解散射問題的一種各向異性優化PML方法

楊 孝 英

(長春工業大學 基礎科學學院, 長春 130012)

1 引言與預備知識

目前, 利用完美匹配層(PML)方法求解散射問題的研究已有許多結果[1-3]. 文獻[1-2]給出了求解散射問題各向異性的PML方法. 由于散射問題優化PML方法的計算不依賴PML層的厚度, 文獻[4-7]給出了求解散射問題的一種優化PML方法. 本文受文獻[1]中各向異性PML方法的啟發, 考慮求解時諧散射問題的一種各向異性優化PML方法.

考慮如下散射問題:

其中:r=|x|; f∈(H1(Ω))′的支集在B(R0)={x∈2: |x|≤R0}內, (H1(Ω))′是H1(Ω)的對偶空間; ΓD為有界域D?2的邊界; g∈H1/2(ΓD). 假設波數k≥0為常數. 令D包含在矩形區域

令a: H1(Ω1)×H1(Ω1)→為下列半線性形式:

(7)

則散射問題(1)-(3)等價于: 對給定的f∈(H1(Ω1))′, g∈H1/2(ΓD), 求u∈H1(Ω1), 使得在邊界ΓD上u=g, 且

(8)

(9)

2 各向異性優化PML方法的構造

(10)

其中:sgn(·)為符號函數; 對任意的t∈, (t)+∶=max{0,t}.x與B1之間的最短距離定義為

定義如下PML介質特征:

α(t)=η(t)+iσ(t),η(t)=1+ζσ(t),

其中: σ為介質參量, σ(0)=0; ζ≥0為常數. 類似文獻[1], 假設當t≥0時, ζ≥1. 當t≥r0>0時, σ(t)=σ0, 其中σ0≥0為常數, r0

(11)

x=P(x)+r(x)n(x).

(12)

(13)

其中

(14)

其中m≥2為常數.

證明:

3 優化PML方法的收斂性

外問題(4)-(6)的解ξ滿足

(15)

其中: λ=Tχ∈H-1/2(Γ1)為ξ在Γ1上的Neumann跡; ΨSL,ΨDL分別為單雙層位勢:

這里G(x,y)為Helmholtz方程的基本解:

定義復距離

令

因此對任意的χ∈H1/2(Γ1), PML擴展E(χ)(x)定義為

(16)

·(A(x)在Ω2內,

(17)

(18)

其中A=J(x)DF-1(x)DF-T(x),J=det(DF(x)),DF為Jacobi矩陣.

引理1[8]令z1=a1+ib1, z2=a2+ib2, a1,b1,a2,b2∈, 使得則

(19)

其中

(20)

證明: 由式(10),(13)可得

又由定理1可得式(19). 證畢.

引理3存在與k,ε0無關的常數C>0, 使得

其中γ定義如式(20).

由引理3, 可得:

引理4對任意的f∈H1/2(Γ1), 令E(f)為式(16)定義的PML擴展. 則存在與k,ε0無關的常數C>0, 使得

其中: γ定義如式(20)； L=max{L1,L2}.

·(Aζ)+k2Jζ=0, 在ΩPML內,

(25)

(26)

(27)

(28)

由引理4, 可得:

引理5對任意的f∈H1/2(Γ1), 有

其中: C>0為與k,ε0無關的常數; L=max{L1,L2}; γ定義如式(20).

(29)

其中: m≥2; L=max{L1,L2}; C>0是與k,ε0無關的常數; γ定義如式(20).

證明: 由式(8),(27), 利用分部積分可得

再由inf-sup條件(9)和引理5即得式(29). 由式(29)可得

由定理2可見, 本文構造的各向異性優化PML方法, 只要ε0充分小, 優化的PML解指數就收斂于原問題的解, 且PML解不依賴PML層的厚度.

4 數值實驗

圖1 區域Ω1中精確解的實部Fig.1 Real part of exact solution in region Ω1

圖2 當PML層厚度d1=d2=1時, 在邊界Γ1上PML解和精確解誤差的實部 Fig.2 Real part of error between PML solution and exact solution as thickness of PML layer d1=d2=1 on boundary Γ1

圖3 當PML層厚度d1=d2=1.25時, 在邊界Γ1上PML解和精確解相對誤差的實部 Fig.3 Real part of relative error between PML solution and exact solution as thickness of PML layer d1=d2=1.25 on boundary Γ1

當PML參數ε0分別取0.01和0.001時, 在邊界Γ1上的相對誤差分別為1.7×10-2,2.4×10-3. 因此當PML參數ε0足夠小時, 本文構造的各向異性的優化PML方法是解時諧散射問題的一種有效數值計算方法.