Banach空間中GC(0,e)類廣義發展算子的一致指數不穩定性*

岳田，宋曉秋

(1. 湖北汽車工業學院理學院，湖北 十堰 442002；2. 中國礦業大學數學學院，江蘇 徐州 221116)

除了指數穩定性以外，近年來關于發展方程的指數不穩定性方面也獲得了極大的關注[8-12]。 如文獻[8]利用容許性方法、文獻[9-10]利用賦范函數空間的方法探討了線性斜積半流的指數不穩定性的存在條件。文獻[11-12]分別給出了Banach空間中線性斜演化半流的一致指數不穩定性和非一致指數不穩定性的若干刻畫。

作為傳統發展算子的推廣，葛照強與馮德興在文獻[13]中定義了一種新的廣義發展算子，即在Banach空間X上具有性質(ii)(見定義1)，文中對其存在性、唯一性進行了相關探討。在文獻[14]中，作者討論了廣義發展算子一致指數穩定性的充要條件，所得結果在研究時變廣義分布參數系統的穩定性方面將有重要的價值。值得注意的是，文獻[14]中結果可以判定系統Ex′(t)=A(t)x(t)的穩定性，這樣彌補了利用單參數半群或發展算子不能判定此系統穩定性的缺陷。本文的主要目的是研究GC(0,e)類廣義發展算子的一致指數不穩定性。

1 預備知識

(i)f(t)>0,?t>0；

F2表示所有滿足如下性質的非減連續函數f:R+→R+構成的集合：

(i)f(t)>0,?t>0；

定義1[14]設E∈B(X)。Φ(t,s):Δ→B(X)稱為由E引導的GC(0,e)類廣義發展算子，或簡稱GC(0,e)類廣義發展算子，如果它滿足如下四條性質：

(i) Φ(s,s)=Φ0,s∈[0,∞)，其中Φ0∈B(X)；

(ii) Φ(t,r)EΦ(r,s)=Φ(t,s),?(t,r),(r,s)∈Δ；

(iii)Φ(·,s)在[s,∞)上強連續且Φ(t,·)在[0,t]上強連續；

定義2GC(0,e)類廣義發展算子Φ(t,s)稱為一致指數不穩定的如果存在常數K>0和v>0使得對所有t≥s≥0和x∈X，有

(1)

2 主要結果

定理1 設Φ(t,s)是GC(0,e)類廣義發展算子，則Φ(t,s)一致指數不穩定的充要條件是存在兩個常數h>0和q>1使得對每個x∈X和s≥0存在τx,s∈(0,h]滿足

(2)

記s0=t0=0。由數學歸納法可以找到一個序列(tn)n∈N,(tn∈(0,h],n∈N+)使得

(3)

設t≥0，則存在n∈N使得sn≤t

進而

(4)

充分性。依據函數φ的性質可知存在常數δ>0使得φ(δ)<1，易知對任一(t,s)∈Δ存在n∈N和l∈[0,δ)使t-s=nδ+l。進而由已知條件可得

(5)

定理3 設Φ(t,s)是單射GC(0,e)類廣義發展算子，則Φ(t,s)一致指數不穩定的充要條件是存在函數f∈F1及常數C>0使得對于任一x∈X{0}及s≥0，有

(6)

證明必要性。如果Φ(t,s)是一致指數不穩定的，則由定義存在K>0,v>0使得對于任一x∈X{0}及s≥0，有

充分性。利用反證法。如果Φ(t,s)不是一致指數不穩定的，根據定理1可得，對所有h>0及q>1存在s0≥0和x0∈X使得對所有τ∈(0,h]，有

(7)

特別地，對h=Cf(2)及q=2成立。由式(7)有

這與式(6)矛盾。因此，Φ(t,s)是一致指數不穩定的。

定理4 設Φ(t,s)是單射GC(0,e)類廣義發展算子，則Φ(t,s)一致指數不穩定的充要條件是存在函數f∈F2及常數C>0使得對于任一x∈X{0}及s≥0，式(6)成立。

證明必要性。令f(t)=t即可。

這與式(6)矛盾。因此，Φ(t,s)是一致指數不穩定的。

注2 定理3與定理4針對GC(0,e)類廣義發展算子，將指數穩定性理論中若干經典結論[3-4,14]推廣到了一致指數不穩定性情形。

推論2 設Φ(t,s)是單射GC(0,e)類廣義發展算子，則Φ(t,s)一致指數不穩定的充要條件是存在常數p>0及C>0使得對于任一x∈X{0}及s≥0，有

(8)

證明在定理3中令f(t)=tp即可。

注3 推論2針對GC(0,e)類廣義發展算子，將指數穩定性理論中Datko[1]型結論推廣到了一致指數不穩定性情形。

下面推論將給出定理3與定理4的離散情形。

推論3 設Φ(t,s)是單射GC(0,e)類廣義發展算子，則Φ(t,s)一致指數不穩定的充要條件是存在函數f∈F1∪F2及常數C′>0使得對于任一x∈X{0}及s≥0，有

(9)

證明令f(t)=t可得必要性。

充分性。 設

若f∈F1，由式(9)，對于任一x∈X{0}及s≥0，有

如果f∈F2，對于任一x∈X{0}及s≥0，有

利用定理3和定理4可知Φ(t,s)是一致指數不穩定的。

推論4 設Φ(t,s)是單射GC(0,e)類廣義發展算子，則Φ(t,s)一致指數不穩定的充要條件是存在常數C′>0使得對于任一x∈X{0}及s≥0，有

(10)

證明在推論3中令f(t)=t即可。

定理5 設Φ(t,s)是單射GC(0,e)類廣義發展算子，則Φ(t,s)一致指數不穩定的充要條件是存在常數C>0和α>0使得對于任一x∈X{0}及(t,s)∈Δ，有

(11)

證明必要性。如果Φ(t,s)是一致指數不穩定的，則由定義2存在K>0,v>0使得對于任一x∈X{0}及(t,s)∈Δ，有

充分性。如果Φ(t,s)不是一致指數不穩定的，設h>0滿足eαh>1+2αhC，其中C和α由式(11)給出，由定理1，對q=2存在s0≥0及x0∈X{0}使得對所有的τ∈(0,h]，式(7)成立。從而對t=s0+h，有

這與式(11)矛盾。因此，Φ(t,s)是一致指數不穩定的。