為數學點贊
——名師例數學文化（7）三角學的發展簡史及三個歷史名題的證明

■北京市教育學院豐臺分院 張 琦

■北京市第十二中學高中部 高慧明

本刊特邀欄目專家簡介:

高慧明 首屆全國十佳班主任,全國著名數學特級教師,國家教育部課程改革“全國先進工作者”,全國著名高考數學命題與考試研究專家,國家教育部“國培計劃”全國中小學教師培訓、班主任培訓、校長培訓特邀主講專家,受邀在全國各地做有關高考科學備考、班級管理等多場專題報告?，F任教于北京市第十二中學高中部。

三角學的英文名稱是Trigonometry,來自拉丁文Trigonometria,實際上是trigono(三角)和metrein(測量)的組合。其原意為三角形測量,是以研究平面三角形和球面三角形的邊與角的關系為基礎的一門數學學科。早期的三角學是天文學的一部分,后來研究范圍逐漸擴大,變成以三角函數為主要對象的學科?，F在,三角學的研究范圍已不僅限于三角形,且為數理分析之基礎,研究實用科學所必需之工具。

一、三角學的萌芽與初步發展

約成書于公元前1650年的《萊因德紙草書》可以看作是早期三角學的萌芽?！度R因德紙草書》中的第56～60題是金字塔問題,題目的內容都圍繞金字塔展開。從中可看到三角學的初步知識。

例如第56題:一個金字塔(正四棱錐),高是250cubit,底面邊長是360cubit,求seked值。(注:古埃及人將一傾斜直線每垂直升高一個單位時,相對下垂線的水平偏離稱之為“seked”,亦即底邊的一半與高之比,相當于底角的余切值。)

古希臘的數學家泰勒斯(Thales,前624—前547)提出并證明了以下幾何命題:“等腰三角形兩底角相等;相似三角形的各對應邊成比例;若兩三角形兩角和一邊對應相等,則兩三角形全等”。這些定理是現代每一個中學生都知道的,它們簡單得不能再簡單了。但是,就是這些簡單的理論,構成了今天極其復雜而又高深的理論的根基。

大多數數學史學家通常認為三角學興起的標志性人物是古希臘天文學家、數學家希帕霍斯(Hipparchus,約前180—前125?)。早在公元前300年,古埃及人就已有了一定的三角學知識,為了在尼羅河畔謀生存,聰明的古埃及人很早就學會了計算。他們可以準確推算出尼羅河泛濫的日期;河水退落后,他們重新丈量土地、劃分地界,并能計算出土地面積;在建造金字塔、神廟、房屋等建筑和分配實物領域,同樣也離不開數學;在計算時間、測量距離、付給勞役者報酬、修鑿運河、興建大規模的水利工程等方面也是如此。公元前2世紀后古希臘天文學家希帕霍斯為了天文觀測的需要,作了一個和現在三角函數表相仿的“弦表”,不過希帕霍斯的原著已經遺失,因此關于有明確記載的三角學的文獻就是古代最有影響的天文學著作——托勒密的《天文學大成》,在該著作中,有一張表被視為最早的正弦表(據信是根據希帕霍斯弦表改編的)。

圖1

托勒密在構造弦表時的基本原理如下所示:把圓周分為360等份(他沒有用“度”這個概念),把半徑長度分為60等份(即直徑為120等份),用弧去度量角,用直徑的若干等份度量任一圓心角所對長弦的長度,并以符號crd α表示圓心角α所對的弦長。如圖1所示,半徑OA為60單位,crd α=弦AB之長,crd 2α=弦AC之長。一些特殊角的弦長是不難求的,例如60°,90°,72°,36°的弦長就是圓內接正六邊形,圓內接正方形,圓內接正五邊形,圓內接正十邊形的邊長。由于60°的弧所對應的弦長是正六邊形的邊長,而正六邊形的邊長等于其外接圓的半徑。因此60°的弧所對應的弦長為60個單位,也就意味著30°對應的弦長為30個單位,用現在語言描述也就是sin30°=。

圖2

公元5—6世紀,印度的阿耶波多(476—550)采用半弦長來定義正弦,如圖2,把半弦AB與全弦所對弧的一半相對應,正弦即半弧所對的半弦AB。當時人們為了應用的方便,已制作出一些不同于早期的弦表。后來,阿拉伯人也采用了印度人的半弦法制作弦表,只不過是加大了圓的半徑,制作出精確度更高的弦表。

二、三角學的成熟與發展

三角學從天文學中獨立出來的標志是德國數學家雷格蒙塔努斯(1436—1476)于1464年出版《論各種三角形》,這部著作采用印度人的正弦,即圓弧的半弦,明確使用了正弦函數的概念,對三角學做出了完整、獨立的闡述。后來,哥白尼的學生雷提庫斯(1514—1576)將傳統的圓中的弧與弦的關系改進為角的三角函數關系,把三角函數定義為直角三角形的邊長之比,從而使平面三角學從球面三角學中獨立出來,并定義了六個函數(正弦、余弦、正切、余切、正割、余割)。

雷提庫斯具有里程碑式的工作,重點在于考慮∠AOB的正弦是AB,而不是的正弦AB(半弧所對的半弦),如圖3。這樣,弧的弦變為角的弦,Rt△AOB成為基本結構,而圓成為無關緊要的了。雷提庫斯所作正弦概念的小小轉變,卻使三角函數前進了一大步,雷提庫斯把正弦定義為角的三角函數奠定了基礎,對后來的三角函數研究產生了極其深刻的影響。

圖3

16世紀法國數學家韋達(1540—1603)則更進一步將三角學系統化,他已經對解直角三角形、斜三角形等作出了闡述,并且還有正切定理以及和差化積公式等。至此,三角學從天文學中分離出來,成為數學的一個獨立分支。不過,值得注意的是,這時所討論的“三角函數”僅限于銳角三角函數,而且研究銳角三角函數的目的在于解三角形和三角計算。

三、三角學的歷史命題

1.勾股定理的歷史

勾股定理是“人類最偉大的十個科學發現之一”,是初等幾何中的一個基本定理。這個定理有十分悠久的歷史,幾乎所有文明古國(希臘、中國、埃及、巴比倫、印度等)對此定理都有所研究。勾股定理在西方被稱為畢達哥拉斯定理,相傳是古希臘數學家兼哲學家畢達哥拉斯(前572?—前497?)于公元前550年首先發現的。

中國古代對這一數學定理的發現和應用,遠比畢達哥拉斯早得多。中國最早的一部數學著作——《周髀算經》的開頭,就有一段關于勾三股四弦五的文字,正是勾股定理的一個應用特例。所以現在數學界把它稱為“勾股定理”是非常恰當的。

在稍后一點的《九章算術》一書中(約在公元50年至100年間),勾股定理得到了更加規范的一般性表達。書中的《勾股章》說:“把勾和股分別自乘,然后把它們的積加起來,再進行開方,便可以得到弦?！敝袊糯鷶祵W家們對于勾股定理的發現和證明,在世界數學史上具有獨特的貢獻和地位。尤其是其中體現出來的“形數統一”的思想方法,更具有科學創新的重大意義。

據不完全統計,勾股定理的證明方法已經有400多種了。下面我們向大家介紹幾種非常著名的證明方法。

證法1(趙爽證明)：

圖4

以a、b 為 直 角 邊(b＞a),以c為斜邊作四個全等的直角三角形,則每個直角三角形的面積等于ab。把這四個直角三角形拼成如圖4所示的形狀。

因為Rt△DAH≌Rt△ABE,所以∠HDA=∠EAB。

因 為 ∠HAD+ ∠HDA=90°,所 以∠EAB+∠HAD=90°。

所以四邊形ABCD是一個邊長為c的正方形,它的面積等于c2。

因為EF=FG=GH=HE=b-a,∠HEF=90°,所以四邊形EFGH是一個邊長為b-a的正方形,它的面積等于(b-a)2。

所以a2+b2=c2。

證法2(課本上的證明)：

作8個全等的直角三角形,設它們的兩條直角邊長分別為a、b,斜邊長為c,再作三個邊長分別為a、b、c的正方形,把它們像圖5那樣拼成兩個正方形。

圖5

從圖上可以看到,這兩個正方形的邊長都是a+b,所以面積相等。

證法3(1876年美國總統Garfield的證明)：

以a、b為直角邊,以c為斜邊作兩個全等的直角三角形,則每個直角三角形的面積等于ab。把這兩個直角三角形拼成如圖6所示形狀,使A、E、B三點在一條直線上。

圖6

因為 Rt△EAD ≌Rt△CBE,所以∠ADE=∠BEC。

因 為 ∠AED+∠ADE=90°,所以∠AED+∠BEC=90°。

所以∠DEC=180°―90°=90°。

又因為∠DAE=90°,∠EBC=90°,所以AD∥BC。

證法4(歐幾里得證明)：

作三個邊長分別為a、b、c的正方形,把它們拼成如圖7所示形狀,使H、C、B三點在一條直線上,連接BF、CD。過C作CL⊥DE,交AB于點M,交DE于點L。

因為AF=AC,AB=AD,∠FAB=∠CAD,所以△FAB≌△CAD。

圖7

同理可證,矩形MLEB的面積=b2。

因為正方形ADEB的面積=矩形ADLM的面積+矩形MLEB的面積,所以c2=a2+b2,即a2+b2=c2。

2.托勒密定理

古希臘時期的數學家托勒密于公元150年給出并證明了一條關于圓內接四邊形的引理,現稱為托勒密定理,其內容是:圓內接四邊形兩組對邊之積的和等于兩條對角線之積,即AB·CD+BC·DA=AC·BD(如圖8)。從這個定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式,托勒密定理實質上是關于共圓性的基本性質。

圖8

兩端乘以外接圓直徑的平方d2,并結合正弦定理得:

AB·CD+BC·DA=AC·BD,定理證畢。

3.海倫公式

海倫公式亦稱“海倫—秦九韶公式”。此公式(利用三角形的三條邊長來求三角形面積)相傳是亞歷山大港的海倫(10—70)發現的,并可在寫于公元60年的《Metrica》中找到證明。也有人認為早于阿基米德時代人類已經懂得這個公式,而由于《Metrica》是一部古代數學知識的結集,該公式的發現時期很有可能先于海倫的著作。