基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)題B:線性及非線性LC振蕩電路

王思慧,范文凱,江洪建,萬建國(guó)

(南京大學(xué) a.物理學(xué)院；b.匡亞明學(xué)院，江蘇 南京 210093)

第4屆全國(guó)大學(xué)生物理實(shí)驗(yàn)競(jìng)賽基礎(chǔ)性實(shí)驗(yàn)試題B為“線性及非線性LC振蕩電路”. 試題第1部分涉及線性電路的暫態(tài)及穩(wěn)態(tài)性質(zhì)，包括LR，RC及RLC電路，是大學(xué)物理及大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)的常規(guī)內(nèi)容[1-3]. 這一部分考察基礎(chǔ)知識(shí)和實(shí)驗(yàn)?zāi)芰? 試題第2部分涉及非線性電路，在線性LC振蕩電路基礎(chǔ)上，增加了非線性阻尼器件，要求學(xué)生參照線性振蕩電路的性質(zhì)，初步了解非線性振動(dòng)的性質(zhì). 例如,穩(wěn)態(tài)響應(yīng)中幅頻特性的共振頻率受到驅(qū)動(dòng)電壓的影響而變化；響應(yīng)信號(hào)不僅存在與驅(qū)動(dòng)信號(hào)相同的基頻，也存在倍頻分量等. 這一部分旨在考察學(xué)生通過實(shí)驗(yàn)觀察理解概念，探索物理規(guī)律的能力.

1 實(shí)驗(yàn)內(nèi)容

1.1 實(shí)驗(yàn)器材

數(shù)字示波器，信號(hào)發(fā)生器(示波器和信號(hào)發(fā)生器提供簡(jiǎn)要使用說明)，黑盒子(內(nèi)含1個(gè)電感L，1個(gè)電容C，1個(gè)非線性器件X)，電阻箱1只，導(dǎo)線若干，坐標(biāo)紙若干張. 黑盒子示意圖見圖1.

圖1 黑盒子示意圖

1.2 RLC振蕩電路(電路A)的暫態(tài)和穩(wěn)態(tài)過程研究(實(shí)驗(yàn)1)

RC電路、RL電路及RLC電路在物理研究和工程技術(shù)方面有廣泛的應(yīng)用，例如微分電路、積分電路、相移電路和振蕩電路等. 實(shí)驗(yàn)中的RLC諧振電路可以用于觀察線性振動(dòng)系統(tǒng)的波形、相圖，研究振動(dòng)系統(tǒng)的幅頻特性、相頻特性等. 此外還考察了利用數(shù)字示波器觀測(cè)電信號(hào)的波形，測(cè)量頻率、幅值以及相位差的方法.

RLC串聯(lián)電路暫態(tài)過程的方程為[3]

(1)

(2)

(3)

(4)

該部分實(shí)驗(yàn)需要學(xué)生完成以下內(nèi)容：

1)判斷本實(shí)驗(yàn)所提供的器件的種類(L或者C以及非線性器件X)，并測(cè)量線性器件的參量.

2)RLC暫態(tài)過程. 搭建RLC串聯(lián)電路，畫出電路圖. 選取適當(dāng)?shù)男盘?hào)源輸出波形、電壓和頻率. 用示波器觀察阻尼振蕩、過阻尼振蕩和臨界阻尼振蕩的uC-t圖形，分別記錄對(duì)應(yīng)的電阻箱的阻值R0. 設(shè)定電阻箱的阻值R0為0及100 Ω，測(cè)量在阻尼振蕩時(shí)電路的總電阻R、振蕩周期T、時(shí)間常量τ以及品質(zhì)因數(shù)Q值. 用示波器觀察并在坐標(biāo)紙上定性描繪阻尼振蕩情況下的“相圖”(即電流和電量的近似關(guān)系圖像).

1.3 非線性LC振蕩電路(電路B)的研究(實(shí)驗(yàn)2)

將器件X串聯(lián)接入電路A，形成非線性振蕩電路B.

1)研究電路B的暫態(tài)以及穩(wěn)態(tài)性質(zhì). 參照RLC暫態(tài)過程的性質(zhì)，研究電路B的暫態(tài)過程. 用示波器顯示該電路中電容電壓uC與時(shí)間t的關(guān)系曲線，并在坐標(biāo)紙上描繪示波器所顯示的圖像. 用示波器觀察并在坐標(biāo)紙上定性描繪該電路的“相圖”(即電流和電量的近似關(guān)系圖像). 與電路A的暫態(tài)性質(zhì)相比較，說明電路B有何不同.

2)參照RLC穩(wěn)態(tài)過程的性質(zhì)，研究電路B的穩(wěn)態(tài)過程. 自擬實(shí)驗(yàn)步驟和測(cè)量?jī)?nèi)容，觀察電路B的幅頻特性(uC-f). 研究共振頻率與什么參量有關(guān)，并將結(jié)果記錄在坐標(biāo)紙上. 在此基礎(chǔ)上，說明與電路A的幅頻特性有何不同. 利用示波器的Math-FFT功能可以獲得響應(yīng)信號(hào)uC的頻譜，研究電路的非線性諧振特性，觀察并說明頻譜有什么特征？研究這些特征與哪些參量有關(guān)？

2 參考解答與競(jìng)賽結(jié)果分析

2.1 RLC振蕩電路(電路A)的暫態(tài)和穩(wěn)態(tài)過程研究

2.1.1 實(shí)驗(yàn)所提供的器件

1，2，3分別為C，L和X(參量略). 器件種類的判斷和參量測(cè)量涉及LR，RC及RLC電路的暫態(tài)或穩(wěn)態(tài)性質(zhì)[1-3]，可以有多種方法，在此不限制解答方法，只要求得到結(jié)果.

混凝土澆搗后，先按設(shè)計(jì)標(biāo)高用2 m刮尺刮平，混凝土收水并開始初凝時(shí)，用木抹子進(jìn)行抹壓，將面層的小凹坑、氣泡眼、砂眼和腳印等壓平。在混凝土終凝前再進(jìn)行二次抹面，用木抹子找平，搓磨2～3次，以提高混凝土的表層密度，消除收縮裂縫及混凝土表面的其他痕跡，形成最終的混凝土面。

2.1.2RLC暫態(tài)過程

1)搭建RLC串聯(lián)電路，如圖2所示. 信號(hào)源輸出用低頻方波信號(hào)(如方波頻率200 Hz,Upp=5 V)，調(diào)整電阻箱的阻值，可以觀察并記錄RRC的過阻尼以及R=RC的臨界阻尼振蕩圖像.

圖2 RLC串聯(lián)電路

3)為了得到阻尼振蕩的“相圖”，即電流和電量的近似關(guān)系圖像，理論上可以用電阻上的電壓UR(正比于電流)以及電容上電壓UC(正比于電量)的圖像來描述. 信號(hào)依然是低頻方波. 實(shí)驗(yàn)中由于示波器2個(gè)通道以及信號(hào)源共地，無法直接獲得UR和UC. 將圖2中的R與C調(diào)換位置，并且使電阻箱阻值設(shè)為很小(幾Ω，遠(yuǎn)小于電容器阻抗)，示波器通道1跨接在UR和UC兩端，忽略UR之后，近似當(dāng)作UC的值；通道2測(cè)量UR的值，利用示波器的X-Y模式，則可以定性觀察相圖. 圖像略，示意圖見文獻(xiàn)[4].

2.1.3RLC穩(wěn)態(tài)過程

1)測(cè)量幅頻特性曲線電路圖如圖2所示. 信號(hào)源輸出正弦信號(hào)，設(shè)定電阻箱的阻值R0，測(cè)量增益(uC/uin，uin指輸入電壓)與信號(hào)頻率的關(guān)系，記錄實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，并將結(jié)果作圖，見圖3.

2)根據(jù)幅頻特性曲線結(jié)果以及題干的提示，可以求共振頻率f0以及品質(zhì)因數(shù)Q.

圖3 幅頻特性曲線

2.2 非線性LC振蕩電路

2.2.1 暫態(tài)過程

器件X是1對(duì)反向并聯(lián)的二極管，在電路中作為非線性阻尼器件. 將器件X串聯(lián)接入電路A，形成非線性振蕩電路B， 如圖4所示. 信號(hào)源輸出仍采用低頻方波信號(hào). 實(shí)驗(yàn)方法參考RLC暫態(tài)過程，原理參考文獻(xiàn)[4-5].

圖4 非線性LC振蕩電路

1)使電阻箱阻值設(shè)為很小，則示波器通道1顯示uC與時(shí)間t關(guān)系曲線，示意圖見圖5.

2)根據(jù)圖4電路，示波器的X-Y模式近似地顯示“相圖”，示意圖見圖6.

圖5 uC與時(shí)間t關(guān)系曲線

圖6 非線性LC振蕩電路的相圖

3)與電路A的暫態(tài)性質(zhì)相比較，電路B有以下幾點(diǎn)不同：暫態(tài)過程起振電壓需要達(dá)到一定閾值；振蕩次數(shù)為有限的幾次(振幅幾乎是線性衰減)；存在欠阻尼到過阻尼的轉(zhuǎn)換，即某一時(shí)間點(diǎn)之后信號(hào)單調(diào)衰減，不再往復(fù)振蕩；電容器電壓存在最終無法衰減到零的情況.

2.2.2 穩(wěn)態(tài)過程

實(shí)驗(yàn)方法參考前面RLC穩(wěn)態(tài)過程，實(shí)驗(yàn)原理參考文獻(xiàn)[5].

1)幅頻特性曲線見圖7. 與電路A相比較，電路B有以下不同：信號(hào)源驅(qū)動(dòng)電壓較大時(shí)共振峰頻率幾乎不變，而后隨著驅(qū)動(dòng)信號(hào)電壓減小共振頻率先是減小，最后共振峰消失. 而線性共振頻率與驅(qū)動(dòng)電壓大小無關(guān). 也可以測(cè)量共振峰頻率與驅(qū)動(dòng)信號(hào)電壓的關(guān)系，見圖8. 此外增益也隨驅(qū)動(dòng)信號(hào)電壓減小而減小.

2)非線性諧振：利用示波器的FFT容易觀察響應(yīng)信號(hào)uC的頻譜(圖略). 當(dāng)信號(hào)源輸出頻率f時(shí)，頻譜中存在f以及3f，5f等倍頻諧振. 可以觀察頻譜的基頻和3倍頻振幅對(duì)于驅(qū)動(dòng)頻率以及振幅的響應(yīng). 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)也存在起振閾值，基頻振幅對(duì)信號(hào)源輸出電壓振幅敏感，倍頻振幅則不敏感.

圖7 電路B的幅頻特性曲線

3 評(píng) 論

在判斷元器件部分，有17位考生申請(qǐng)了提示卡，均分只有3.79分，15位考生得0分. 這反映了實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)知識(shí)尚有待加強(qiáng).

在RLC暫態(tài)過程部分. 均分6.6分，1人滿分，1人0分，得分情況好于第1小題. 這一部分考察阻尼振蕩、臨界阻尼、過阻尼現(xiàn)象，以及測(cè)量時(shí)間常量τ、品質(zhì)因數(shù)Q值等內(nèi)容，要求基礎(chǔ)知識(shí)掌握較好；阻尼振蕩相圖的觀察在掌握基礎(chǔ)知識(shí)的基礎(chǔ)上，還有進(jìn)一步的延伸，因此本題在方法上有所提示. 這一部分個(gè)別考生得到滿分，而多數(shù)考生表現(xiàn)平平，反映了基礎(chǔ)知識(shí)和和應(yīng)變能力方面的差距.

在RLC穩(wěn)態(tài)過程部分，均分8.39分，2人滿分，10人0分. 考察RLC串聯(lián)諧振電路的幅頻特性，從物理概念到實(shí)驗(yàn)電路均是學(xué)生較熟悉的內(nèi)容，是基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)題B得分率最高的小題，也是多數(shù)考生的主要得分項(xiàng).

非線性LC振蕩電路是多數(shù)考生陌生的內(nèi)容. 因此實(shí)驗(yàn)2對(duì)于實(shí)驗(yàn)方法做了提示說明，要求參照線性RLC電路的方法進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)，初步了解非線性電路的一些性質(zhì). 在有限的考試時(shí)間內(nèi)完成這部分實(shí)驗(yàn)要求是相當(dāng)高的. 這一部分共40分，均分2.63，最高分21分，56人中21人有凈得分. 其中暫態(tài)過程20分，最高分12分；穩(wěn)態(tài)過程20分，最高分9分.

表1是對(duì)56名參賽者實(shí)驗(yàn)成績(jī)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果. 圖9是按分項(xiàng)和總分的統(tǒng)計(jì)結(jié)果. 結(jié)果顯示，實(shí)驗(yàn)1試題難度適中，區(qū)分度較好，能夠反映考生基本知識(shí)和實(shí)驗(yàn)方法的掌握情況. 實(shí)驗(yàn)2注意實(shí)驗(yàn)方法和原理的延伸擴(kuò)展，試題內(nèi)容的設(shè)計(jì)上富有啟發(fā)性，對(duì)優(yōu)秀選手有區(qū)分度，并能夠充分反映高水平選手的知識(shí)遷移能力和應(yīng)變能力.

表1 基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)試題B成績(jī)統(tǒng)計(jì)

(a)實(shí)驗(yàn)1得分

(b)實(shí)驗(yàn)2得分

(c)總分圖9 實(shí)驗(yàn)成績(jī)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果

除了作為考題，本實(shí)驗(yàn)還可以作為RLC電路實(shí)驗(yàn)的拓展補(bǔ)充，用于演示線性和非線性振動(dòng)的基本現(xiàn)象和性質(zhì). 例如，用數(shù)字示波器顯示線性振子和非線性振子的動(dòng)力學(xué)過程， 使得理論較為抽象的相圖、非線性振動(dòng)的頻譜等方便地得到展示. 實(shí)驗(yàn)中所用的非線性電路還可以用來模擬干摩擦阻尼作用下的彈性振動(dòng)系統(tǒng)，簡(jiǎn)化了實(shí)驗(yàn)裝置和測(cè)量方法，豐富了實(shí)驗(yàn)內(nèi)容.