自相關過程的EWMA殘差控制圖的設計與性能評價

尚云艷，郭鵬江,夏志明

（1.西京學院a.理學院；b.科研處；2.西北大學 數學學院，西安 710123）

0 引言

統計過程控制（SPC）已在制造業得到了廣泛應用，相關研究已比較成熟，其目的是用來監控生產過程，檢測異常波動，尋找并消除產生異常波動的原因。控制圖是實施過程監控的有效工具，它的使用基于一個重要的假設，即過程受控時產生的數據是獨立且服從正態分布的。但是實際數據通常表現出某種程度的自相關性[1]，如宏觀經濟、金融數據等均表現出不同程度的相關性。在違背獨立性假設的情況下，如果在原始數據上直接應用傳統控制圖，則會使得控制圖的誤報率增加。為更有效地監控生產過程，眾多學者提出殘差控制圖，即先擬合自相關過程的時間序列模型，再利用擬合模型的殘差相互獨立且服從正態分布的特性，以傳統控制圖直接監控殘差序列值。

傳統控制圖對中小漂移檢測的靈敏性參差不齊，因此，為提高中小漂移的檢測效能，Roberts（1959）[2]提出了指數加權移動平均（EWMA）控制圖，EWMA控制圖的特點是利用了歷史數據，且該控制圖可以對不同階段的數據取不同的權重，距今越近的數據權重越大，距今越遠的數據權重越小，它主要檢測統計過程控制中的微小波動。

Zhang（1997）[3]定義了檢測能力指數，將其應用于廣義平穩隨機過程模型，通過蒙特卡洛模擬，與傳統控制圖相比較，在調整廣義平穩隨機過程模型的參數條件下，殘差控制圖對中小漂移的檢測效能得到提升；張志雷（2012）[4]基于同樣的思想將信噪比指標應用于自相關控制圖，通過蒙特卡洛模擬，與傳統控制圖方法相比較，在調整ARMA模型參數的條件下，自相關控制圖對中小漂移的檢測效能同樣得到提升。

目前還沒有把過程檢測能力指數思想與EWMA殘差控制圖方法相結合的研究，因此，本文在尚云艷等（2015）[5]的基礎上將檢測能力指數應用于基于二階自相關過程(AR(2))的EWMA殘差控制圖，根據EWMA殘差控制圖檢測能力的強弱，調整AR(2)模型的參數，運用蒙特卡羅模擬方法將其與傳統殘差控制圖和自相關殘差控制圖進行比較分析其性能。

1 建立模型

由王振龍（2010）[6]可知 AR(2)模型：

其中，Xt(X0=0)是零均值化的序列變量值（t=1，2，…），φ1，φ2是模型參數，且滿足約束：φ1+φ2＜1，

是隨機誤差項。一般地，通常對模型做以下假設：

假設2：自變量序列Xt只與Xt-1，Xt-2有關，與Xt-3，…，Xt-p(p＞2)無關，也與隨機誤差項εt不相關，即Cov(εt，Xt-k)=0 ，k=1，2，…。并且，如果E(Xt)=0 ，則過程受控；若E(Xt)=δσε（當δ≠0時），則過程失控。

2 構造EWMA統計量

2.1 基于AR(2)模型的殘差

將參數估計值φ1、φ2代入模型（1）計算殘差，即：

且依據自相關過程可知：

殘差序列的自協方差函數為(k=1，2，...)：

根據尚云艷等（2015）[5]假設均值隨時間變化，則自相關序列滿足：

假設t=0和t=1時刻均值從0漂移δσx，則殘差序列：

若假設過程均值不再發生變化，則殘差序列可以統一用式（4）表示：

由上述分析可見，當過程均值發生漂移以后，第一個時刻殘差的均值為δσx，但是自相關過程很快作出反應，第二個時刻殘差的均值變為δσx(1-φ1)，第三個時刻殘差的均值變為δσx(1-φ1-φ2)。當自相關參數φ1+φ2→1時，隨后的殘差與過程剛發生偏移時的殘差相比會變得非常小，而難于檢測出過程的偏移。由式（4）可知，當φ1+φ2為負或者為正且取值較小時，均值的變化對殘差的影響增強了，即在該條件下，殘差控制圖的靈敏度將有所提高。

2.2 過程檢測能力指數

Zhang（1997）[3]給出過程檢測能力指數的定義：

f(t)是殘差控制圖在過程均值發生漂移δσε時（即t時刻）檢測能力大小的一種度量，f(t)的值只取決于參數φ1、φ2、ρ1、ρ2的大小，與均值漂移δσε大小無關。當f(t)＞1時，殘差控制圖在t時刻的檢測能力指數比傳統控制圖在t時刻的檢測能力指數強，即表明殘差控制圖在t時刻的檢測能力增強；反之，當f(t)＜1時，表明殘差控制圖在t時刻的檢測能力減弱。

對AR(2)過程，當φ1+φ2或者φ2-φ1→1，1-φ1ρ1-φ2ρ2→0時，f(t)→∞，即AR(2)過程不平穩時，f(t)的值將會變得比較大，表明該時刻檢測漂移的能力比較強；對AR(1)過程，當 |φ1|→1，φ2=0時，f(t)→∞ ，即AR(1)模型平穩時，t時刻的過程檢測能力很強。

特別地，當φ1=φ2=0時，有f(t)=1，表明{Xt}是一獨立的變量序列（反之亦成立），此時殘差控制圖和傳統均值控制圖的檢測能力相同。

根據Zhang（1997）[3]定理1：對于平穩過程AR(2)：

2.3 EWMA殘差統計量

對式（3）采用指數加權移動平均法得到統計量Zt，t=0，1，2，…，即：

若模型（1）開始時受控，則統計量Z0的期望為0，E(Z0)=δσx(δ=0)；若模型（1）開始時失控，則統計量Z1的期望和方差分別是E(Z1)=δ(1-φ1)σx(δ≠0)，E(Z2)=δ(1-根據式（5）可得，當t＞1，...時，該過程的檢測能力指數f(t)=

綜上所述,基于AR(2)模型的EWMA殘差控制圖控制線為：

其中,k為控制線系數。

3 控制圖性能比較與分析

一般地，對于控制圖的比較，都是在相同條件下比較，即在受控平均運行長度相同的情況下，比較失控平均運行長度。如果平均運行長度越短，說明控制圖性能越好，越長則越說明該控制圖的性能越不好。

運用Matlab軟件給出一個滿足模型（1）的AR(2)平穩過程，通過給定不同參數值，作10000次模擬運算，獲得在不同漂移大小下各控制圖的ARL值，具體結果見表1。

表1 不同參數φ1，φ2、δ下的控制圖的ARL對比

當過程參數不同時，為便于比較，記φ1=1.5，φ2=-0.7為過程I，φ1=1.5，φ2=-0.95為過程II，根據式（2）過程I和過程II的一、二階自相關系數結果均大于0，過程I的參數滿足φ1+φ2-φ22＞0，有f(t)=0.5951＜1；過程II的參數滿足φ1+φ2-φ22＜0，有f(t)=2.5554＞1，即過程均值發生漂移時，過程I的檢測能力比過程II弱。從表1也可以看出，在過程均值發生0.5σε漂移時，過程I的自相關殘差控制圖和EWMA殘差控制圖的失控ARL分別是258.5369和224.7687，均大于過程II的34.5419和22.6026。同樣的，記φ1=-0.1,φ2=0.4為過程III，φ1=-0.5，φ2=0.4 為過程IV，過程III和過程IV的一階自相關系數均小于0，但是當過程均值發生漂移時，過程IV的失控ARL均小于過程III的失控ARL。可見當參數滿足φ1+φ2-φ22＜0，傳統殘差控制圖、自相關殘差控制圖和EWMA殘差控制圖的靈敏度均有所提高。

當過程參數相同時，且參數滿足φ1+φ2-φ22＜0，自相關殘差控制圖與傳統殘差控制圖相比較：自相關殘差控制圖檢測性能好，比如當φ1=1.5，φ2=-0.95,δ=0.5時，自相關殘差控制圖的平均運行長度ARL=34.5419是傳統殘差控制圖ARL=157.8806五分之一；EWMA殘差控制圖與傳統殘差控制圖相比較：EWMA殘差控制圖檢測性能好，比如當φ1=1.5，φ2=-0.95,δ=0.5時，EWMA殘差控制圖的平均運行長度ARL=22.6026是傳統殘差控制圖ARL=157.8806的七分之一；自相關殘差控制圖與EWMA殘差控制圖相比較:當φ1=1.5，φ2=-0.95,δ=2.0 ，EWMA殘差控制圖的ARL=3.0517較自相關殘差控制圖的ARL=3.0732小，可見，雖然差距不是很明顯，但EWMA殘差控制圖可以提高對中小漂移的檢測效率。

但是當φ1+φ2-φ22＞0時，自相關殘差控制圖和EWMA殘差控制圖的檢測效率較傳統殘差控制圖逐漸變弱，即傳統殘差控制圖不受參數取值的影響，其表現結果都一致的好，而當φ1+φ2-φ22＞0時，自相關殘差控制圖和EWMA殘差控制圖檢測效率偏慢。

在實際生產中，數據都是存在自相關性的，那么殘差必會受到相關系數的干擾。這時如果使用傳統殘差控制圖檢測時可能會產生更多的虛發警報，而自相關殘差控制圖和EWMA殘差控制圖是考慮到相關系數對均值漂移值的影響進行的檢驗。根據表1，當φ1+φ2-φ22＜0時，自相關殘差控制圖和EWMA殘差控制圖，檢測效果一致的好；同時，無論φ1+φ2-φ22＜0和φ1+φ2-φ22＞0時，EWMA殘差控制圖都要比自相關殘差控制圖效果還要好。

4 結束語

本文通過自相關過程的EWMA殘差控制圖的設計與實驗模擬,證明了該控制圖提高了針對自相關過程發生中小漂移檢測的靈敏度；雖然之前在AR(1)上討論EWMA控制圖對中小漂移檢測效率很高，但是并沒有系統給出自相關過程的檢測漂移能力強弱的判斷方法。綜上所述，本文提出的方法應用到實踐，可以提高檢測效率帶來實際的經濟效益，為了進一步提高檢測效率，還可以考慮基于似然比統計量的控制圖。