參數(shù)激勵(lì)和強(qiáng)迫激勵(lì)聯(lián)合作用下的系統(tǒng)的分岔分析

摘要：本文應(yīng)用多尺度法得到了系統(tǒng)的振幅方程和頻率響應(yīng)方程，并根據(jù)奇異性理論討論了系統(tǒng)的分岔類型，得到了這類非線性系統(tǒng)發(fā)生分岔的條件。

關(guān)鍵詞：多尺度法；分岔；參數(shù)激勵(lì)

引言

參數(shù)激勵(lì)和強(qiáng)迫激勵(lì)聯(lián)合作用下的非線性系統(tǒng)，具有十分豐富的動(dòng)力學(xué)性能，長期以來一直受到廣泛關(guān)注.文獻(xiàn)研究了非線性方程在亞諧共振和非共振情況下的分岔問題；文獻(xiàn)研究了參量激勵(lì)的振子在非亞諧共振和非共振情況下的分岔特性.本文研究如下非線性系統(tǒng)：

（1）

其中 ， ， 均為參量.

1、分岔響應(yīng)方程

對(duì)于系統(tǒng)（1）引入小參數(shù) ， ，并令 ，則系統(tǒng)（1）變?yōu)椋?/p>

（2）

不妨設(shè) ， ，對(duì)于系統(tǒng)（2）應(yīng)用多尺度法，將 展開成 的冪級(jí)數(shù) ，其中 于是得到

（3）

（4）

（5）

設(shè)方程（3）的通解為 ，將 代入方程（4），消去永年項(xiàng)，得到 ， 將 代入方程（5），為消去 中的永年項(xiàng)，得 （6）

（7）

由方程（6），（7）可知，若系統(tǒng)存在穩(wěn)態(tài)解，則必有 ， 為常數(shù).因此穩(wěn)態(tài)解存在的條件是： ，即 ，換句話說，僅當(dāng)激勵(lì)是周期激勵(lì)時(shí)才會(huì)有穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生.

令 ，則方程（6）（7）可寫為

（8）

（9）

對(duì)于穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)， ，則

（10）

（11）

于是得到了系統(tǒng)（2）的分岔響應(yīng)方程.

2、分岔特性分析

設(shè) 是由方程（10）（11）所確定的穩(wěn)態(tài)解，令 ，其中 是擾動(dòng)變量.把 代入（8）（9），注意到 是方程（10）（11）的解，于是得到擾動(dòng)方程

易知其的系數(shù)行列式的特征方程為 ，其中

于是有

（1） 時(shí)

時(shí)，特征值是一對(duì)互異的正實(shí)根，不動(dòng)點(diǎn)是不穩(wěn)定的結(jié)點(diǎn).

時(shí)，特征值是一對(duì)互異的負(fù)實(shí)根，不動(dòng)點(diǎn)是穩(wěn)定的結(jié)點(diǎn).

時(shí)，特征值是一對(duì)異號(hào)的實(shí)根，不動(dòng)點(diǎn)是鞍點(diǎn).

（2） 時(shí)

時(shí)，特征值是一對(duì)相等的正實(shí)根，不動(dòng)點(diǎn)退化為不穩(wěn)定的臨界結(jié)點(diǎn).

時(shí)，特征值是一對(duì)相等的負(fù)實(shí)根，不動(dòng)點(diǎn)退化為穩(wěn)定的臨界結(jié)點(diǎn).

（3） 時(shí)

時(shí)，特征值是一對(duì)實(shí)部為正的共軛復(fù)根，不動(dòng)點(diǎn)為不穩(wěn)定的焦點(diǎn).

時(shí)，特征值是一對(duì)實(shí)部為負(fù)的共軛復(fù)根，不動(dòng)點(diǎn)是穩(wěn)定的焦點(diǎn).

時(shí)，特征值是一對(duì)純虛根，不動(dòng)點(diǎn)為中心.

由上面的分析，可以知道當(dāng) 時(shí)，系統(tǒng)產(chǎn)生亞臨界的霍普夫分岔，當(dāng) 時(shí)，系統(tǒng)產(chǎn)生超臨界的霍普夫分岔.系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解的穩(wěn)定性同時(shí)也發(fā)生變化，由穩(wěn)定的變?yōu)椴环€(wěn)定的.

參考文獻(xiàn)：

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作者簡介：于霞，女，1976年12月生，山東聊城人，講師，主要從事非線性分析研究。