江蘇教育出版社，2011：57-63.

[2]安德烈·雷德芬.卓越教師的200條教學策略[M].丁涵，譯.北京：中國青年出版社，2016：152-156.