半準素環的X-Gorenstein整體投射維數

趙 志 兵

(安徽大學 數學科學學院, 合肥 230601)

1 引言與預備知識

目前, 關于Gorenstein同調代數的研究已有許多結果. 作為有限生成投射模的推廣, Auslander等[1]在雙邊Noether環上定義了G-維數為0的模, 并研究了由該類模定義的相關同調維數; Enochs等[2]在一般環上定義了Gorenstein投射模(不需要有限生成的條件)和Gorenstein投射維數等概念, 并對偶地定義了Gorenstein內射模和Gorenstein內射維數; Christensen[3]證明了Noether環上的有限生成模是Gorenstein投射模當且僅當它是G-維數為0的模, 并發現許多經典的同調代數中的結論均可擴展到Gorenstein同調代數中. Bennis等[4]介紹了X-Gorenstein投射模, 統一了一些同調模類, 包括經典的投射模、 Gorenstein投射模和強Gorenstein平坦模等.

本文總設R是帶單位元的結合環,R-模均指左R-模. 用R-Mod表示所有左R-模構成的范疇, 分別用pd(M)和id(M)表示M的左投射維數和左內射維數, 用l.gld(R)表示R的左整體維數. 總假設X為包含所有投射左R-模的模類. 分別用P (R)和GP (R)表示R-Mod所有投射模和Gorenstein投射模構成的子范疇. 本文關于“左模”的結果均有對稱的“右模”結果.

定義1[4]設X為包含投射左R-模的一個左R-模類, 如果存在一個投射左R-模正合列

P∶=…→P1→P0→P0→P1→…,

使得對任意的X∈X, 均有HomR(P,X)仍是正合的, 且G=Ker(P0→P0), 則R-模G稱為X-Gorenstein投射的, 正合列P稱為G的一個X-完全投射分解, 用X-GP (R)表示所有X-Gorenstein投射模構成的R-模子范疇.

注11) 易得P (R)?X-GP (R)?GP(R); 2) 若取X為投射R-模類, 則X-GP (R)=GP(R); 3) 若取X為Gorenstein投射R-模類, 則X-GP (R)=P (R)[5]; 4) 若取X為平坦R-模類, 則X-Gorenstein投射R-模類即為強Gorenstein平坦R-模類[6].

定義2設M為一個左R-模, M的X-Gorenstein投射維數定義為

X-Gpd(M)=Inf{n|?X-Gorenstein投射分解0→Gn→…→G1→G0→M→0}.

如果不存在這樣的X-Gorenstein投射分解, 則約定X-Gpd(M)=∞.

定義R的左X-Gorenstein整體投射維數為l.X-Gglpd(R)=sup{X-Gpd(M)|M為任意的R-模}.

注21) 根據定義易得對任意的左R-模M, 均有Gpd(M)≤X-Gpd(M)≤pd(M);

2) 若X-Gpd(M)<∞, 則X-Gpd(M)=Gpd(M)[7].

若R/J是半單的, 且J是冪零的, 則環R稱為半準素的, 其中J是R的Jacobson根[8]. 在經典同調代數中, 文獻[9]給出了半準素環的(左)整體維數是由其上單模的投射維數限制, 即一個半準素環的整體維數等于其所有單模的投射維數的上確界. 在Gorenstein同調代數中, 文獻[10]給出了一個半準素環的(左)Gorenstein整體維數也等于其上所有單(左)模的Gorenstein投射維數的上確界. 本文證明對于更廣泛的情形, 一個半準素環的X-Gorentein整體投射維數由其上單模的X-Gorenstein投射維數限制, 從而統一了經典同調代數和Gorenstein同調代數中的結果.

2 主要結果

0→Jk+1N→JkN→JkN/Jk+1N→0,

于是有導出正合列

顯然J(JkN/Jk+1N)=0, 根據假設可得

證明: 1)?2)是平凡的, 故略.

由文獻[11]中命題3.3和命題3.4可得:

命題3設R是一個半準素環, J是R的Jacobson根, 則下列敘述等價：

1) X-Gpd(R/J)≤n；

2)sup{X-Gpd(S)|S為任意的單左R-模}≤n.

若上述等價條件之一成立, 則有:

3) 對任意的左R-模X∈X,idR(X)≤n.

特別地, 若X-Gpd(R/J)<∞, 則上述3個條件等價.

特別地, 若X-Gpd(R/J)<∞, 則根據3), 對?i>n及X中任意的R-模X, 均有

于是由文獻[11]中命題3.4可得X-Gpd(R/J)≤n. 證畢.

定理1設R是一個半準素環, J是R的Jacobson根, 則

l.X-Gglpd(R)=X-Gpd(R/J)=sup{X-Gpd(S)|S為任意的單左R-模}.

證明: 根據定義, 顯然有

l.X-Gglpd(R)≥X-Gpd(R/J).

因此只需證l.X-Gglpd(R)≤X-Gpd(R/J). 若X-Gpd(R/J)=∞, 結論自然成立.

下面假設X-Gpd(R/J)=n<∞. 可斷言, 對任意的左R-模M, 均有

X-Gpd(M)≤X-Gpd(R/J)=n.

考慮左R-模B滿足JB=0的情形.由于JB=0, 故B可視為一個左R/J-模. 根據假設, R/J是半單的, 從而B是一個投射的R/J-模, 即可得B是(R/J)(I)的一個直和項, 于是根據文獻[11]中命題3.4可得X-Gpd(M)≤X-Gpd((R/J)(I))=X-Gpd(R/J). 對任意的一個左R-模M, 設k為使JkM=0極小的非負整數, 注意到該類k總是存在的, 因為J是冪零的. 考慮一簇短正合列

0→Jk-i+1M→Jk-iM→Jk-iM/(Jk-i+1M)→0,

其中1≤i≤k. 利用文獻[11]中推論3.7可知, 對任意的1≤i≤k, 均有

X-Gglpd(Jk-iM)≤sup{X-Gpd(Jk-i+1M), X-Gpd(Jk-iM/(Jk-i+1M))}.

而J(Jk-iM/Jk-i+1M)=0, 因此根據上述證明可得

X-Gpd(Jk-iM/(Jk-i+1M))≤X-Gpd(R/J).

于是, 對任意的1≤i≤k, 均有

X-Gglpd(Jk-iM)≤sup{X-Gpd(Jk-i+1M),X-Gpd(R/J)}.

從而遞歸地可得

X-Gglpd(M)≤sup{X-Gpd(Jk-1M),X-Gpd(R/J)}.

類似地, 由于J(Jk-1M)=JkM=0, 則X-Gpd(Jk-1M)≤X-Gpd(R/J), 因此X-Gpd(M)≤X-Gpd(R/J)=n. 證畢.

令X為Gorenstein投射R-模類, 則X-GP (R)=P (R), 從而一個模的X-Gorenstein投射維數即為其投射維數, 于是下列關于半準素環的整體維數的經典結論成立:

推論1[9]設R是一個半準素環, J是R的Jacobson根, 則

l.gld(R)=pd(R/J)=sup{pd(S)|S為任意的單左R-模}.

令X為投射R-模類, 則X-GP(R)=GP(R), 從而一個模的X-Gorenstein投射維數即為其Gorenstein投射維數, 于是可得:

推論2[10]設R是一個半準素環, J是R的Jacobson根, 則

l.Ggld(R)=Gpd(R/J)=sup{Gpd(S)|S為任意的單左R-模}.

若取X為平坦左R-模類, 則X-Gorenstein投射R-模類即為強Gorenstein平坦R-模類, 類似經典同調維數的定義方法, 可利用左R-模M的強Gorenstein平坦模類的分解定義M的左強Gorenstein平坦維數l.SGfd(M), 從而定義一個環左強Gorenstein平坦整體維數l.SGfgld(R). 利用定理1可得關于該維數的相應刻畫.

推論3設R是一個半準素環, J是R的Jacobson根, 則

l.SGfgld(R)=SGfd(R/J)=sup{SGfd(S)|S為任意的單左R-模}.

命題4設R為一個半準素環, 且每個單的左R-模都同構于R的一個左理想, 則l.X-Gglpd(R)=0或l.X-Gglpd(R)=∞.

證明: 假設l.X-Gglpd(R)=n, 0

l.X-Gglpd(R)=n=X-Gpd(S).

根據假設知, S?I, 其中I為R的一個左理想, 且X-Gpd(I)=n. 考慮短正合列

0→I→R→R/I→0,

由于I不是X-Gorenstein投射的, 因此根據文獻[11]中推論3.7可得

X-Gpd(R/I)=X-Gpd(I)+1=n+1,

與R的X-Gorenstein投射整體維數為n矛盾. 證畢.

推論4設R為一個半準素環, 且每個單的左R-模都同構于R的一個左理想, 則

{l.gld(R),l.Ggld(R),l.SGfgld(R)}∈{0,∞}.

證明: 分別令X為Gorenstein投射模類、 投射模類和平坦模類, 利用命題4即可得結論.

注3根據文獻[9]中命題15可知, 半準素的交換環和QF-環均滿足命題4的條件, 即這兩類環上的每個單左模均同構于其某個左理想.

推論5具有有限左X-Gorenstein整體投射維數的交換半準素環是QF-環.

證明: 由于交換半準素環的每個單左模均同構于它的一個左理想, 利用假設和命題4, 可得l.X-Gglpd(R)=0. 再根據文獻[4]中命題2.4, 可知R是一個QF-環.