雙視線測量相對導航方法誤差分析與編隊設計

王楷，徐世杰，黎康，湯亮

1. 北京控制工程研究所，北京 100190 2. 空間智能控制技術重點實驗室，北京 100190 3. 北京航空航天大學 宇航學院，北京 100083

在航天器的在軌維護和近距離監視任務中，以光學相機為主要探測手段的視線導航方法被認為是進行航天器非合作式自主相對導航的重要手段[1]。進行視線測量的相對導航設備具有質量輕、功耗低、結構緊湊等諸多特點且屬于被動探測，在該領域得到廣泛應用[2]。

基于視線測量信息的相對導航方法，因缺乏追蹤航天器與目標航天器間的相對距離信息，導致濾波估計中沿航天器連線方向的距離估計誤差積累明顯[3]。在單視線近距離條件下，Geller和Klein[4]研究發現如果將相機安裝位置偏離追蹤航天器質心，可以有效減少相對導航誤差。尤岳等[5]、Geller和Perez[6]、Gong等[7]進一步從濾波方法、測量數據特性、誤差協方差分析等方面研究該問題。針對中距離視線相對導航問題，一方面可以采用目標的軌道預報信息改善相對導航精度[8]；另一方面通過施加特定方向的軌道機動改善相對導航精度[9-11]。

基于雙視線測量的相對導航方法是解決視線測量條件下沿距離方向觀測度較差問題的又一有效方法。楊海燕和湯國建[12]研究了相對導航中雙目視覺測量系統相對位姿的可觀測性問題，Segal等[13]研了究類似的針對非合作目標的相對位姿測量問題并開展了地面物理仿真試驗,但該方面研究要求雙目系統的測量基線為固定值。陳統和徐世杰等[14-15]提出一種基于雙視線測量的自主相對導航方法，用于非合作目標中距離交會。該方法通過配置輔助追蹤航天器從而與主追蹤航天器形成測量基線以引入距離信息，采用光學相機測量目標相對指向，通過濾波方法估計目標的相對位置和速度。為降低集中式濾波估計算法的維數，翟光[16]和高學海[17]等分別采用分布式濾波算法研究雙視線測量條件下的相對導航問題?；陔p視線測量的相對導航方法類似于地理測量中的三角定位方法，要求航天器間維持一定的幾何約束條件，并且避免發生雙視線重合情況。為此，文獻[18]針對該方法研究導航約束條件下的自主交會問題，通過建立圓錐型的禁飛區域并設計基于人工勢函數的接近制導率使追蹤航天器在滿足導航方面幾何約束關系的條件下逐漸地逼近目標航天器。文獻[19]將編隊接近非合作目標的雙視線導航與制導問題轉化為固定時間燃料最優的優化問題，通過引入制導終端誤差和視線夾角約束，采用粒子群優化方法進行求解。

上述研究均認識到避免視線重合是雙視線相對導航方法濾波估計收斂的前提條件。為此，人工勢函數方法設計圓錐形禁飛區域，粒子群優化方法將視線夾角大于一定閾值作為優化中的約束條件。本文在上述研究的基礎上，重點分析雙視線測量中的誤差傳播規律，討論測量基線長度、目標距離與方位以及測量精度對目標定位的影響。同時，由于中距離交會中，主、輔追蹤航天器相對于目標航天器的位置不斷變化，本文討論了主、輔追蹤航天器相對于目標航天器的自然編隊構型對導航精度的影響，通過設計自然編隊構型滿足視線夾角約束條件，將主、輔追蹤航天器編隊放置在低于目標航天器的軌道上，使追蹤航天器編隊以自然漂移的方式逼近目標航天器。

本文首先簡要介紹基于編隊雙視線測量的相對導航方案以及具體導航算法，然后研究導航算法中的誤差傳遞規律，并根據這一規律討論航天器間的編隊構型問題，最后采用數值仿真方法驗證、分析上述導航算法和編隊構型設計方面的相關內容。

1 基于雙視線測量的相對導航方案設計

雙視線測量的相對導航方案的示意圖如圖1所示。主、輔追蹤航天器在目標航天器的后方編隊構成雙視線測量系統，分別采用光學相機測量目標航天器的視線信息；追蹤航天器之間通過差分GPS測量編隊的基線信息。上述測量信息，結合航天器間的相對軌道動力學模型，采用擴展卡爾曼濾波(EKF)方法估計目標航天器的相對位置和相對速度。

(1)

式中：LC2C1為主追蹤航天器軌道坐標系SC1到輔追蹤航天器軌道坐標系SC2的轉移矩陣，由主、輔追蹤航天器軌道信息計算得出。

濾波估計中，系統狀態包括目標航天器和輔追蹤航天器在主追蹤航天器軌道坐標系SC1下的相對位置和相對速度，具體表示為

(2)

根據軌道坐標系下的相對軌道動力學方程，濾波估計的系統方程可以表示為

(3)

(4)

在濾波估計的測量方程方面，本文采用單位視線矢量定義目標航天器相對于主、輔追蹤航天器的視線測量信息，采用輔追蹤航天器相對于主追蹤航天器的位置矢量定義主、輔追蹤航天器的基線測量信息。

目標航天器在主、輔追蹤航天器軌道坐標系SC1和SC2下的單位視線矢量可以表示為

(5)

測量過程中，目標航天器的單位視線矢量將受到測量誤差干擾。當誤差擾動較小而且沿著單位球面各向分布均勻時，該誤差可以認為是零均值的高斯分布，并且具有如下協方差矩陣[20]:

(6)

主、輔追蹤航天器間的基線測量信息采用輔追蹤航天器在主追蹤航天器軌道坐標系SC1下的相對位置進行描述，具體表示為

(7)

式中：ζC2C1為基線測量信息的測量誤差，假設其滿足相互獨立的零均值高斯分布，對應的協方差矩陣記為PC2C1。

結合目標航天器相對于主、輔追蹤航天器的單位視線信息以及主、輔追蹤航天器間的基線測量信息，濾波估計的測量方程可以表示為

(8)

式中：YDL為濾波估計的測量狀態;hDL(ΔXDL)為濾波估計的測量方程。

2 雙視線導航算法的誤差分析

基于編隊雙視線測量的相對導航算法類似地理測量中的三角定位方法，要求主、輔追蹤航天器與目標航天器在測量中維持一定幾何關系。為此，本文在主、輔追蹤航天器與目標航天器三者所在平面內，分析導航算法中的誤差傳播規律。

如圖2所示，在主、輔追蹤航天器測量基線中心建立直角坐標系。主、輔追蹤航天器位于軸上，坐標分別為(LB,0)和(-LB,0)。目標航天器位于軸的正向平面內，其位置可以通過笛卡兒坐標(xT,yT)和極坐標(ρT,φT)形式表示。兩組坐標之間存在如下對應關系:

(9)

設在主、輔追蹤航天器處，目標航天器視線矢量與測量基線的夾角分別為γC1和γC2。則根據測量基線長度2LB和視線夾角γC1、γC2可以唯一確定目標航天器在軸正向平面內的位置。根據圖2中的幾何關系，上述視線夾角γC1、γC2與目標航天器的坐標之間存在如下等式關系:

(10)

通過進一步求解可以得到

(11)

在實際測量中，主、輔追蹤航天器間的基線2LB以及在主、輔追蹤航天器處目標航天器相對于基線的視線夾角γC1和γC2均存在測量誤差。因此，目標航天器在該平面內的位置也將受到誤差擾動，具體可以表示為

(12)

式中：δxT和δyT分別為目標航天器位置的測量誤差；δLB、δγC1和δγC2分別為基線和視線角的測量誤差。將式(10)代入式(12)可以得到

(13)

同時，在極坐標誤差(δρT,δφT)與笛卡兒坐標誤差(δxT,δyT)之間，還存在如下對應關系:

(14)

結合式(13)和式(14)，可以得到極坐標誤差(δρT,δφT)的傳遞關系為

(15a)

(15b)

如假設基線和視線夾角的測量誤差δLB、δγC1和δγC2滿足相互獨立的零均值高斯分布，其誤差的標準差分別記為σL和σγ。則根據式(15)可以得到

(16)

式中：σDL,ρ、σDL,φ分別為采用雙視線進行測量時，目標航天器相對于主、輔追蹤航天器間基線中心點的距離和角度的誤差標準差。

式(16)表明，目標航天器到主、輔追蹤航天器間基線中心點的距離誤差σDL,ρ主要受到基線長度測量誤差σL和視線角測量誤差σγ的影響；目標航天器到主、輔追蹤航天器中心點的角度誤差σDL,φ則僅受到視線角測量誤差σγ的影響。同時，誤差σDL,ρ和σDL,φ還受到主、輔追蹤航天器和目標航天器三者位置關系的影響，包括受到主、輔追蹤航天器間基線長度2LB以及目標航天器相對于該基線中心點位置(ρT,φT)的影響。

在航天器中距離交會過程中，目標航天器距離主、輔追蹤航天器較遠。通常情況下，目標航天器到主、輔追蹤航天器間測量基線中心點的距離ρT在20～80 km的范圍變化，測量基線長度2LB在4～8 km的范圍變化，ρT與LB的比值在5～40之間變化。則式(16)可以進一步簡化為

(17)

式(17)表明，在采用雙視線測量算法進行航天器中距離相對導航時，目標航天器的相對指向誤差σDL,φ始終為常值，而相對距離誤差σDL,ρ受到基線長度2LB、目標航天器相對于基線中心點的距離ρT和方位φT的影響。主、輔追蹤航天器間的測量基線2LB越短，目標航天器的相對距離ρT越遠，則目標航天器的相對距離誤差σDL,ρ越大。當主、輔追蹤航天器間的測量基線2LB長度有限，而目標航天器的相對距離ρT趨近于無窮遠時，則目標航天器的相對距離誤差σDL,ρ急劇增大，此時雙視線測量算法退化為單視線的情況。在中距離相對導航時，由于ρT與LB的比值在5～40之間變化，將使基線長度測量誤差σL和視線角測量誤差σγ對目標航天器相對距離誤差σDL,ρ的影響放大5～40倍。這表明，在采用雙視線測量算法進行航天器中距離相對導航時，隨著ρT與LB的比值增加，目標航天器相對距離誤差σDL,ρ將被有限的放大，但不會發生退化為單視線的情況。對于目標航天器相對于主、輔追蹤航天器間測量基線中心點的方位角φT，當目標航天器的方位與測量基線垂直時(φT=π/2)，目標航天器的相對距離誤差σDL,ρ最?。欢斈繕撕教炱鞯姆轿慌c測量基線接近平行時(φT≈0或π)，目標航天器的相對距離誤差σDL,ρ則急劇增大；而當兩者完全平行時(φT=0或π)，目標航天器與主、輔追蹤航天器三者共線，導致雙視線測量系統完全退化為單視線測量系統，從而無法獲取目標航天器的相對距離信息。因此，在采用基于編隊雙視線測量的相對導航方法時，應使目標航天器的相對方位與主、輔追蹤航天器間測量基線的方向盡量垂直，以獲取較高的導航精度，同時應避免發生目標航天器與主、輔追蹤航天器三者共線的情況。

3 追蹤航天器編隊的構型設計

基于編隊雙視線測量的相對導航方法需要目標航天器和主、輔追蹤航天器三者間滿足一定的相對軌道運動關系，一方面保證在導航過程中維持一定的幾何位置關系，避免發生3個航天器共線的情況而使濾波估計誤差增大、甚至發散，另一方面使主、輔追蹤航天器編隊能夠通過自然漂移方式逐步接近目標航天器，以節約逼近過程中的燃料消耗。本文將采用軌道坐標系下軌道要素形式的航天器相對軌道運動模型研究這一問題。

在航天器中距離交會時，目標航天器通常位于追蹤航天器前方較遠處，航天器間緯度幅角u的偏差遠大于軌道傾角i、升交點赤經Ω和地心距r的偏差。因此，在軌道坐標系下軌道要素形式的航天器相對軌道運動模型中保留緯度幅角偏差的二階項，可以得到在目標航天器軌道坐標系ST下，追蹤航天器的相對軌道運動模型

(18)

(19)

式中：LXZ、LY分別為OTXTZT平面內和沿YT方向的周期運動的幅值；φXZ和φY為OTXTZT平面內和沿YT方向的周期運動的相位。這些參數與相對軌道要素ΔiCT、ΔΩCT、ΔξCT和ΔηCT之間存在如下的對應關系:

(20)

在OTXTZT、OTYTZT以及OTXTYT平面內，式(19)所描述的航天器相對軌道運動的示意圖如圖3所示。在OTXTZT平面內，航天器相對軌道運動的軌跡為中心沿OTXT軸均勻平移的橢圓，且橢圓長、短半軸的比例為2:1。其中，在沿OTXT軸方向，航天器間的軌道半長軸的差值ΔaCT將引起追蹤航天器自然地接近目標航天器，并且經過一個軌道周期移動的距離為

LX=aTΔλCT=-3πΔaCT

(21)

在沿OTZT軸方向，航天器相對軌道運動存在常值偏差-ΔaCT+aT(ΔλCT)2/2。其中，偏差-ΔaCT是由于目標航天器與追蹤航天器間的軌道高度差所引起的；偏差aT(ΔλCT)2/2是由于目標航天器與追蹤航天器間前后距離較遠所引起的。在OTYTZT平面內，航天器相對軌道的運動軌跡由分別沿OTYT和OTZT軸方向的兩個周期相同而幅值和相位任意的正弦運動合成，并形成一個橢圓型的運動軌跡。

根據圖3所示，目標航天器相對于主、輔追蹤航天器間基線中點的方位角可以表示為

(22)

由于在航天器的中距離交會過程中，目標航天器與主、輔追蹤航天器間沿OTXT軸方向的距離遠大于沿OTYT和OTZT軸方向的距離，所以有

(23)

根據式(23)，式(22)可以進一步簡化為

(24)

根據式(18)和式(19)，并且忽略軌道要素之差的二階小量，則可以得到

aTΔΩC2C1cosiT+aTΔλC2C1=

-2LXZC2C1cos(λT-φXZC2C1)+

aTΔΩC2C1cosiT+aTΔλC2C1

(25a)

ΔiC2C1sinλT)=LYC2C1cos(λT-φYC2C1)

(25b)

ΔaC2C1=LXZC2C1sin(λT-φXZC2C1)-ΔaC2C1

(25c)

式中：LXZC2C1、LYC2C1分別為輔追蹤航天器在主追蹤航天器OC1XC1ZC1平面內和沿YC1方向的周期運動的幅值；φXZC2C1和φYC2C1為輔追蹤航天器在主追蹤航天器OC1XC1ZC1平面內和沿YC1方向的周期運動的相位。

如果主、輔追蹤航天器間的編隊構型為距離較近的穩定編隊構型，則可以令ΔaC2C1=0，結合式(24)和式(25)可以進一步得到

cos2φT=

(26)

根據式(26)，主、輔追蹤航天器間基線在OTYTZT平面內的投影長度可以整理為

(27)

針對式(27)，可以進行如下分析：當LYC2C1=0或LXZC2C1=0時，主、輔追蹤航天器間測量基線在OTYTZT平面內的投影長度存在最小值為零的情況。隨著λT的變化，該基線的投影長度將達到零值，目標航天器相對于測量基線中心點的方位角φT將達到0或π，雙視線測量導航方法的導航條件變差，將引起濾波估計誤差增大或發散。其中，LYC2C1=0對應的情況為，輔追蹤航天器在主追蹤航天器軌道坐標系SC1的OC1YC1軸方向不存在周期性的正弦運動，而僅在OC1XC1ZC1平面內進行長、短半軸比例為2:1的橢圓運動，因此每個軌道周期會出現兩次在OTYTZT平面投影長度為零的情況，致使導航條件變差；LXZC2C1=0對應的情況為，輔追蹤航天器在主追蹤航天器軌道坐標系的OC1XC1ZC1平面內不存在周期性的橢圓運動，而僅在OC1YC1軸方向存在周期性的正弦運動，因此每個軌道周期也會出現兩次在OTYTZT平面投影長度為零的情況，致使導航條件變差。當LYC2C1≠0且LXZC2C1≠0時，若cos(2φYC2C1-2φXZC2C1)=-1，則主、輔追蹤航天器間測量基線在平面內的投影長度同樣存在最小值為零的情況。隨著λT的變化，該基線的投影長度也將達到零值。此時有φYC2C1-φXZC2C1=π/2+kπ。這一情況對應于，輔追蹤航天器在主追蹤航天器軌道坐標系的OC1YC1ZC1平面內的橢圓運動退化為直線運動，因此每個軌道周期同樣也會出現兩次在OTYTZT平面投影長度為零的情況，致使導航條件變差。當LYC2C1≠0且LXZC2C1≠0時，若cos(2φYC2C1-2φXZC2C1)=1，則式(27)可以變化為

(28)

這表明，如果輔追蹤航天器在主追蹤航天器軌道坐標系SC1下的相對軌道運動滿足條件φYC2C1-φXZC2C1=kπ，則無論λT如何變化，測量基線在OTYTZT平面的投影長度將在一個不包含零的區間內變化，而且區間的兩個端點值分別等于輔追蹤航天器在OC1XC1ZC1平面內和沿YC1方向周期運動的幅值。這一情況對應于，輔追蹤航天器在主追蹤航天器軌道坐標系的OC1YC1ZC1平面內進行橢圓運動，且橢圓的主、輔軸分別與OC1YC1軸或OC1ZC1軸重合。

上述分析表明，主、輔追蹤航天器的編隊構型僅在3種極為特殊的情況下(LYC2C1=0、LXZC2C1=0和φYC2C1-φXZC2C1=π/2+kπ)可以使導航條件變差，而在多數情況下基于編隊雙視線測量的相對導航方法的導航條件是能夠得以保證的。而在上述分析中，僅涉及輔追蹤航天器相對于主追蹤航天器的軌道運動，而并未涉及主追蹤航天器相對于目標航天器的軌道運動。這說明在實際應用中可以通過調整輔追蹤航天器相對于主追蹤航天器的軌道運動保證基于編隊雙視線測量的相對導航方法在導航方面的幾何約束條件，同時輔追蹤航天器跟隨主追蹤航天器完成相對于目標航天器的逼近。

在上述構型設計中，輔追蹤航天器相對于主追蹤航天器的軌道運動較為直觀，但是由于相對軌道運動關系疊加，主、輔追蹤航天器相對于目標航天器的軌道運動關系則過于復雜。實際上，可以在目標航天器的OTYTZT平面內對主、輔追蹤航天器的相對軌道運動同時進行設計，得到形式更為簡潔的相對運動軌道。具體設計方式如下文所述。

首先，在OTYTZT平面內，使(主、輔)追蹤航天器沿OTYT和OTZT軸周期運動的幅值、相位相等，即

(29)

式中：LXZC1、LYC1分別為主追蹤航天器在目標航天器OTXTZT平面內和沿YT方向的周期運動的幅值；φXZC2和φYC2為輔追蹤航天器在目標航天器OTXTZT平面內和沿YT方向的周期運動的相位；LC1、φC1分別為主追蹤航天器相對目標航天器周期運動的幅值和相位；LC2、φC2分別為輔追蹤航天器相對目標航天器周期運動的幅值和相位。則(主、輔)追蹤航天器在OTYTZT平面內的相對軌道運動軌跡是以LC1、LC2為半徑的圓形。

其次，使主、輔追蹤航天器處于同一軌道高度，并且使其在OTYTZT平面內的運動處于同一圓形軌跡上，而相位相差π，即

ΔaC2C1=0,LC1=LC2,φC1-φC2=π

(30)

則主、輔追蹤航天器間的測量基線在OTYTZT平面的投影長度始終等于圓形運動軌跡的直徑長度2LC1(或2LC2)。顯然，式(29)和式(30)所述情況是φYC2C1-φXZC2C1=kπ情況的一種特例。

最后，調整主、輔追蹤航天器相對于目標航天器的軌道半長軸，使編隊的主、輔追蹤航天器借助軌道高度差引起的自然漂移，共同完成相對于目標航天器的連續逼近。

4 數值仿真

本文采用數值仿真驗證并分析前述的基于編隊雙視線測量的相對導航算法以及關于導航精度和編隊構型方面的內容。仿真中，設定主、輔追蹤航天器位于目標航天器后方約70 km 處，根據前述的系統方程和測量方程，采用EKF方法對目標航天器的相對軌道運動進行估計。具體仿真內容參見表1。

在表1中，仿真D1～D4是在主追蹤航天器的軌道坐標系SC1下對輔追蹤航天器的相對軌道運動進行設計，仿真D5～D6是在目標航天器的軌道坐標系ST下對主、輔追蹤航天器的相對軌道運動進行設計。各組仿真中，航天器初始的平均軌道參數如表2所示。仿真中測量信息的誤差特性，包括主追蹤航天器的軌道確定誤差，主、輔追蹤航天器間的基線測量誤差，光學相機的角度測量誤差，如表3所示。濾波估計中的導航參數如表4所示。

仿真D1條件LYC2C1=0下的一組仿真算例。圖4～圖6分別為該仿真中航天器間相對軌道運動情況、特征參數變化情況以及濾波估計誤差變化情況的仿真結果。

表1基于編隊雙視線測量的相對導航方法的數值仿真

Table1Numericalsimulationfordoubleline-of-sightmeasuringrelativenavigationmethodbasedonformationflying

仿真條件具體內容D1LYC2C1=0OC1XC1ZC1平面內的2:1橢圓運動D2LXZC2C1=0OC1YC1方向的正弦運動D3φYC2C1-φXZC2C1= π/2+kπOC1YC1ZC1平面內的直線運動D4φYC2C1-φXZC2C1= kπOC1YC1ZC1平面內的橢圓運動D5～D6LC1=LC2,φC1-φC2=πOTYTZT平面內的相位相差為π的 圓周運動

表2 航天器初始的平均軌道要素Table 2 Initial mean orbital elements of spacecraft

表3 誤差統計特征Table 3 Statistical characteristics of errors

表4 濾波中的參數Table 4 Parameters in filter

仿真D2條件LXZC2C1=0下的一組仿真算例。圖7～圖9分別為該仿真中航天器間相對軌道運動情況、特征參數變化情況以及濾波估計誤差變化情況的仿真結果。

在該條件下，輔追蹤航天器僅沿主追蹤航天器軌道坐標系的OC1YC1軸方向進行正弦運動。此種編隊構型導致主、輔追蹤航天器在每個軌道周期內出現兩次沿OTXT軸方向共線的情況。此時，測量基線在OTYTZT平面內的投影長度接近0值附近，而目標航天器相對于測量基線中點的方位角φT接近π值附近(如圖8所示)。在對應時刻，目標航天器相對于主追蹤航天器位置和速度的濾波估計誤差同樣出現增大的情況(如圖9所示)。

仿真D3條件φYC2C1-φXZC2C1=π/2+kπ下的一組仿真算例。圖10～圖12分別為該仿真中航天器間相對軌道運動情況、特征參數變化情況以及濾波估計誤差變化情況的仿真結果。

仿真D4條件φYC2C1-φXZC2C1=kπ下的一組仿真算例。圖13～圖15分別為該仿真中航天器間相對軌道運動情況、特征參數變化情況以及濾波估計誤差變化情況的仿真結果。

仿真D5條件LC1=LC2,φC1-φC2=π下的一組仿真算例。圖16～圖18為該仿真中航天器間相對軌道運動情況、特征參數變化情況以及濾波估計誤差變化情況的仿真結果。

仿真D6在仿真D5的仿真條件基礎上，將主、輔追蹤航天器間的基線測量誤差和光學相機的角度測量誤差標準差增大5倍，其他仿真條件不變。圖19為濾波估計誤差變化情況的仿真結果。仿真結果表明，在相同構型下，目標航天器相對于主追蹤航天器位置和速度的濾波估計誤差將隨著基線測量誤差和角度測量誤差的增大而增大，與式(16)的結論一致。

5 結 論

1) 在主、輔追蹤航天器與目標航天器三者所在的平面內，分析基于雙視線測量的相對導航方法中的誤差傳播規律，表明目標航天器的定位誤差不僅受到基線和視線角測量誤差的影響，還受到主、輔追蹤航天器與目標航天器三者間幾何位置關系的影響，具體為：當目標航天器的方位與主、輔追蹤航天器間測量基線的方向垂直時，定位誤差較小，而當目標航天器與主、輔追蹤航天器三者接近共線時，定位誤差急劇增大。

2) 根據上述的誤差傳播規律，采用軌道坐標系下軌道要素形式的相對軌道運動模型，對追蹤航天器的編隊構型進行設計與分析，表明主、輔追蹤航天器與目標航天器三者共線的情況僅在3種極為特殊的情況下存在，經過適當的設計，主、輔追蹤航天器的編隊構型可以滿足在導航方面的幾何約束條件，同時通過將追蹤航天器編隊置于較目標航天器更低的軌道高度，采用自然漂移的方式連續地逼近非合作的目標航天器。