電磁場理論對線性電路疊加原理的解釋

摘要：從穩恒電磁場中電場強度、磁場強度的疊加性出發，重點研究以穩恒條件下線性電路中電流、電壓的疊加性。結果表明，線性電路中電流、電壓的疊加性可以從電場強度、磁場強度具有的矢量疊加性及歐姆定律成立時電流密度與電場強度的線性關系得到完善解釋。

關鍵詞：電場；磁場；電流；電壓；疊加

在電路理論中，特征物理量主要是電流 和電壓 ；在電磁場理論中，最重要的概念是“場”，特征物理量主要是電場強度 和磁場強度 。電路的重要作用之一是將電源的能量傳輸給負載。能量由空間傳遞，似乎導線的作用不大，但正是因為導線上有電荷和電流分布，才使空間存在電場和磁場，通過場把能量傳遞給負載，而且導線還起著引導能量走向的作用 。這表明，電路中電壓、電流的疊加性與電場強度 、磁場強度 密切相關。電磁場的能量以電磁能流密度 為基本單位、以電磁波的形式向空間、負載傳輸。可以想到，電場強度 、磁場強度 應該與電流 和電壓 有密切聯系。通過歐姆定律的微分形式 ，更能明確看出電流和電場強度的內在聯系；通過安培環路定律—— 亦可以看到磁場強度 和電流 存在著緊密聯系。本文以從電磁場的角度對線性電路疊加原理作出理論上的一些解釋來說明并引起人們對“路”和“場”的重視，以及認識到電磁場理論對電路理論的指導意義，認識到不同學科知識的有機融合有助于建立新的知識聯系橋梁。

1線性電路疊加原理內容闡述

線性電路疊加原理 可表述為：“線性電阻電路中，任一電壓或電流都是電路中各個獨立電源單獨作用時，在該處產生的電壓或電流的疊加。”當電路中含有g個電壓源和h個電流源時，任意一處的電壓 或電流 都可以寫為以下形式：

（1.1）

式中 ， 分別表示第m個獨立的電壓源和獨立的電流源。

根據基爾霍夫電流定律及電壓定律可以將式（1.1）改寫為： （1.2）

式中 分別為電路中電流源或電壓源單獨作用時產生的電流、電壓。式（1.2）明確地反映出線性電路的疊加性。對于穩恒電路，式（1.2）可改寫為： （1.3）

2電磁場理論對線性電路疊加原理的解釋

2.1靜電場中電場強度 、電勢 的疊加性

2.1.1點電荷產生的電場中場強 、電勢 的描述

在靜止點電荷 激發的電場中的某一點 放置一個靜止的檢驗點電荷 ，由庫侖定律知： 所受到的電場力為：

（2.1.1）

式中 是場點 與點電荷 的距離， 是從場源點電荷 到場點點電荷 的單位矢量。

在靜止點電荷 激發的電場中，點 放置一個靜止的檢驗點電荷 ， 點的場強為：

（2.1.2）

根據電勢的定義 ，可得到 點的電勢為： （2.1.3）

設參考點 的電勢為零。由式（2.1.3）可得到靜電場中任意兩點 間的電勢差（也稱為電壓）： （2.1.4）

式（2.1.4）清楚表明電壓和場強 的積分關系，電場強度 和電壓 都從不同角度描述了電場的性質，也將電磁場理論中的特征量 與電路理論中的特征量 緊密聯系起來。

2.1.2任意點電荷系中的場強 、電勢 的疊加性

當電場是由 個點電荷激發時，電場中的場點 處的點電荷 受到的電場力 為各個場源電荷的庫侖力的疊加，即： （2.1.5）

則點電荷系中電場中某點的場強為： （2.1.6）

式（2.1.6）表明了 個點電荷所激發的電場在某點的總場強等于每個點電荷單獨存在時所激發的電場在該點的場強的矢量和。

同樣的道理，根據場強的疊加原理，可以得到電勢的疊加原理。點電荷系產生的電場中任意點 對參考點 的電勢為： （2.1.7）

對比（2.1.4）和式（2.1.7），可以得到電場中任意兩點 間電壓的疊加原理：

（2.1.8）

可見，這里由電場強度 的可疊加性，得出了電壓 的可疊加性。

2.2穩恒電路中電壓的疊加性

對于電路來說，一個電源可看成一個點電荷系，多個電源可看成多個點電荷系。由前所述，可得到在穩恒線性電路中，電壓的可疊加性依舊可由電源產生的場強疊加性來得出。

設電路中只有一個獨立源時，電源兩個極板所帶的電荷組成點電荷系，由點電荷系的場強公式（2.1.6）可得到該電源產生于導體內部的場強為： （2.2.1）

其中 為極板上任意一個點電荷產生的靜電場場強。當電路閉合后，在負載兩端產生的電壓（導線電阻很小，可以忽略導線上的電壓） 為： （2.2.2）

對于穩恒電路中的任意一個獨立源來說，電源的兩極板上的電荷量 是一確定值，因此，可用 表示任意獨立源在電路中任意點 產生的場強，則由場強的疊加原理可以得到電路中的多

個獨立源在 點產生的總場強為： （2.2.3）

其中 ， 表示任意獨立源到場點 的距離。

由式（2.2.2）和式（2.2.3）可以得到在多個獨立源存在的穩恒線性電路中負載兩端 間的電壓的表達式：

（2.2.4）

它和（1.3）式中關于電壓疊加的表達式 是一致的。

這樣，就從電磁場的角度闡明了線性電路中電壓的可疊加性。

2.3穩恒電路中電流的疊加性

實驗指出 ：金屬中歐姆定律的微分形式為： （2.2.5）

上式中 為金屬的電導率，對于均勻材料 為常數，僅與材料的性質有關。式（2.2.5）反映了導體內部任一點的電流密度與該點的電場強度的關系：電流密度 只決定于該點的電場強度 ，且兩者方向相同。

在導體內任一點處取一曲面 ，則通過任意曲面的電流 為： （2.2.6）

由式（2.2.5）和式（2.2.6）可以得到電流 與場強 的積分關系：

（2.2.7）

若穩恒電路中只有一個獨立電源，則這個獨立電源任一曲面 處產生的場強是恒定的，因為電壓兩極板上的電荷分布是不隨時間而改變的，根據場強的表達式 可以知道場強是恒定的，該電源產生的場強所形成的電流也是恒定的。此時產生的電流可由式（2.2.7）確定。

當電路中含有多個獨立源時，每個獨立源在電路中導體內部將產生場強。根據式（2.2.3）可以得到電場中任意點 產生的總場強。

相應地，在導線中的任意點 取一曲面 ，則各獨立源在該處產生的電流為：

（2.2.8）

那么，在曲面 處產生的總的電流相應地可表示為：

（2.2.9）

它和（1.3）式中關于電流疊加的表達式 是一致的。

這樣，就從電磁場的角度闡明了線性電路中電流的可疊加性。

綜上，線性電路中電流、電壓的疊加性可以從電場強度 、磁場強度 具有的矢量疊加性以及歐姆定律成立時電流密度 與電場強度 的線性關系得到完善的解釋。

參考文獻：

[1][4][5]賈起民、鄭永令、陳暨耀.電磁學.2版.北京：高等教育出版社，2001. 265，111，109.

[2]邱關源.電路.4版.北京：高等教育出版社，1999.82.

[3]梁燦彬等.電磁學. 2版. 北京：高等教育出版社，2004. 30～31.

【作者簡介】何攀，男，漢族，四川省旺蒼縣人，大學本科，從事中學物理教育教學。