高等數學“問題探究式”教學模式探析

秦素平

（河南牧業經濟學院理學部，河南 鄭州 450000）

高等數學是經濟類各專業重要的基礎課，不僅是學生掌握一些實用的數學工具的主渠道，更是培養數學思維、數學素質、應用能力和創新能力的重要載體[1]。然而由于經濟類專業有很多是文科生，他們普遍認為高等數學枯燥難懂，在學習過程中往往沒有興趣，有部分學生對數學產生恐懼畏縮心理，甚至討厭而放棄，嚴重影響教學質量。如何提高學生的學習興趣，實現高等數學的教學目標，是我們從事高等數學教學的每位教師面臨的亟待解決的問題。

現代教學論認為，學生是學習和發展的主體，一切教學活動必須以調動學生學習的主動性、積極性和創造性為出發點，努力培養學生的創新精神和實踐能力，千方百計地引導學生主動學習，積極思考，不斷實踐，使學生能主動地獲取知識，和諧自主地發展。[2]本文以現代教學論為依據，結合教學實踐，探索基于問題解決建構知識的“問題探究式”教學模式，旨在激發學生思考數學問題的熱情，調動學生學習的主動性，增強學生運用高等數學知識的能力，培養學生的理性思維和創新精神，全面提高教學質量。

1 “問題探究式”教學模式的基本思想

所謂問題探究式教學模式，就是教師為學生提供真實的問題情境，學生在教師的引導下，圍繞問題運用探究的教與學方式，基于問題解決來建構知識并形成探究技能和態度。問題探究式教學模式是融知識傳授、能力培養和素質提高為一體的創新教學模式，是把傳統的教師傳遞學生接受的教學過程變成以學生為主體，以問題解決為中心，探究為基礎的師生互動探索的學習過程，其中教師既是組織者、引導者，也是合作學習者,學生在教師指導下通過主動學習和探究獲取知識，發展能力。

2 “問題探究式”教學模式的操作程序及實施策略

2.1 創設情境提出問題

創設情境提出問題是“問題探究式”教學法的關鍵，是思維的起點。教師在設計每一教學內容時，要根據教學目標要求、教學重點與難點，學生的認知基礎和已有的知識經驗，盡量尋找合適的素材，利用多媒體技術將“形”與“數”有機結合創設圖文聲像并茂的思維情境，集中學生的注意力。然后引導學生通過觀察、分析、抽象，提出與當前學習內容密切相關的富有挑戰性的問題，激發學生探究學習的興趣和求知欲，幫助學生了解問題解決的意義，明確學習目標和要求。

2.2 自主學習探究問題

在通過創設情境提出問題后，學生就進入自主探究解決問題的學習階段。一般來說，對于一些相對容易、簡單的問題，學生會以原有的知識經驗為基礎，按照自己的思維方式提出一些解決問題的初步想法，自主地學習和解決問題。但多數情況下，學生面對要解決的問題，往往是無從下手，找不到進行思考的入口。教師在這個環節的主導作用是給學生提供一個個可供深入思考的支架。也就是說，教師在這個環節里不僅要把相關的學習資源和獲取途徑介紹給學生讓他們自主學習，還要向學生提供圍繞問題解決所設計的系列問題，引導學生去觀察、聯想、類比、發現，揭示知識規律和解決問題的方法、途徑，通過一個個系列問題的解決來一步步實現總問題的解決。

2.3 協作學習解決問題

協作學習實際上發生在學習過程的始終。這里是指在上述系列問題引導下為解決提出的其他相關問題的師生合作，同學間的合作過程。教師可進一步列舉同一類型的其他問題事件，通過學生自己遷移或協作解決問題。在這個環節，教師可通過詢問、答疑、檢查，及時了解和掌握學生學習情況，針對重難點和學生具有共性的問題，進行有的放矢地講解，盡可能地引發學生深層次的思考和再次地交流討論，加深每個學生對當前問題的理解。

2.4 總結反思知識建構

在完成問題解決的基礎上，老師和學生都要進行深入的反思，教師主要反思問題探究式教學過程中問題設置的情況和組織引導學習中存在哪些問題；學生則通過反思整個探究學習的過程，總結和歸納出獲得的知識和方法，并在教師引導下抽象概括成數學理論和方法，提煉出數學模型，使新知識在原有的基礎上得到鞏固和內化。同時，教師還要鼓勵學生對學習成果加以總結和應用，形成新的問題，逐漸培養學生發現問題和提出問題的能力。

2.5 挖掘提煉思想方法

數學知識和數學思想方法是數學教學的兩條主線。數學知識是一條明線，它被明明白白地寫在教材里，而數學思想則是一條暗線，需要教師挖掘、提煉和揭示。教師應以數學知識為載體，有意識地引導學生將隱藏在知識背后的數學思想挖掘、提煉、概括出來，使之由隱形態變為顯形態，使學生由對數學知識、數學方法的朦朧感受、死記硬背轉化為明晰的理解、掌握和靈活運用，最終完成對數學知識、數學方法的本質認識。

3 教學實施案例

導數是微積分的核心概念，從學生所熟悉的實際問題入手，循序漸進、由特殊到一般、由具體到抽象、逐步深入地引出導數定義。

第一環節：創設情境提出問題

情境：一輛行駛的汽車在高速公路上2小時行駛了200千米，用“路程/時間”描述的是什么？如果行駛汽車作變速運動，每個時刻的瞬時速度如何計算？同學們都知道，用“路程/時間”是平均速度，但對每個時刻來說，運動物體行駛的時間和距離都是0，顯然不能用“路程/時間”求瞬時速度，否則會出現“0/0”型的問題。由于出現的問題與學生的思維產生了沖突，激起了學生的興趣，不自覺地進入探究過程。

提出問題：如何求變速直線運動物體的瞬時速度？這里還可列舉同一類型的其他問題事例（如變速直線運動的加速度、曲線的切線斜率、邊際成本等），使學生明確我們所研究解決的是一類問題，很有必要學習。

第二環節：以系列問題引導學生自主探究

教師引導學生：（1）解決問題的關鍵是什么？——如何解決分母不能為0的問題；（2）解決問題的思路與方法是什么？——將時間從一點擴充到一個區間，先研究t=2附近的平均速度，再尋求解決問題的方案。

讓學生自主計算觀察t=2附近不同時間間隔上的平均速度并列表比較，得出t=2秒時瞬時速度是2g（學生用以前學過的公式v(t)=gt驗證結果就是2g）。然后讓學生計算時間段[2,2+Δt]上的平均速度，根據前面的具體計算，學生在頭腦中產生如下思想：把當Δt→0時，平均速度的極限定義為t=2秒時的瞬時速度是合情合理的。在此基礎上，引導學生歸納總結出計算方法和步驟。

問題 2：已知變速直線運動的路程函數 s=f(t)，求t=t0時刻的瞬時速度?

學生能用類比的方法從特殊到一般，寫出結果。

第三環節：知識遷移解決相關問題

在上述探究過程中，學生通過觀察一系列平均速度的逼近變化形成思維的嬗變，升華出瞬時速度的概念，求瞬時速度歸結為求無限縮小的時間段上平均速度的極限。這時教師將前面列舉的同類型的其他事例，讓學生通過自己遷移或相互交流探究解決，并引導學生對平均速度、瞬時速度的認知遷移到平均變化率和瞬時變化率，為下一步建立導數概念做好充分的準備。

第四環節：建構導數概念

這個環節要將具體問題抽象為數學問題，建立數學模型。上述例子的共性是解決非均勻變化變量的瞬時變化率問題，都歸結為求函數的增量與自變量增量的比值，當自變量增量趨向于0時的極限。拋開這些問題的具體含義，而只研究它們提供的數學結構，導數概念就水到渠成被引出了。這樣，學生通過已有的知識框架建構出了新的知識——導數概念。

第五環節：揭示數學思想方法

解決上述系列問題的相同方法是先用已知方法求變量的近似值，再通過取極限得到精確值。這正是前面學習的“用已知逼近未知，用近似逼近精確”極限思想的具體體現和應用。同時還要強調導數是變量y對變量x的變化率，它預示著當某個量等于變量y除以變量x時，求變化率的問題可以利用導數這個工具。至此，學生真正理解了在已有的平均變化率基礎上建構的導數概念的精髓。

4 “問題探究式”教學模式的思考

我們的教學實踐證明問題探究式教學是一種行之有效的教學模式，它改變了傳統教學模式中教師講授學生模仿練習的被動學習方式，強調掌握知識的結構和學習方法，有利于學生把握其基本內容，有利于學生學習知識的系統化和結構化，增強了學生學習的積極性和主動性，培養了學生提出問題、分析問題、解決問題和創造發明的態度和能力，發展了學生的直覺思維、歸納思維、遷移能力、科學的探究精神和習慣。當然，問題探究式教學方式要真正得到有效的實施，既需要教師平時積累大量的構建問題所需要的具有實際應用背景的材料，也需要學生愿意主動配合，這樣才能更好地實現預期的教學目標。

需要指出的是，問題探究式教學模式不是萬能的，我們只有堅持正確的教學指導思想，從數學課程改革的整體上進行綜合考慮，依據“教學有法，但無定法”的原則[3]，創設符合高等數學復雜性和動態性要求的多種教學模式，從而實現教學效果的優化。