LPQD序列的隨機指標中心極限定理

逄雨欣, 王德輝, 譚希麗

(1. 吉林大學 數學研究所, 長春 130012; 2. 北華大學 數學與統計學院, 吉林 吉林 132013)

1 引言與主要結果

定義1[1]對于有限族隨機變量ε1,ε2,…,εm, 如果

Cov{f(ε1,…,εm),g(ε1,…,εm)}≥0,

(1)

則稱其為PA(positively associated)的. 其中f,g為m上任意按分量增的函數, 且保證式(1)中的協方差存在. 如果其任意有限子族為PA的, 則隨機變量列{εn,n≥1}也稱為PA的.

由定義1和定義2可知, PA隨機變量列一定是LPQD的, 反之則不一定成立. PA隨機變量在多元分析、 可靠性理論和滲透模型等領域應用廣泛. 目前, 對PA隨機變量的研究已取得了許多結果[3-8]. Newman[3]給出了其中心極限定理; Newman等[4]得到了其不變原理； Dabrowski[5]提出了泛函型重對數律； Prakasa Rao等[6]證明了PA序列的隨機指標中心極限定理和Berry-Esseen界.

定義3定義隨機變量X與Y之間的Kolmogorov距離為

dK(Tn,T(Z1,Z2))→0,n→∞,

(2)

且{Nn,n≥1}和{Xn,n≥1}獨立. {δn=n-θ,n≥1}是一正數序列, 0<θ<1/2, 則存在正數c1和c2, 使得對充分大的n, 有

dK(Tn,T(Z1,Z2))≤c1·n-min{θ,1-2θ,1/5}+c2εn,

(3)

其中:εn是{Nn,n≥1}的Berry-Esseen界;Tn和T(Z1,Z2)同定理1.

由于LPQD序列是一種比PA序列更弱的序列, 因此本文將定理1和定理2推廣到LPQD序列上, 即討論LPQD序列的隨機指標中心極限定理和Berry-Esseen界.

本文恒設{Nn,n≥1}是一列非負整數值隨機變量序列, 且與{Xn,n≥1}獨立, 并假設下列條件成立：

(H6) 假設對n充分大有

(4)

其中Z1和Z2同定理1. 在上述條件下, 本文主要結果如下:

定理3設{Xn,n≥1}為一嚴平穩LPQD隨機變量序列, 滿足條件(H1)和(H2). {Nn,n≥1}為一非負整數值隨機變量序列, 滿足條件(H4)和(H5), 且{Nn,n≥1}與{Xn,n≥1}獨立, 則式(2)成立, 其中Z1和Z2同定理1.

2 主要結果的證明

引理1記P(Nn=k)=pn,k. 在假設條件(H1)下, 有

證明： 與文獻[6]中引理2.1的證明類似, 故略.

引理2[6]設{Un,U,n≥1}為一隨機變量序列, 滿足U的分布函數是α-Lipschitz連續的(α>0).V是與{Un,U,n≥1}獨立的隨機變量, 滿足E|V|<∞. 設g:→, 則對任意的常數及任意的z∈, 有

引理3[2]設{Xn,n≥1}為一嚴平穩LPQD隨機變量序列, 且

則

其中Φ(x)是標準正態分布的分布函數.

2.1 定理3的證明

首先, 證明

dK(Tn,Tn(Z1))→0,n→∞.

(7)

利用全概率公式及{Xn,n≥1}與{Nn,n≥1}的獨立性, 可知

其次, 證明

(Z1))→0,n→∞.

(8)

由條件(H2)有

因此, 由引理1、 條件(H4),(H5), 有

(9)

由條件(H4),(H5)及Markov不等式, 有

(10)

(11)

從而由式(9)及Slutsky定理, 有

(12)

下面證明

(Z1),T(Z1,Z2))→0,n→∞.

(13)

注意到

定理3證畢.

2.2 定理4的證明

首先, 估計dK(Tn,Tn(Z1)). 與定理3類似, 有

由引理5, 有

(15)

與定理3推導類似, 由Markov不等式及條件(H4)～(H6)知, 當n充分大時, 有

(16)

由式(14)～(16), 有

(17)

顯然

J3≤cδn≤cn-θ.

(19)

由式(12)及式(4)有

J4≤cεn.

(20)

由式(18)～(21), 有

(Z1))≤cn-θ+cεn+cn2θ-1.

(22)

聯合式(17),(22),(23), 并利用三角不等式可得結論. 定理4證畢.