化學反應擴散模型的奇異攝動問題

宋 瑩, 孫 寧

(吉林大學 數學學院, 長春 130012)

1 引言與預備知識

隨機動力系統的退出問題, 即考慮位于確定型動力系統穩定態吸引域中的軌線在隨機噪聲驅動下離開吸引域退出點的概率分布和退出時間, 該問題在原子與分子物理、 化學動力學、 濾波理論以及群體遺傳學等領域應用廣泛[1-8]. 文獻[1,9]研究表明, 如果粒子所處的介質是熱平衡狀態的, 則化學鍵粒子的變化可用如下Langevin方程描述:

引理1[1,9]當β充分大時, 系統(1)-(2)等價于Kramers-Smoluchowski方程:

dx=-

(3)

其中s=βs′.

(4)

τε=inf{t≥0|xε(τ)∈?Ω,xε(0)=x∈Ω}.

引理2[2]方程(4)首次退出時間τε的期望Exτε=vε(x)滿足如下邊值問題:

文獻[3]利用奇異攝動方法構造了方程(4)首次退出時間的漸近展開式; 文獻[10]給出了上述結果有效性的理論證明; 文獻[11]對具有光滑勢壘和尖翹勢壘的退出點問題給出了化學反應速率公式, 簡化了文獻[1]結果的條件, 并將其推廣到高維情形; 文獻[12]進一步對非特征邊界以及特征邊界兩種情形運用匹配漸近展開法得到了首次退出時間的漸近表達式. 上述關于方程(4)退出問題的漸近分析研究只得到了退出時間的零階近似, 本文利用奇異攝動方法給出方程(4)退出問題的一階近似.

引理3[13]設x∈n(n≥2), f(x),g(x)是光滑標量函數, 且f(x)在x0處取得最大值, 則

其中Hf(x0)表示f在x0處的Hessian矩陣的行列式.

2 主要結果

對方程(4)做如下假設：

(H1)b(x)是Ω上的光滑向量場, 且φ在?Ω上的最小值點都是孤立的;

(H2) 系統

dx(t)=b(x)dt

(7)

在Ω中有唯一漸近穩定的平衡點x0, Ω是x0的吸引域, 且

做變換

vε(x)=C(ε)eK/εu(x),

當ε→0時, 方程(8)退化為

b·u=0,x∈Ω.

(10)

為求方程(5)的內部解, 做n維球坐標變換:

其中: 0≤r<+∞; 0≤θ1,θ2,…,θn-2≤π, 0≤θn-1≤2π. 則

其中

記(θ1,…,θn-1,r)=(θ,r), 再做變換y=-dist(x,?Ω)=r-R,x∈Ω, 則邊值問題(8)-(9)變為

其中:γ為?Ω的外法向量;σ為?Ω的切向量. 顯然, (x1,…,xn)∈?Ω對應于y=0. 設

定理1設系統(4)滿足(H1),(H2), 且當(x1,…,xn)∈?Ω時,b·γ<0. 則系統(4)從x0∈Ω出發的解x(t)首次退出時間期望Exτε的漸近表達式為

其中:

證明： 由上述分析知, 邊值問題(11)-(13)在?Ω附近存在邊界層, 且邊界層厚度為O(ε). 令y=εz, 則邊值問題(11)-(13)變為

設邊值問題(16)-(18)的解有如下形式:

u=u0+εu1+ε2u2+….

(19)

將式(19)代入式(16), 并對比ε的同次冪系數得

由邊值條件(17),(18)得

方程(20)滿足邊值條件(22)的解為

u0(θ,z)=1-e-b10(θ)z.

將u0(θ,z)代入方程(21), 并利用邊值條件(23)解得

從而

下面確定常數C(ε)和K. 將方程(5)兩端同乘e-φ/ε并寫成散度的形式, 得

εe-φ/εvε=-e-φ/ε.

(24)

對式(24)在區域Ω上積分, 并由散度公式, 得

(25)

由引理3, 當ε→0時, 有

(26)

又

故

(27)

證畢.

假設:

(H3) Exτε在?Ω的切方向是慢變的.

定理2設系統(4)滿足(H1)～(H3), 且當(x1,…,xn)∈?Ω時,b·γ=0. 則系統(4)從x0∈Ω出發的解x(t)首次退出時間期望Exτε的漸近表達式為

其中:

設邊值問題(28)-(30)的解有如下形式:

u=u0+μu1+….

(31)

將式(31)代入方程(28), 并對比μ的同次冪系數得

由邊值條件(29),(30)知,

方程(32)滿足邊值條件(34)的解為

將解u0(θ,z)代入方程(33), 并利用邊值條件(35)得

于是

從而

下面確定常數C(ε)和K. 由式(25),(26)及

可得

證畢.