U-統計量精確漸近性的注記

高云峰, 譚希麗

(1. 吉林農業科技學院 文理學院, 吉林 吉林 132101; 2. 北華大學 數學與統計學院, 吉林 吉林 132013)

1 引言與主要結果

(1)

其中h(x,y)為對稱核函數. 記

μ=Eh(X1,X2)=0,h1(x)=Eh(x,X2),h2(x,y)=h(x,y)-h1(x)-h1(y).

U-統計量是算術平均值的自然推廣, 在概率論與數理統計中應用廣泛. 目前, 關于U-統計量大樣本性質的研究已有很多結果[2-9].

假設條件:

(H1)g(x)為[n0,∞)上具有非負導數g′(x)的正值可導函數, 且g(x)↑∞,x→∞;

本文的主要結果如下:

(2)

如果假設條件(H1),(H2),(H3)成立, 則對于q>s-1>1, 有

(3)

如果假設條件(H1),(H2)成立, 則對于q>s-1>1, 有

(4)

(5)

如果假設條件(H1),(H3)成立, 則對于s>0, 有

(6)

注1滿足假設條件(H1)～(H5)的g(x)有很多, 如g(x)=xα,(logx)β,(loglogx)γ等, 其中α>0, β>0, γ>0為某些適當的參數.

注2顯然式(4)和式(6)分別為文獻[15]中定理2.1和定理2.2的結果. 在式(4)中令s-1=2(r-p)/(2-p), g(x)=xr/p-1, 其中11+p/2; 令s-1=2b+1-2/d, g(x)=(logx)bd+1-d/2, 其中d>0, 1/2

設C表示正常數, 不同之處可表示不同的值.

2 定理的證明

令a(ε)=[g-1(Mε-1/s)], 其中: g-1(x)為g(x)的反函數; M≥1.

命題1定義U-統計量如式(1), 且滿足定理1的假設條件. 如果假設條件(H1),(H2)成立, 則有

證明: 利用引理1和引理2, 類似文獻[11]中定理2.1, 可知結論成立.

命題2定義U-統計量如式(1), 且滿足定理1的假設條件. 如果假設條件(H1),(H2),(H4)成立, 對于q>s-1>p>0, 則有

證明: 類似文獻[18]中命題5.1的證明.

命題3定義U-統計量如式(1), 且滿足定理1的假設條件. 如果假設條件(H1),(H2),(H4)成立, 對于q>s-1>p>0, 則有

(7)

證明: 顯然

其中:

根據引理1和引理3, 當n→∞時, Δn→0. 首先估計Δn1: 由于n≤A(ε)即εgs(n)≤Ms, 從而有

其次估計Δn3: 由正態分布的性質, 可知

最后估計Δn2: 由引理2, 注意到q>1/s>p>0, 有

因此由式(8)～(11), 可得

Δn1+Δn2+Δn3→0,n→∞.

(12)

進而由式(12)、 φ(x)的單調性以及Toeplitz引理[19], 可知式(7)成立. 證畢.

命題4定義U-統計量如式(1), 且滿足定理1的假設條件. 如果假設條件(H1),(H2),(H4)成立, 對于q>s-1>p>0, 則有

證明: 注意到q>s-1>p>0, 由引理2, 有

命題5如果假設條件(H1),(H2),(H4)成立, 對于q>s-1>p>0, 則有

證明: 利用正態分布的性質, 類似命題4可證該結論成立.

2.1 定理1的證明

當p=0時, 由于

則由命題1可知定理1成立. 當s-1>p>0時, 注意到

故要證明式(2), 只需證明下列兩式成立即可:

(13)

(14)

由命題1可知式(13)成立. 由命題2～命題5以及三角不等式可證式(14)成立, 從而式(2)成立. 式(3)和式(4)的證明類似.

2.2 定理2的證明

定理2的證明與定理1的證明類似, 故略.