三 角 代 數 上 的 導 子

馬 晶， 羅志君， 李 霞

(吉林大學 數學學院， 長春 130012)

設R是有單位元的交換環，A,B是R上的單式代數，M是一個非零(A,B)-單式雙模， 則形式矩陣的集合

文獻[1]應用三角代數研究了半遺傳環的對稱行為， 并給出了一個是左半遺傳環但不是右半遺傳環的經典例子； 文獻[2]指出了三角代數是廣義的三角矩陣環， 并利用三角代數研究了遺傳半素環的結構. 由于三角代數的定義是形式上的， 因此文獻[3]稱其為形式三角矩陣代數.

設R是有單位元的交換環，A是R上有單位元的結合代數， 如果對任意的a,b∈A, 都有

d(ab)=d(a)b+ad(b),

則R-加性映射d:A→A稱為A上的導子. 目前， 關于素環上導子的研究已有許多結果[4-6]: 文獻[5]證明了若半素環R上的導子d使得對R的一個非零理想I中的任意元素x,y都有

d([x,y])=±[x,y]，

則I是R的中心理想； 特別地， 如果I=R， 則R是交換環; 文獻[6]對素環上的廣義導子討論了類似的問題， 證明了： 如果素環R上的廣義導子F在R上滿足下列廣義恒等式之一， 則R是交換環：

F([x,y])=[x,y];F([x,y])=-[x,y];F(x°y)=x°y;F(x°y)=-x°y.

文獻[7]和文獻[8]分別討論了三角代數T上滿足廣義恒等式

[D(X),D(Y)]=0,D(Xm)Xn-XnG(Xm)=0,

[D(X),X]lX-X[G(X),X]l=0, [D(X)X,-XG(X),X]l=0

的導子的性質， 其中[X,Y]l=[[X,Y]l-1,Y]. 文獻[9]討論了三角代數上的交換映射.

(1)

且對任意的a∈A,b∈B,x∈M, 有

f(ax)=dA(a)x+af(x),f(xb)=f(x)b+xdB(b).

(2)

證明： 設D是T上形如式(1)的導子， 因為f=0, 故由式(2)可知： 對任意的a∈A,b∈B,x∈M, 有dA(a)x=0,xdB(b)=0, 再由M的忠實性可得dA=0,dB=0. 證畢.

證明： 設D是T上形如式(1)的導子， 則由式(2)可知對任意的a∈A,b∈B,x∈M, 有

kax=f(ax)=dA(a)x+af(x)=dA(a)x+kax,

kxb=f(xb)=f(x)b+xdB(b)=kxb+xdB(b).

于是對任意的a∈A,b∈B,x∈M, 有dA(a)x=0,xdB(b)=0. 再由M的忠實性得dA=0,dB=0. 證畢.

由引理3可知， 對任意的c∈A,d∈B,y∈M, 有k(ay+xd)=k(cx+yb). 再由k為R中單位得ay+xd=cx+yb. 取c=0,d=1,y=0可得x=0, 從而ay=yb對任意的y∈M都成立. 又由引理3可知X∈Z(T ). 證畢.

(3)

利用式(1)得

(4)

其中

Δ=(ac-ca)u-u(bd-db)+f(ay+xd-cx-yb).

直接計算可知必要性成立， 下面證明充分性.

將式(3),(4)代入D([X,Y])=k[X,Y]可知， 對任意的a,c∈A,b,d∈B,x,y∈M, 有

dA([a,c])=k[a,c],dA([b,d])=k[b,d],

(5)

(ac-ca)u-u(bd-db)+f(ay+xd-cx-yb)=k(ay+xd-cx-yb).

(6)

在式(6)中取x=y=0, 得

(ac-ca)u=u(bd-db).

(7)

在式(7)中取a=0可知， 對任意的b,d∈B, 有u(bd-db)=0, 即u[B,B]=0, 從而[A,A]u=0. 于是式(6)變為

f(ay+xd-cx-yb)=k(ay+xd-cx-yb).

(8)

在式(8)中取a=0,c=0,b=0,d=1, 得

f(x)=kx,x∈M.

于是由引理2知，dA=0,dB=0. 再代入式(5)中可得

k[a,c]=0,k[b,d]=0,a,c∈A,b,d∈B,

消去R中單位k得

[a,c]=0, [b,d]=0,a,c∈A,b,d∈B,

即A，B為交換環. 證畢.

在環R中定義運算

a°b=ab+ba,a,b∈R.

與定理1的證明類似可得如下推論.

(9)

其中

Δ=dA(a)y+(au-ub+f(x))d-c(au-ub+f(x))-ydB(b).

將式(4)代入D([X,Y])=k[D(X),Y]得

取x=y=0,a=0,b=1,c=1,d=0, 得ku=0, 再由k為R中單位得u=0. 于是式(10)變為

f(ay+xd-cx-yb)=k(dA(a)y+f(x)d-cf(x)-ydB(b)).

取x=0,a=1,c=0,b=0, 得f(y)=0,y∈M. 再由引理1知dA=0,dB=0, 從而D=0. 證畢.

與定理2的證明類似可得如下推論.