立足學生思考的數學教學

嚴必友

摘 要：以數學思維活動引領數學教學，教學生學會思考應當成為數學教學的本源性活動.教學生學會思考的數學活動形式主要有三類：一是引導學生深入理解數學知識、追根溯源、反思質疑；二是捕捉機會滲透并應用數學思想方法；三是學會數學研究的一般方法，即經歷提出問題、猜想假設、探索驗證、構建概念、解決問題等各環節的完整研究過程.

關鍵詞：數學教學；數學活動；數學思維

數學教育家A. A.斯托利亞爾有個重要的觀點：數學教學是數學思維活動的教學[1].的確，以數學思維活動引領數學教學，教學生學會思考應當成為數學教學的本源性活動. 數學教學既要使學生掌握現代生活和學習中所需要的數學知識與技能，更要發揮數學在培養人的思維能力方面的獨特作用，培養學生推理、判斷、決策的能力. 實際上，“授之魚不如授之漁”，教給學生學會數學思考的方法，他所學到的將是未來可持續發展所需要的思維品質.

那么，數學教學要從哪些方面教學生學會思考呢？筆者認為，盡管“教學生學會思考”的形式和機會不一而足，但以下三類數學活動形式應是最主要的載體：一是引導學生深入理解數學知識、追根溯源、反思質疑；二是捕捉機會滲透并應用數學思想方法；三是學會數學研究的一般方法，即經歷提出問題、猜想假設、探索驗證、構建概念、解決問題等各環節的完整研究過程. 本文就此做些探索和思考.

一、以數學知識學習為載體的學會思考

數學課堂教學的大部分活動聚焦于數學知識的理解與掌握. 數學概念、命題、公式、法則等知識的學習是數學活動的主體，幾乎是每節數學課必然要面對的. 如何在這些常態的數學課堂里教學生學會思考也就成為數學教學的重要任務.

思考是在具體的數學活動中進行的，在知識學習中“教學生學會思考”就要提供給學生自己投入數學知識的理解、建構、掌握活動的機會. 這些數學活動包括對情境材料的數學化、對數學對象的表述、對數學問題及結果的反思質疑等. 數學思考是以這些活動為載體的，活動越深入，思考也就越有質量.

例如，以下“加權平均數”的教學片段由無錫江南中學張珉老師執教，在并不復雜的數學知識學習中引導學生通過對情境材料數學化、對數學對象表述、對數學問題及結果反思質疑等數學活動進行數學思考.

教師首先拋出一個引導性問題啟發學生思考.

師：（呈現問題一）學校舉行一次知識競賽，我班選派了15個同學參加競賽，共有3種得分，分別是80分、85分、90分，你能求出這15個同學的平均成績嗎？

【評述】問題一是為了引導學生發現在一定的情境下必然會出現加權平均數，而不是人為生造的. 該情境材料是學生身邊的生活情境，雖是以基礎知識為載體的簡單問題，但因問題開放，數學化過程中容易產生錯誤的結果，對學生的思考啟迪作用是顯而易見的.

生1：把80，85，90相加再除以3，就是這15個同學的平均得分.

師：這位同學的觀點是把3個得分加起來除以3，即[80+85+903]（板書）. 還有沒有不同的解法呢？

生2：我認為，需要知道這3個成績在人數里所占的比例，才能做.

師：哦！這位同學說，需要知道這3個成績所對應的人數. 好！現在有兩種觀點：有同學說把3個成績相加除以3，有同學說這個平均分要看這3個成績在人數里所占的比例.

我有些糊涂了，我們來分組討論一下. 請這個小組派一位代表來說一說.

生3：我們組贊同第二位同學的方法，先找出每個分數對應的人數，把分數與對應的人數乘起來，相加，再除以總人數，我們覺得這樣比較公平.

師：好的. 我們再請一個小組. 你們這個小組派一個代表，你們討論的結果怎么樣？

生4：我們也同意第二個同學的觀點.

師：你們還是認為，這3個成績要知道它對應的人數.

【評述】利用校園活動創設情境問題，貼近學生生活，情境自然. 教師語言比較生動、幽默. 用解題方式復習舊知，比單純記憶背概念公式更有效，把知識與運用情境結合，使知識情境化、條件化. 通過引導學生合理地表述數學對象，討論、對比不同的結果，使學生思考、感悟加權平均數的產生原因.

師：（呈現問題二）你來給每個成績分配一個人數，這時候怎么來求平均成績？

生5：假如是15個人的話，我就分配3個成績正好都是5個人.

師：現在這位同學提出來，把這三項成績都分配5個人，那么現在你能來求平均分了嗎？哪個同學來說一說？

生6：80×5+85×5+90×5，它們的和除以15.

師：15就是剛才的3個5相加，（板書） [80×5+85×5+90×55+5+5]（教師特別把15改成5+5+5）.

再請一個同學，還有沒有什么其他的分配方法？好，你來說一說，你有什么分配方法？

生7：因為3個成績都是5個人，所以只要把3個成績加起來乘以5，然后再除以15就行了.

師：哦，你跟他是一樣的. 還有沒有其他方法？

生8：分配成9，4，2.

師：就是分配成9個人，4個人，2個人. 現在這位同學把這15個同學分配成： 9，4，2 （板書）. 請坐，這時候根據她的分配方法又怎么來求出平均數呢？你來說說看.

生9：把80×9+85×4+90×2，再除以9+4+2.

（板書）[80×9+85×4+90×29+4+2] .

這是什么意思？9就是成績80在這組數據中出現的次數. 4就是85這個成績在整個這組數據中出現的次數. 同樣，2就是90這個成績在這組數據中出現的次數. 根據成績數據出現的次數不同，我們就給它一個數據——“權”. 我們就把“9，4，2”叫作“80，85，90”這三個成績的“權”，用這種方法求出的平均數叫作“加權平均數”.

【評述】巧妙地設置探究活動，讓學生“來給每個成績分配人數”，以此領悟“權”的本質，這樣的數學活動不是局限于一個公式的識記與理解，而是讓學生在學習過程中自己思考其中的道理，對公式的理解自然也就趨于深刻.

毋庸置疑，對于概念或公式等知識性的新授課教學，如果提供給學生合適的素材和問題，設置有效的思考路徑，能夠產生良好的探索思考活動. 在這樣的思考過程中，學生學會的不僅僅是對知識的識記與掌握，更重要的是對問題的分析、解決方法，隨著探索的深入自然也就深化了對知識的理解.

二、以數學思想方法學習為載體的學會思考

“教學生學會思考”的教學離不開數學思想方法的滲透，數學思想方法實質上是前人在數學研究中積累的成熟的思維方式，是數學思考的結晶.

中小學階段涉及的數學思想方法已經很豐富.例如，常見的數學思想有對應思想、比較思想、符號化思想、歸納思想、類比思想、轉化思想、分類思想、數形結合思想、統計思想、函數與方程思想，等等；常用的數學方法有換元法、配方法、消元法、反設法、分析法、綜合法、待定系數法、構造法、模型方法、整體代換法，等等. 教學過程中注重挖掘、整理和滲透，無疑是激發學生數學思考的絕好機會和載體.

日本數學家米山國藏對數學思想方法的教學意蘊有過中肯的評述：“學生在初中、高中時接受的數學知識，因畢業進入社會后幾乎沒有什么機會應用這種作為知識的數學，所以通常在出校門后不到一兩年就忘掉了. 然而，不管他們從事什么業務工作，唯有深深地銘刻于頭腦中的數學的精神、數學的思維方法、研究方法、推理方法和著眼點等，卻隨時隨地地發揮作用，使他們受益終身.”[2] 可見，相較于數學知識的教學，數學思想方法的教學對于培養學生的數學思考力作用顯明.

例如，已知函數

[f（x）=sinx， x<1 ，x3-9x2+25x+a， x≥1.] 若函數f（x）的圖象與直線y=x有三個不同的公共點，求實數a的取值集合.

引導學生學會以數學思想方法為載體思考數學問題，往往能使問題迎刃而解.

本題首先應結合函數圖象使用數形結合與分類討論思想思考問題：當x<1時，f（x）=sinx與y=x有一個交點；當x≥1時，f（x）=x3-9x2+25x+a與y=x應有兩個交點.接著使用特殊化思想，考慮x=1的情況，也有一個交點；這樣，當x>1時，f（x）=x3-9x2+25x+a與y=x只能有一個交點.再借助數學結合思想方法判斷y=x應是曲線f（x）=x3-9x2+25x+a的一條切線，這就把問題化歸為導數的幾何意義，至此問題迎刃而解.

【評述】這類問題的解題教學，要避免局限于問題解決的結果呈現，而要致力于引導學生學會利用數學思想方法自主探索解題過程，讓學生感悟到分類討論、一般與特殊、數形結合以及化歸等數學思想方法的魅力與價值，并注重引導學生歸納數學思想方法使用的特點和規律.思想方法的使用與歸納本身就是一種高層次思維活動，對培養學生的數學探索活動能力，提升數學思考的層次與水平具有直接的意義，教學中應善于捕捉各種機會，適時地滲透數學思想方法，使得以數學思想方法為載體的學會思考的教學常態化.

三、以研究問題的一般方法學習為載體的學會思考

“教學生學會思考”還應當上升到一個更高的層面——教給學生研究問題的一般方法. 這里所謂研究問題的“一般方法”，就是指研究數學問題的基本方法，是一種本原的方法，是人們探索數學領域乃至整個世界的最根本方法，具體涉及以下幾個環節：創設情境提出或形成問題、構建概念或關系、探尋或設計方法、提出解決問題的猜想與假設、驗證猜想、建立解決問題的理論與方法.

這種方法論層面的數學教學每一步都激勵著學生的數學思考. 數學教學中，應當根據學習材料的特點，設計恰當的方案，有意識地引導學生學習提出問題，建構概念，尋找方法，最終學會研究問題的一般方法.

例如，“對數”概念的教學，就可以根據相關的素材，設計成由學生自己提出問題、探尋方法、建構概念、解決問題的過程，從而使學生感受、學會研究問題的一般方法.

以下“對數”的教學片段是由南京師范大學附屬中學張萍老師執教.

師：同學們，在前面學習指數函數時，我們曾見過這樣的問題情境.

問題情境：某種放射性物質不斷變化為其他物質，每經過1年，這種物質剩留量是原來的84%. 設該物質的最初質量為1.

問題1 你能就此情境提出一個數學問題嗎？

師：請將你的問題寫在草稿本上.

【評述】提供材料引導學生自己提出問題，頗有新意和啟發性，很好地激發了學生主動思考的積極性. 而且，由于問題的設置具有彈性和開放性，給學生留出思考的余地，學生提出多種問題，思考量是可想而知的.

生1：經過5年，這種物質的剩留量為原來的多少？

師：是多少呢？（寫下來）0.845=N.

師：還有不同的問題嗎？

生2：經過多少年，這種物質的剩留量為原來的一半？

師：這個問題怎么解決呢？（寫下來） 0.84x=[12].

【評述】出現本節課的目標性問題，就可以順此繼續讓學生進一步探索下去了.

師：同學們提出了很好的問題，這兩個問題實際上都與我們學過的指數函數y=0.84x有關.

第一個問題是已知指數x求冪y；第二個問題是已知冪y求指數x.如果底數是未知的，那么，我們還可以解決已知指數x和冪y求底數a的問題.

這些問題本質上就是在研究ab=N（其中a>0且a≠1）中已知兩個量求第三個量.

師：之前我們已經研究了已知a，b求N，比如：

32=9，53=125…

我們還研究了已知b，N求a，比如：

a5=32?a=2，a3=5?a=[53]…

現在我們還可以研究什么問題呢？

【評述】還可以研究什么問題？仍讓學生自己去探尋.

生：已知a，N，求b.

比如：

2b=2?b=1，

2b=4?b=2，

2b=3?b=？

問題2 2b=3，這樣的指數b有沒有呢？

【評述】拋出頗具思考誘惑性的問題，啟發學生想辦法去判斷究竟是否存在這樣的b.無論是估計還是利用數形結合方法都能使學生領悟到研究數學問題的一般方法.

生3：2b=2?b=1，2b=4?b=2，2b=3，b在1到2之間.

師：為什么？

師：2b從2增加到4，指數b就相應地從1增加到2？

從數的角度進行解釋.還能從其他角度來解釋嗎？

生4：2b=3這個問題和指數函數y=2x有關，我們可以作出它的圖象來觀察.

師：圖1是 2x=3與y=3的圖象，發現它們有交點，而且只有一個，那么指數b在哪里呢？

圖1

生5：交點的橫坐標就是我們要求的指數b.

師：從形的角度來解釋很好，剛才那位同學實際上利用了指數函數的單調性，從數的角度作解釋的.

師：現在如何表示這里的指數b呢？指數b由2和3確定，數學家用log23來表示，讀作以2為底3的對數，其中2為底數，寫在下方，3叫真數.

這樣，我們就由等式2b=3（指數式）得到等式b=log23（對數式），對數式中的對數b就是指數式中的指數.

……

師：根據這些具體的例子，你知道一般情況下，對數是怎么表示的嗎？

生：ab=N?logaN.

……

至此，完成對數概念的初步建構學習過程.

【評述】綜觀整個教學過程設計，立足于讓學生經歷提出問題、建構概念、探尋或設計方法、提出解決問題的猜想與假設、驗證猜想、建立解決問題的理論與方法，收到很好的教學效果. 學生在主動探究的過程中，認識到學習對數的必要性，理解了對數概念建構的意義和價值，發現遇到對數的問題可以轉化為指數問題來解決，學生完全領悟到研究數學問題的一般方法. 這一過程中思考的深度是可圈可點的.

以上所談的三類數學活動是教學生學會思考的主流形式，課堂教學中只要注重尋求各種機會激發學生思考，是能夠收到良好的效果的. 但筆者認為，教學生學會思考更應成為一種教學觀念. 只有數學教師頭腦中形成一種根深蒂固的“教學生學會思考”的觀念時，才能在日常的數學教學活動中產生一種真正意義上的教學生學會思考的效能.

參考文獻：

[1]A. A.斯托利亞爾.數學教育學[M].丁爾陞，等譯.北京：人民教育出版社，1984：序言.

[2]米山國藏.數學的精神思想和方法[M]. 毛正中，吳素華，譯.成都：四川教育出版社，1986： 序.