子午線收斂角和長度比復變函數表示的實數解

金立新，魏桂華，許常文

(1. 中鐵第一勘察設計院集團有限公司，陜西 西安 710043；2. 甘肅鐵道綜合工程勘察院有限公司，甘肅 蘭州 730000)

高斯投影是等角橫切橢圓柱投影，其必須滿足3個條件[1-3]:高斯投影為正形投影，即等角投影；中央子午線投影后為直線，且為投影的對稱軸；中央子午線投影后長度不變。

有些學者研究了用復變函數表示的高斯投影[4-6]正反解，公式比較簡潔，但需要復數迭代。文獻[7]給出了基于復數等角緯度、復數底點緯度表示的高斯投影復變函數非迭代解，但復變函數只能用專用軟件計算，故推廣使用受到一定影響。文獻[8—9]研究了復變函數表示的球面高斯投影公式，并給出了與橫墨卡托公式的等價性證明。文獻[10]研究了復變函數表示的高斯投影近似式，其特征是采用了橢球面在球面的局部描寫，且計算精度較低，只能達到0.3 m。文獻[11]在文獻[7]的基礎上，給出了高斯投影正反解復變函數表示的實數解，也給出了高斯投影正解子午線收斂角和長度比的實數解，但未給出反解子午線收斂角和長度比的實數解。

本文在文獻[12]的基礎上，進一步研究長度比和子午線收斂角的實數解公式。子午線弧長對等量緯度q的導數和子午線弧長對等角緯度φ的導數分別為

(1)

對式(1)進行解析開拓，即有復數平面坐標對復數等量緯度的導數函數[4-7]，復數平面坐標對復數等角緯度Φ的導數函數[4-7]，也都是解析函數，公式為

(2)

式(2)即解析函數的復數歸化緯度表示。式中，z=x+iy為復數平面坐標；w=q+il為復數等量緯度。將U定義為復數歸化緯度，cosU為復數歸化緯度的余弦函數。

用復變函數的觀點看，長度比和子午線收斂角是解析函數在某點處的導數[4-7]。顧及r=acosu，則式(2)變化為

(3)

式(3)即解析函數導數的復數歸化緯度表示。式中，m、γ分別為長度比、子午線收斂角，即

子午線收斂角取負號，是由于復變函數的方向定義與高斯投影定義的方向相反。由此可見，欲求得長度比和子午線收斂角，關鍵是求得歸化緯度和復數歸化緯度的表達式。

1 正解歸化緯度公式推導

橢球面到平面的正形投影基本方程[12-14]為

z=x+iy=f(q+il)=f(w)

(4)

由復數等角緯度計算的高斯坐標公式[7]為

(5)

根據文獻[11]，復數等角緯度的虛實部分開形式為

(6)

虛實部分開，即有高斯平面坐標[11]為

(7)

式中系數參見式(41)。N為系數項的項數，式(41)中N=5，實際上可以達到N=8。

由式(6)中的?x、?y對等量經度、等量緯度l、q分別求導數，可得

由式(7)對復數等角緯度的虛實部分別求導數

由式(7)對等量經度、等量緯度l、q分別求導數

不難驗證

表明高斯平面坐標表達為等量大地坐標的函數，是解析函數，滿足柯西黎曼條件，是正形投影。即滿足了高斯投影正解的第一個條件。

中央子午線成為縱坐標軸，縱坐標即為子午線弧長。顧及tanφ=sinhq，則有

即滿足了高斯投影正解的第二個條件。

此時有平行圈半徑(等量緯度表示)為

(8)

由式(8)，顧及r=acosu，得歸化緯度(等量緯度表示)為

(9)

由式(10)得歸化緯度(等角緯度表示)為

(10)

由式(10)，等角緯度表示的歸化緯度，變化為

(11)

利用余弦函數積化和差公式

式(10)變化為

進一步歸納為

(12)

式中，m1=(j0+j2)；m3=(j2+2j4)；m5=(2j4+3j6)；m7=(3j6+4j8)；m9=(4j8+5j10)。

2 正解子午線收斂角和長度比

正解中，欲求得子午線收斂角和長度比，關鍵是將等量緯度、等角緯度表示的歸化緯度解析開拓為復數歸化緯度。

式(12)解析開拓為復數歸化緯度余弦，并顧及式(6)，有

(13)

利用復數三角函數公式

cos[(2n-1)(?x+i?y)]=cos(2n-1)?xcosh(2n-1)?y-

isin(2n-1)?xsinh(2n-1)?y

并令

(14)

式(13)虛實部分開，即有

cosU=M-iN

(15)

式(15)代入式(3)，即有

(16)

則長度比、子午線收斂角分別為

(17)

(18)

式(17)、式(18)即為由等量坐標q、l表示的長度比和子午線收斂角。

對于中央子午線，有

(19)

式(19)表明在中央子午線上，尺度比為1，即滿足了高斯投影正解的第三個條件。

對于赤道，有

長度比隨著經度增加而增大，隨著緯度增加而減小。子午線收斂角隨著經度增加而增大，隨著緯度增加而增大。中央子午線上長度比為1，為最小值，離開中央子午線，均大于1。中央子午線及赤道上，子午線收斂角均為0。

3 反解歸化緯度公式推導

平面到橢球面的正形投影基本方程為

W=q+il=F(x+iy)=F(Z)

(20)

由等角緯度計算的等距離緯度計算式為

(21)

由等距離緯度計算的等角緯度計算式為

(22)

由復數等距離緯度計算的復數等角緯度計算式為

(23)

或

(24)

利用公式

(25)

式(24)虛實部分開，即有

(26)

式中系數參見式(42)。N為系數項的項數，式(42)中N=5，實際上可以達到N=8。

則有等量緯度、等量經度為

(27)

然后，由等角緯度與等量緯度的關系，計算等角緯度

(28)

由式(12)歸化緯度與等角緯度的關系，計算歸化緯度

(29)

式(29)進一步歸納為

(30)

從式中可以看出，歸化緯度依賴于高斯平面坐標的縱坐標與橫坐標。式(30)可以直接求取歸化緯度，進而求得大地緯度。方法是利用大地緯度與歸化緯度的閉合公式，如下

(31)

由式(27)，等量緯度、等量經度分別對復數等角緯度虛、實部求導，得

由式(26)，等角緯度虛實部分別對高斯平面坐標求導，得

由式(27)，等量緯度、等量經度分別對高斯平面坐標求導，得

不難驗證

即式(27)滿足柯西黎曼條件，即滿足了高斯投影反解的第一個條件。

縱坐標軸成為中央子午線，顧及tanφ=sinhq，則有

橫坐標軸成為赤道，有

即滿足了高斯投影反解的第二個條件。

4 反解子午線收斂角和長度比

反解中，欲求得子午線收斂角和長度比，關鍵是將等距離緯度、高斯投影平面坐標表示的歸化緯度解析開拓為復數歸化緯度。

式(30)解析開拓為復數歸化緯度余弦，并顧及式(6)，有

(32)

根據文獻[11]，復數等角緯度的虛實部分開形式為

(33)

利用復數三角函數公式

cos[(2n-1)(φx+iφy)]=cos(2n-1)φxcosh(2n-1)φy-

isin(2n-1)φxsinh(2n-1)φy

式(32)虛實部分開，即有

cosU=P-iQ

(34)

并令

(35)

式(34)代入式(3)，即有

(36)

長度比、子午線收斂角分別為

(37)

(38)

對于中央子午線，有

(39)

式(39)表明在中央子午線上，尺度比為1，即滿足了高斯投影反解的第三個條件。

對于赤道，有

長度比隨著橫坐標增加而增大，隨著縱坐標增加而減小。子午線收斂角隨著橫坐標增加而增大，隨著縱坐標增加而增大。中央子午線上長度比為1，為最小值，離開中央子午線，均大于1。中央子午線及赤道上，子午線收斂角均為0。

5 步驟及算例

5.1 高斯投影正解的計算步驟

首先，由大地緯度B計算等量緯度

q=arctanh(sinB)-e·arctanh(esinB)

(40)

其次，根據式(6)，由等量大地坐標q、l求出復數等角緯度Φ的虛實部分開形式?x、?y。

然后，由式(10)計算歸化緯度余弦。由式(14)計算復數歸化緯度余弦的虛實部，即過渡變量M、N。

正解系數為

(41)

最后，由式(17)、式(18)計算長度比、子午線收斂角。

5.2 高斯投影反解的計算步驟

首先，計算底點緯度半徑R=aj0。

其次，由式(25)計算復數等角緯度的虛實部分開形式φx、φy。由式(29)、式(30)計算歸化緯度余弦、等量經度cosu、l。

反解系數為

(42)

然后，由式(31)計算大地緯度，由式(36)計算過渡變量P、Q。

最后，由式(38)、式(40)計算長度比、子午線收斂角。

5.3 算 例

采用CGCS2000橢球元素，利用本文推導的公式，編制mathematica計算機代數系統程序，按照先正解、后反解的順序，計算幾個點的長度比和子午線收斂角，結果見表1。

從表1可以看出：反解的長度比和子午線收斂角與正解的長度比和子午線收斂角，完全一致。

6 結 論

(1) 本文定義了復數平行圈半徑、復數歸化緯度，補充了高斯投影復數理論，豐富了高斯投影理論。

(2) 給出了正反解長度比、子午線收斂角的新公式，對于研究高斯投影的機理、性質有一定意義。

(3) 基于復數緯度的實數解，突破經典高斯投影帶寬的限制，適應半帶寬可非常接近90°，可以實現圖形信息的連續表達，對于高斯投影理論有一定改善。

表1 計算結果