g-期望的凸性及其應用*

紀榮林，周津名

(1. 安徽大學數學科學學院，安徽 合肥 230601；2. 合肥師范學院數學與統計學院，安徽 合肥 230601)

為了克服金融風險度量方法VaR的先天性缺陷，Artzner-Delbaen-Eber-Heath[1-2]首次通過公理化假設的方法開創性地引入了一致性風險度量的概念，隨后 F?llmer-Schied[3]和 Frittelli-Rosazza Gianin[4]分別獨立地提出凸風險度量的定義，即用條件較弱的凸性取代一致性風險度量公理化體系中的正齊次性和次可加性。 Detlefsen-Scandolo[5]引入了條件凸風險度量的定義，獲得了條件凸風險度量可表示的充分必要性條件；進一步地，給出了動態凸風險度量定義并研究其時間相容性條件的等價刻畫。關于動態凸風險度量的相關文章請參閱文獻[6-9]等。眾所周知，這種公理化的風險度量理論與非線性數學期望之間存在著緊密的聯系。1997年，山東大學彭實戈院士通過非線性倒向隨機微分方程的解引入了g-期望和條件g-期望的概念[10-11]。g-期望是一類典型的域流相容的非線性數學期望。Rosazza Gianin[12]將g-期望理論與公理化的金融風險度量結合起來，通過條件g-期望誘導出條件凸風險度量，進而通過g-期望誘導出一類時間相容的動態凸風險度量。Jiang[13]通過應用其所獲得的倒向隨機微分方程生成元的表示定理，系統性地建立了g-期望所誘導的 (動態) 凸風險度量與生成元函數g之間的一一對應關系。進一步地，Delbaen-Peng-Rosazza Gianin[14]應用g-期望所誘導的動態凸風險度量的表示結果給出了一類時間相容的動態凸風險度量(動態凹效用)的表示結果。

需要指出的是, Jiang[13]中動態凸風險度量的公理化假設，特別是在條件凸性假設上, 與 Detlefsen-Scandolo[5]是不一致的。由此，一個自然的問題是：在g-期望的框架下，關于動態凸風險度量的這兩種定義方式是否是一致的？在倒向隨機微分方程生成元滿足基本假設條件的前提下，本文致力于研究 g-期望的凸性、條件凸性與生成元函數g之間的一一對應關系，進而證明這兩種定義方式在g-期望框架下是等價的；進一步地，研究了g-期望與其誘導的時間相容的動態凸風險度量之間的對應關系。

1 預備知識

設T是一個給定的正實數，(Bt)t≥0是概率空間(Ω,F,P)上的d-維標準布朗運動，(Ft)t≥0是由該布朗運動生成的完備的σ域流。對每一個正整數n，記|·|為Rn中 Euclid 范數；對任意的z1,z2∈Rn，記z1·z2為向量z1與z2的內積；記L2(Ω,Ft,P)為Ft-可測且平方可積的隨機變量全體; 記L∞(Ω,Ft,P)為Ft-可測且本性有界的隨機變量全體。

考慮如下形式的一維倒向隨機微分方程：

若生成元函數g:[0,T]×Ω×R×Rd→R滿足下述假設條件 (A1) 和 (A2):

(A1) (Lipschitz條件) 存在常數K≥0使得dP×dt-a.s., 對任意的(y1,z1),(y2,z2)∈R×Rd有

|g(t,y1,z1)-g(t,y2,z2)|≤

K(|y1-y2|+|z1-z2|)

(A3) dP×dt-a.s., 對任意的y∈R有g(t,y,0)=0。

則由Pardoux-Peng[10]知, 對任意的ξ∈L2(Ω,FT,P), 上述倒向隨機微分方程存在唯一一對平方可積的適應解，記為(Yt(g,T,ξ),Zt(g,T,ξ))t∈[0,T]。進一步地，若生成元函數g還滿足假設條件(A3)，Peng[11]用Eg[ξ]表示Y0(g,T,ξ)，稱Eg[ξ]為ξ的g-期望；用Eg[ξ|Ft]表示Yt(g,T,ξ)，并稱Eg[ξ|Ft]為ξ關于Ft的條件g-期望。

接下來，我們引入本文的重要的引理，下述引理來自文獻[13]的定理3.2。

引理1 設生成元g滿足 (A1) 和 (A3)，則以下陳述等價：

(i)g獨立于y且關于z是凸的，即對任意的z1,z2∈Rd，λ∈[0,1]，有

g(t,λz1+(1-λ)z2)≤

λg(t,z1)+(1-λ)g(t,z2),

dP×dt-a.s.

(ii) 對任意的X,Y∈L2(Ω,FT,P)，λ∈[0,1]，有

Eg[λX+(1-λ)Y]≤

λEg[X]+(1-λ)Eg[Y]

(iii) 對任意的t∈[0,T],X,Y∈L2(Ω,FT,P),λ∈[0,1], 有

Eg[λX+(1-λ)Y|Ft]≤

λEg[X|Ft]+(1-λ)Eg[Y|Ft],P-a.s.

為方便讀者起見，我們回顧文獻[5]中動態凸風險度量的公理化定義，如下：

定義1 稱ρs,t(·):L∞(Ω,Ft,P)→L∞(Ω,Fs,P)，0≤s≤t≤T，為條件凸風險度量，若其在P-a.s.意義下滿足：

(i) 單調性: 若X≥Y, 則ρs,t(X)≤ρs,t(Y)。

(ii) 平移不變性: 對任意的Y∈L∞(Ω,Fs,P), 有ρs,t(X+Y)=ρs,t(X)-Y。

(iii) 條件凸性: 對任意的λ∈L∞(Ω,Fs,P),λ∈[0,1],有

ρs,t(λX+(1-λ)Y)≤λρs,t(X)+(1-λ)ρs,t(Y)

(iv) 標準化:ρs,t(0)=0。

定義2 稱 (ρs,t)0≤s≤t≤T為動態凸風險度量，若其對任意的0≤s≤t≤T，ρs,t(·)均為條件凸風險度量。進一步地，稱動態凸風險度量(ρs,t)0≤s≤t≤T是時間相容的，若對任意的r∈[s,t]，X∈L∞(Ω,Ft,P)，有

ρs,t(X)=ρs,r(-ρr,t(X))

2 主要結果

定理1 設生成元g滿足 (A1) 和 (A3), 則以下陳述等價：

(i)g獨立于y且關于z是凸的, 即對任意的z1,z2∈Rd，λ∈[0,1]，有

g(t,λz1+(1-λ)z2)≤

λg(t,z1)+(1-λ)g(t,z2),dP×dt-a.s.

(ii)Eg[·]滿足凸性，即對任意的X,Y∈L∞(Ω,FT,P)，λ∈[0,1]，有

Eg[λX+(1-λ)Y]≤λEg[X]+(1-λ)Eg[Y]

(iii)Eg[·|Ft] 滿足條件凸性, 即對任意的t∈[0,T],X,Y∈L∞(Ω,FT,P),λ∈L∞(Ω,Ft,P),λ∈[0,1], 有

Eg[λX+(1-λ)Y|Ft]≤

λEg[X|Ft]+(1-λ)Eg[Y|Ft],P-a.s.

證明(iii)?(ii)是顯然的。由引理1易證(ii)?(i)成立。下證 (i)?(iii)。首先, 考慮參數λ是簡單函數時的情形，即

故對任意的 (y,z)∈R×Rd，

1Aig(t,y,z)=g(t,1Aiy,1Aiz),i=1,2,…,N

注意到對每一個i, 均有

從而

類似可得

Yt=λX+(1-λ)Y+

對每一個i=1,2,…,N，注意到g是獨立于y且關于z是凸的, 結合xi∈[0,1], 可得

由g-期望的定義及倒向隨機微分方程的比較定理立得

λEg[X|Ft]+(1-λ)Eg[Y|Ft]

接下來，考慮一般情形下的參數λ。對任意的λ∈L∞(Ω,Ft,P),λ∈[0,1]，選取L∞(Ω,Ft,P)中收斂于λ的簡單函數列{λi}，其中對每一i，λi∈L∞(Ω,Ft,P)，λi∈[0,1]。由倒向隨機微分方程解的連續依賴性(參閱Peng[11])知

EP[|Eg[λiX+(1-λi)Y|Ft]-

Eg[λX+(1-λ)Y|Ft]|2]≤

CT,KEP[|(λi-λ)(X-Y)|2]→0

其中，CT,K為僅依賴于T,K的非負常數。故對任意的t∈[0,T]，X,Y∈L∞(Ω,FT,P)，λ∈L∞(Ω,Ft,P)，λ∈[0,1]，有

Eg[λX+(1-λ)Y|Ft]≤

λEg[X|Ft]+(1-λ)Eg[Y|Ft],P-a.s.

證畢。

易驗證, 對任意的X,Y∈L2(Ω,FT,P), 定理 1 中的論斷依然成立, 結合引理1立得下述命題, 從而說明在g-期望的框架下, Jiang[13]中動態凸風險度量的公理化假設與Detlefsen-Scandolo[5]是完全一致的。

命題1 設生成元g滿足 (A1) 和 (A3)，則以下陳述等價：

(i)Eg[·]是凸g-期望，即對任意的X,Y∈L2(Ω,FT,P)，λ∈[0,1]，有

Eg[λX+(1-λ)Y]≤

λEg[X]+(1-λ)Eg[Y]

(ii)Eg[·|Ft]滿足條件凸性，即對任意的t∈[0,T]，X,Y∈L2(Ω,FT,P)，λ∈L2(Ω,Ft,P)，λ∈[0,1]，有

Eg[λX+(1-λ)Y|Ft]≤

λEg[X|Ft]+(1-λ)Eg[Y|Ft],P-a.s.

接下來, 我們探討g-期望與其誘導的時間相容的動態凸風險度量之間的對應關系。

定理2 設生成元g滿足 (A1) 和 (A3)。對任意的0≤s≤t≤T，令

則以下陳述等價:

(i)Eg[·]是凸g-期望。

(ii) (ρs,t)0≤s≤t≤T是時間相容的動態凸風險度量，且對任意的0≤s≤t≤T，ρs,t滿足從上連續性，即若Xn↓X,P-a.s.，則ρs,t(Xn)↑ρs,t(X),P-a.s.

證明首先, 我們證明 (ii)?(i)成立。事實上，由(ρs,t)0≤s≤t≤T是動態凸風險度量知，對任意的t∈[0,T],ρt,T為條件凸風險度量。特別地，ρ0,T為凸風險度量。從而由凸風險度量的公理化定義知，對任意的X,Y∈L∞(Ω,FT,P),λ∈[0,1]，有

ρ0,T(λX+(1-λ)Y)≤

λρ0,T(X)+(1-λ)ρ0,T(Y)

結合ρ0,T(X)=Eg[-X|F0]=Eg[-X],?X∈L∞(Ω,FT,P)，得

Eg[λ(-X)+(1-λ)(-Y)]≤

λEg[-X]+(1-λ)Eg[-Y],

?X,Y∈L∞(Ω,FT,P)

即Eg[·]是凸g-期望。

下證 (i)?(ii)成立。對任意的0≤s≤t≤T，由定理 1 知生成元g獨立于y且關于z是凸的，且條件g-期望Eg[·|Fs]滿足條件凸性。進一步地，結合倒向隨機微分方程的比較定理、解的存在唯一性，Peng[11]g-期望的平移不變性、保常數性、連續依賴性等，可知Eg[·|Fs] 在P-a.s. 意義下滿足下述性質：

(a) 對任意的X,Y∈L∞(Ω,Ft,P), 若X≥Y, 則Eg[X|Fs]≥Eg[Y|Fs]。

(b) 對任意的X∈L∞(Ω,Ft,P),Y∈L∞(Ω,Fs,P), 有

Eg[X+Y|Fs]=Eg[X|Fs]+Y

(c) 對任意的X∈L∞(Ω,Ft,P),Y∈L∞(Ω,Fs,P),λ∈[0,1],有

Eg[λX+(1-λ)Y|Fs]≤

λEg[X|Fs]+(1-λ)Eg[Y|Fs],P-a.s.

(d)Eg[0|Fs]=0。

(e) 對任意的X∈L∞(Ω,Ft,P),r∈[s,t], 有

Eg[Eg[X|Fr]|Fs]=Eg[X|Fr∧s]=Eg[X|Fr]

(f) 若Xn,X∈L∞(Ω,Ft,P)且Xn→X, 則Eg[Xn|Fs]→Eg[X|Fs]。

由ρs,t(X)=Eg[-X|Fs],X∈L∞(Ω,Ft,P), 結合性質 (a)-(d) 可知ρs,t為條件凸風險度量, 且由性質 (a) 和 (f) 得，條件凸風險度量ρs,t滿足從上連續性。進一步地，由時間參數s和t選取的任意性知，(ρs,t)0≤s≤t≤T是動態凸風險度量，從而由性質 (e) 立得 (ρs,t)0≤s≤t≤T是時間相容的動態凸風險度量。證畢。