Plate方程時間依賴吸引子的漸近結構及正則性

穆苗苗, 馬巧珍

(西北師范大學 數學與統計學院, 蘭州 730070)

0 引 言

Plate方程源自彈性振動方程[1], 關于其解的整體存在性及漸近性的研究源于對彈性梁方程穩定性的研究[2]. 目前, 關于非線性耗散偏微分方程時間依賴吸引子的研究已得到廣泛關注[3-6].

設Ω?n(n≥5)是具有光滑邊界的有界區域. 本文考慮下列方程：

(1)

其中:u=u(x,t)為Ω×(τ,+∞)上的未知函數;α>0是阻尼系數;g∈L2(Ω);ε(t)∈C1()是有界的單調遞減函數, 并滿足

(2)

函數f∈C2(), f(0)=0, 且

(3)

(4)

(5)

當ε(t)是一個與t無關的正常數時, 方程(1)已有許多結果[7-11]: 文獻[7-8]給出了有界域上Plate方程一致吸引子的存在性; 文獻[9-11]研究了Plate方程在無界區域上全局吸引子的存在性. 文獻[12]給出了當ε(t)為依賴于時間t的函數時,Plate方程(1)時間依賴全局吸引子的存在性; 文獻[13]運用壓縮函數的方法證明了帶有時間系數的非自治Plate方程時間依賴強拉回吸引子的存在性. 受文獻[3,6,12]的啟發, 本文在文獻[12]的基礎上, 進一步證明方程(1)中時間依賴吸引子的正則性和漸近結構.

1 預備知識

定義1(時間依賴全局吸引子)[3]過程U(t,τ)的時間依賴全局吸引子是最小的族U={At}, 滿足下列條件:

1) 每個At在Xt上是緊的;

2) U是拉回吸引的, 即對每個有界族C={Ct}和每個固定的t∈, 均成立極限

記H=L2(Ω), 對應的內積與范數分別記為〈·,·〉,‖·‖. 對于0≤σ≤2, 定義由A生成的Hilbert空間族Hσ=dom(Aσ/4), 并賦予如下內積與范數:

〈w,v〉σ=〈Aσ/4w,Aσ/4v〉, ‖w‖σ=‖Aσ/4w‖.

定義2[6]函數z: t→u(t)∈Xt是過程U(t,τ)的一個完全有界軌道(CBT), 當且僅當:

2) z(t)=U(t,τ)z(τ), ?t≥τ, τ∈.

定理1[6]設U={At}是過程U(t,τ)的時間依賴全局吸引子, 若U是不變的, 則

At={z(t)∈Xt:z(t)是U(t,τ)的CBT}.

相應地, 有

U={z: t→u(t)|z(t)是U(t,τ)的CBT}.

設賦范空間Ht=X×Yt, 其范數為

?(a,b)∈Ht,

其中: X是一個賦范空間; Yt是一族賦范空間.

記Πt: Ht→X為空間Ht關于第一個分量的投影, 即Πt(a,b)=a. 若Ft?Ht, 則ΠtFt={a∈X: (a,b)∈Ft}; 同理, 若F ={Ft}, 則記ΠF={ΠtFt}. 基于此, 假設過程U(t,τ)擁有不變的時間依賴全局吸引子U={At}, 則

ΠU={x:→X滿足x=Πz, 且z是U(t,τ)的CBT}.

假設S(t): X→X(?t≥τ)是作用在X上的半群, 存在全局吸引子A∞?X. 則由定義可知A∞?X是唯一的不變緊集, 即S(t)A∞=A∞(?t≥τ), 且在X上依Hausdorff半距離吸引X上的有界子集.

引理1[6]如果

?t≥τ,τ∈,

A∞={w(s):w是S(t)的CBT},

引理2[12]設式(2)～(4)成立, 則對任意的τ∈, 存在正常數c, 使得

(6)

定理2假設un是過程U(t,τ)的任一有界完全軌道序列, 則對任意tn→∞及任意s∈, 均存在S(t)的一個有界完全軌道w, 使得

‖un(s+tn)-w(s)‖X→0,n→∞,

(7)

則

(8)

定理3[12]設式(2)～(4)成立, 則問題(1)生成的過程族U(t,τ): Hτ→Ht在Ht中擁有不變的時間依賴全局吸引子At.

定理4[14]方程(5)對應的動力系統(H2,S(t))中擁有緊的全局吸引子A∞.

2 主要結果

2.1 時間依賴吸引子的漸近結構

下面討論方程(1)對應過程U(t,τ)的時間依賴全局吸引子At與極限方程(5)的全局吸引子A∞之間的關系. 由文獻[14]可知, 方程(5)可生成連續半群S(t): H2→H2, 且S(t)在空間H2中存在全局吸引子A∞, 并對任意的s∈, 有A∞={w(s): w是S(t)的CBT}.

引理3設式(2)～(4)成立, 則對過程U(t,τ)的任意完全有界軌道序列un及任意tn→∞, 存在S(t)的一個完全有界軌道w, 使得對每個T>0, 均成立

(9)

證明: 由引理2知, 對每個T>0, 序列{un}在空間

L∞(-T,T;H3)∩W2,2(-T,T;H1)

上是有界的. 根據文獻[15]中推論4可知, 對任意的T>0, un(·+tn)在空間C([-T,T],H1)中是相對緊的. 因此存在函數w:→H2與un的子列(仍用un表示), 使得un(·+tn)→w(·), 且w∈C(,H2). 再結合式(6)知,

(10)

下面證明w是方程(5)的解. 令vn(t)=un(t+tn), εn(t)=ε(t+tn), 則關于un的方程(1)可記為

α?tvn=-εn(t)?ttvn-Δ2vn-f(vn)+g.

首先證明序列εn(t)?ttvn在分布導數的意義下收斂到0. 事實上, 對每個固定的T>0及定義在[-T,T]上的光滑H-值函數φ, 均有

結合式(6), 可得

再由非線性項f(u)的增長性條件知, 對每個T>0, 在拓撲空間L∞(-T,T;H-2)中, 均有

-Δ2vn-f(vn)→ -Δ2w-f(w).

同時, 在分布導數的意義下有?tvn(t)→wt(t), 因此可得

αwt+Δ2w+f(w)=g(x),

即w是方程(5)的解. 再結合式(10)知, w是半群S(t)的一個完全有界軌道.

定理5由定理3, 可得下列極限成立:

證明： 由定理3及引理3, 可得結論.

2.2 時間依賴吸引子的正則性

定義

ΠU={u:→H2, u=Πz, z為U(t,τ)的CBT}.

下面證明對任意的u∈ΠU, ‖ut‖2一致有界且其界與ε(t)無關.

定理6設式(2)～(4)成立, 則對某個C=C(U )>0, 成立

(11)

由于{uτ(τ),ut(τ)}∈Aτ, 因此

(12)

再結合式(6)與式(3)知

(13)

用2qt+2δq與式(11)在L2(Ω)中做內積, 可得

其中

利用H?lder與Young不等式, 估計

其中|ε(t)|≤L. 對足夠小的δ, 有

(14)

再結合式(13)可得

根據上述估計可知, 對充分小的δ, 存在ν<δ, 使得

在[τ,t]上運用Gronwall引理, 并利用式(14), 可知對任意的t≥τ, 有

故結論成立.